To'plamlar va mulohazalar: matematika darsi

Sinfda $30$ o'quvchi shaxmatga, $28$ o'quvchi futbolga qatnashsa, jami $58$ o'quvchi bor deyish xato bo'lishi mumkin: ikkalasiga qatnashadiganlar ikki marta sanalgan. To'plamlar tili ana shunday sanashni tartibga soladi. Mulohazalar esa gapning to'g'ri yoki noto'g'ri ekanini aniqlashni o'rgatadi: buning uchun ko'pincha bitta qarshi misol yetarli.

To'plam va uning elementlari

To'plam narsalar majmuasi, ularning har biri element deyiladi. $5\in A$ yozuvi $5$ soni $A$ to'plamga tegishli ekanini, $5\notin A$ esa tegishli emasligini bildiradi. $n(A)$ bilan $A$ to'plamning elementlari soni belgilanadi. To'plamda bir xil element takror sanalmaydi, elementlarning tartibi ham muhim emas: $\{1;\,2;\,3\}$ va $\{3;\,1;\,2\}$ bitta to'plam.

To'plam ikki xil beriladi: elementlarni sanab yoki shart bilan. $A=\{x\mid x^2<10,\ x\in Z\}$ yozuvi kvadrati $10$ dan kichik butun sonlarni bildiradi: $A=\{-3;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3\}$ , $n(A)=7$ . Bu yerda $Z$ butun sonlar to'plami, $N$ natural sonlar to'plami. Birorta ham elementi yo'q to'plam bo'sh to'plam deyiladi va $\varnothing$ bilan belgilanadi.

To'plamlar ustida amallar

Misollar uchun $A=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5\}$ va $B=\{4;\,5;\,6;\,7\}$ to'plamlarni olamiz, universal to'plam esa $U=\{1;\,2;\,\ldots;\,10\}$ bo'lsin.

Amal	Ma'nosi	Misol
AmalBirlashma $A\cup B$	Ma'nosikamida bittasiga tegishli elementlar	Misol $\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7\}$
AmalKesishma $A\cap B$	Ma'nosiikkalasiga ham tegishli elementlar	Misol $\{4;\,5\}$
AmalAyirma $A\setminus B$	Ma'nosi $A$ ga tegishli, lekin $B$ ga tegishli emas	Misol $\{1;\,2;\,3\}$
AmalAyirma $B\setminus A$	Ma'nosi $B$ ga tegishli, lekin $A$ ga tegishli emas	Misol $\{6;\,7\}$
AmalTo'ldiruvchi $\overline{A}$	Ma'nosi $U$ da bor, lekin $A$ da yo'q	Misol $\{6;\,7;\,8;\,9;\,10\}$

Eyler–Venn diagrammasi: doiralarning umumiy qismi — kesishma, ikkala doira birgalikda — birlashma

$A\setminus B$ va $B\setminus A$ odatda turli to'plamlar, shuning uchun ayirmada tartib muhim. Ayirmani topish uchun $A$ dan kesishmadagi elementlarni olib tashlash kifoya: $A\setminus B=A\setminus(A\cap B)$ .

Ikkidan ortiq to'plam qatnashsa, avval qavs ichi bajariladi. Quyidagi tengliklar har doim o'rinli:

(A\cup B)\cap C

=(A\cap C)\cup(B\cap C)

Birinchi taqsimot qonuni

(A\cap B)\cup C

=(A\cup C)\cap(B\cup C)

Ikkinchi taqsimot qonuni

\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}

\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}

«Hech birida yo'q» degani birinchisida ham, ikkinchisida ham yo'q degani

Qism to'plam

$B$ ning har bir elementi $A$ da ham bo'lsa, $B$ to'plam $A$ ning qism to'plami deyiladi va $B\subset A$ deb yoziladi. Bo'sh to'plam va to'plamning o'zi ham uning qism to'plamlari hisoblanadi. $B\subset A$ bo'lsa, quyidagilar o'rinli. Misol uchun $A=\{1;\,2;\,3\}$ , $B=\{1;\,2\}$ olamiz.

Ifoda	Natija	Misol
Ifoda $A\cap B$	Natija $B$	Misol $\{1;\,2\}$
Ifoda $A\cup B$	Natija $A$	Misol $\{1;\,2;\,3\}$
Ifoda $B\setminus A$	Natija $\varnothing$	Misolbo'sh to'plam
Ifoda $A\setminus B$	Natija $A$ ning $B$ dan tashqari qismi	Misol $\{3\}$

Har qanday $A$ uchun $A\cap\varnothing=\varnothing$ , $A\cup\varnothing=A$ , $A\cap A=A$ , $A\cup A=A$ .

Qism to'plamlar soni

2^n

n

ta elementli to'plamning barcha qism to'plamlari soni (bo'sh to'plam va o'zi bilan)

Sababi: har bir element uchun ikki tanlov bor, u qism to'plamga kiradi yoki kirmaydi. $n$ ta element uchun $2\cdot 2\cdot\ldots\cdot 2=2^n$ usul chiqadi. Masalan, $\{a;\,b;\,c\}$ ning qism to'plamlari $2^3=8$ ta: $\varnothing$ , $\{a\}$ , $\{b\}$ , $\{c\}$ , $\{a;\,b\}$ , $\{a;\,c\}$ , $\{b;\,c\}$ , $\{a;\,b;\,c\}$ .

Nima so'ralgan	Soni	$n=4$ da
Nima so'ralganbarcha qism to'plamlar	Soni $2^n$	$n=4$ da $16$
Nima so'ralganbo'sh bo'lmagan qism to'plamlar	Soni $2^n-1$	$n=4$ da $15$
Nima so'ralgano'zidan farqli qism to'plamlar	Soni $2^n-1$	$n=4$ da $15$
Nima so'ralganbo'sh ham, o'zi ham bo'lmaganlari, $n\ge 1$	Soni $2^n-2$	$n=4$ da $14$
Nima so'ralganaynan $k$ ta elementlilari	Soni $C_n^k$	$n=4$ da $k=2$ da $6$

Birlashma elementlari soni

n(A\cup B)

=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

Umumiy qism ikki marta sanalmasin

Ikkala to'plamning elementlar sonini qo'shganda kesishmadagilar ikki marta kiradi, shuning uchun ular bir marta ayiriladi. Umumiy elementi bo'lmagan to'plamlarda $n(A\cap B)=0$ va $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ . Formuladagi to'rt sondan istalgan uchtasi berilsa, to'rtinchisi topiladi.

Jami $N$ ta element bo'lsa, boshqa savollarga ham shu sonlar orqali javob beriladi. Misol uchun $N=50$ , $n(A)=30$ , $n(B)=28$ , $n(A\cap B)=12$ olamiz.

Savol	Formula	Misol
Savolkamida bittasida	Formula $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$	Misol $30+28-12=46$
Savolhech birida emas	Formula $N-n(A\cup B)$	Misol $50-46=4$
Savolfaqat $A$ da	Formula $n(A)-n(A\cap B)$	Misol $30-12=18$
Savolfaqat $B$ da	Formula $n(B)-n(A\cap B)$	Misol $28-12=16$
Savolaynan bittasida	Formula $n(A)+n(B)-2n(A\cap B)$	Misol $30+28-24=34$

Har bir element kamida bitta to'plamga kirsa, $n(A\cup B)=N$ bo'ladi va kesishma darhol topiladi:

n(A\cap B)=n(A)+n(B)-N

Son o'rniga foiz yoki ulush berilganda ham formula o'zgarmaydi, butun $100\,\%$ yoki $1$ deb olinadi. Masalan, sayyohlarning $70\,\%$ i ingliz, $50\,\%$ i nemis tilini bilsa va boshqa til bilmasa, ikkalasini biladiganlar $70+50-100=20$ foiz. Agar ularning soni $40$ bo'lsa, jami sayyohlar $40:0{,}2=200$ nafar.

Shartda faqat to'plamlar sonlari berilsa, kesishma oraliqda yotadi. U uchala shartni birga bajaradi:

n(A\cap B)\ge 0

n(A\cap B)\ge n(A)+n(B)-N

n(A\cap B)\le\min(n(A);\,n(B))

Masalan, $N=30$ , $n(A)=18$ , $n(B)=21$ bo'lsa, kesishma $9$ dan $18$ gacha bo'lishi mumkin.

Uchta to'plam

n(A\cup B\cup C)

=n(A)+n(B)+n(C)

-n(A\cap B)-n(A\cap C)

-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)

Avval juftliklar ayiriladi, keyin uchala to'plamga kirganlar qaytariladi

Uchta to'plam: o'rtadagi soha uchala to'plamga tegishli

Uchala to'plamga kirgan element yig'indida $3$ marta qo'shilgan, juftliklarda $3$ marta ayirilgan, shuning uchun uni yana bir marta qo'shish kerak. Elementlarini sanab berilgan to'plamlarda esa $(A\cup B)\cap C$ kabi ifodani to'g'ridan to'g'ri, qavsdan boshlab bajarish osonroq.

Karralilarni sanash

$1$ dan $N$ gacha sonlar orasida $k$ ga bo'linadiganlari $\left[\dfrac{N}{k}\right]$ ta, bunda $[\,\cdot\,]$ butun qism. Ham $a$ ga, ham $b$ ga bo'linadigan son ularning EKUK iga bo'linadi. Shuning uchun kesishma $\left[\dfrac{N}{\text{EKUK}(a;\,b)}\right]$ ta.

Masalan, $1$ dan $300$ gacha $4$ ga bo'linadiganlar $75$ ta, $6$ ga bo'linadiganlar $50$ ta. $\text{EKUK}(4;\,6)=12$ , $12$ ga bo'linadiganlar $25$ ta. Kamida bittasiga bo'linadiganlar $75+50-25=100$ ta, ikkalasiga ham bo'linmaydiganlar $300-100=200$ ta.

$1$ dan $60$ gacha $2$ , $3$ yoki $5$ ga bo'linadiganlar uchta to'plam formulasi bilan topiladi:

30+20+12-10-6-4+2

=44

44

ta son

Natural bo'luvchilar to'plamlari uchun kesishma EKUB ning bo'luvchilaridir. Masalan, $45$ va $75$ ning umumiy bo'luvchilari $\text{EKUB}(45;\,75)=15$ ning bo'luvchilari: $\{1;\,3;\,5;\,15\}$ . Bu kesishmaning qism to'plamlari $2^4=16$ ta.

Mulohazalar

Mulohaza — to'g'ri yoki noto'g'ri bo'ladigan gap. Noto'g'ri ekanini ko'rsatish uchun bitta qarshi misol yetarli, to'g'ri ekanini esa umumiy holda asoslash kerak.

Bir nechta misolda to'g'ri chiqqan gap hali isbotlangan emas. «Agar $P$ bo'lsa, $Q$ bo'ladi» to'g'ri bo'lsa ham, «agar $Q$ bo'lsa, $P$ bo'ladi» gapi noto'g'ri bo'lishi mumkin: $10$ ga bo'lingan son $5$ ga ham bo'linadi, lekin $15$ soni $5$ ga bo'linadi va $10$ ga bo'linmaydi.

Bo'linish haqidagi mulohazalar

Son $a$ ga ham, $b$ ga ham bo'linsa, u $\text{EKUK}(a;\,b)$ ga bo'linadi. $ab$ ko'paytmaga bo'linishi faqat $a$ va $b$ o'zaro tub bo'lganda kafolatlanadi.

Mulohaza	Baho	Asos
Mulohaza $4$ ga ham, $6$ ga ham bo'lingan son $24$ ga bo'linadi	Bahonoto'g'ri	Asos $12$ soni $4$ ga ham, $6$ ga ham bo'linadi, $24$ ga bo'linmaydi
Mulohaza $4$ ga ham, $9$ ga ham bo'lingan son $36$ ga bo'linadi	Bahoto'g'ri	Asos $\text{EKUB}(4;\,9)=1$ , $\text{EKUK}(4;\,9)=36$
Mulohaza $5$ ga bo'lingan son $10$ ga ham bo'linadi	Bahonoto'g'ri	Asos $15$ soni
Mulohaza $10$ ga bo'lingan son $5$ ga ham bo'linadi	Bahoto'g'ri	Asos $10k=5\cdot 2k$
MulohazaKo'paytuvchilardan biri songa bo'linsa, ko'paytma ham bo'linadi	Bahoto'g'ri	Asos $a=dk$ bo'lsa, $ab=d(kb)$
MulohazaQo'shiluvchilardan biri $d$ ga bo'linib, ikkinchisi bo'linmasa, yig'indi bo'linmaydi	Bahoto'g'ri	Asosyig'indi bo'linsa, ayirma sifatida ikkinchi qo'shiluvchi ham bo'linardi
MulohazaIkkala qo'shiluvchi $d$ ga bo'linmasa, yig'indi ham bo'linmaydi	Bahonoto'g'ri	Asos $1+2=3$ , $d=3$
MulohazaJuft va raqamlari yig'indisi $9$ ga bo'lingan son $18$ ga bo'linadi	Bahoto'g'ri	Asos $18=2\cdot 9$ , $\text{EKUB}(2;\,9)=1$
Mulohaza $0$ bilan tugagan son $8$ ga bo'linadi	Bahonoto'g'ri	Asos $10$ soni

EKUB — berilgan sonlarning har biri bo'linadigan sonlarning eng kattasi. EKUK — berilgan sonlarning har biriga bo'linadigan natural sonlarning eng kichigi.

Boshqa mavzulardan mulohazalar

Attestatsiya savollarida mulohaza kursning istalgan formulasi haqida bo'lishi mumkin. Ko'p tekshiriladiganlari:

Mavzu	To'g'ri	Noto'g'ri yoki sharti bor
MavzuLogarifm ( $a>0$ , $a\ne 1$ , $x>0$ , $y>0$ )	To'g'ri $\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac{x}{y}$ , $\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$	Noto'g'ri yoki sharti bor $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$ noto'g'ri
MavzuDaraja ( $a>0$ )	To'g'ri $(a^m)^n=a^{mn}$	Noto'g'ri yoki sharti bor $a^m+a^n=a^{m+n}$ noto'g'ri
MavzuBoshlang'ich funksiya	To'g'ri $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ , $\int\dfrac{dx}{x}=\ln\|x\|+C$ , $x\ne 0$	Noto'g'ri yoki sharti bor $\int\sin x\,dx=\cos x+C$ noto'g'ri
MavzuKo'rsatkichli funksiya integrali ( $k\ne 0$ )	To'g'ri $\int e^{kx}dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C$	Noto'g'ri yoki sharti bor $\int e^{3x}dx=e^{3x}+C$ noto'g'ri
MavzuHosila	To'g'ri $(a;\,b)$ da $f'(x)>0$ bo'lsa, $f$ o'sadi; $f'(x)<0$ bo'lsa, kamayadi	Noto'g'ri yoki sharti boro'suvchi funksiyada $f'(x)>0$ shart emas: $y=x^3$ da $f'(0)=0$
MavzuKritik nuqta	To'g'rianiqlanish sohasidagi $f'(x)=0$ yoki $f'(x)$ mavjud bo'lmagan nuqta	Noto'g'ri yoki sharti borkritik nuqtada ekstremum bo'lishi shart emas: $y=x^3$ , $x=0$
MavzuTengsizlik	To'g'ri $a>b$ , $c>d$ bo'lsa, $a+c>b+d$	Noto'g'ri yoki sharti bor $a-c>b-d$ noto'g'ri: $5>1$ , $4>0$ , lekin $1>1$ emas
MavzuKo'paytirish	To'g'ri $a>b>0$ , $c>d>0$ bo'lsa, $ac>bd$	Noto'g'ri yoki sharti bormanfiylarda noto'g'ri: $1>-2$ , $1>-3$ , lekin $1<6$
MavzuTeskari son	To'g'ri $a>b$ va $ab>0$ bo'lsa, $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$	Noto'g'ri yoki sharti bor $a>b\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$ noto'g'ri: $a=2$ , $b=1$
MavzuChiziqli sistema $a_1x+b_1y=c_1$ , $a_2x+b_2y=c_2$	To'g'ri $a_1b_2-a_2b_1\ne 0$ bo'lsa, yechim yagona; $a_2,b_2\ne 0$ da bu $\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}$ degani	Noto'g'ri yoki sharti bornisbatlar teng bo'lsa, yechim yo'q yoki cheksiz ko'p

Kvadrat tenglama $ax^2+2bx+c=0$ da, bunda $a\ne 0$ va $b^2-ac\ge 0$ :

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a}

x_1x_2=\frac{c}{a}

Shuning uchun

{ac<0}

bo'lsa, ildizlar turli ishorali

Xonalar sonini sanash uchun son $2$ va $5$ ning darajalaridan $10$ ning darajasi yasaladi. Masalan:

7\cdot 8^{10}\cdot 5^{28}=7\cdot 2^{30}\cdot 5^{28}

=7\cdot 2^2\cdot 10^{28}

=28\cdot 10^{28}

28

ikki xonali, unga

28

ta nol qo'shiladi, demak son

30

xonali

Ishlangan misollar

1-misol

$A=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11\}$ , $B=\{1;\,3;\,5;\,7;\,9;\,11\}$ va $C=\{3;\,4;\,5;\,6\}$ bo'lsa, $(A\cap B)\cup C$ to'plamning elementlari sonini toping.

$A\cap B=\{3;\,5;\,7;\,11\}$
Qavs ichi oldin: ikkala to'plamda ham bor elementlarni ajratamiz.
$(A\cap B)\cup C=\{3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,11\}$
$C$ ning elementlarini qo'shamiz, $3$ va $5$ ikki marta yozilmaydi.

Javob: $6$

2-misol

Kursda $60$ talaba bor. $38$ tasi rus tilini, $34$ tasi ingliz tilini o'rganadi, $10\,\%$ i bu tillarning hech birini o'rganmaydi. Nechta talaba faqat rus tilini o'rganadi?

$60\cdot 0{,}1=6$
Foizni songa aylantiramiz: hech birini o'rganmaydiganlar.
$n(A\cup B)=60-6=54$
Qolganlar kamida bitta tilni o'rganadi.
$n(A\cap B)=38+34-54=18$
Birlashma formulasidan kesishmani topamiz.
$38-18=20$
Rus tilini o'rganadiganlardan ikkala tilni o'rganadiganlarni chiqaramiz.

Javob: $20$ ta

3-misol

$A=\{x\mid x^2>900,\ x\in Z\}$ va $B=\{x\mid |x|\le 33,\ x\in Z\}$ bo'lsa, $A\cap B$ ning barcha qism to'plamlari sonini toping.

$x^2>900\ \Leftrightarrow\ |x|>30$
Kvadrat tengsizlik modul orqali yoziladi, musbat ham, manfiy ham sonlar kiradi.
$A\cap B=\{\pm 31;\,\pm 32;\,\pm 33\}$
Ikkala shart birga: $30<|x|\le 33$ . Har bir modulga ikkita butun son mos keladi.
$2^6=64$
Kesishmada $6$ ta element bor. Bo'sh to'plam va o'zi ham sanaladi.

Javob: $64$

4-misol

$120$ yo'lovchi borish va qaytishda poyezd yoki avtobusdan birini tanladi. $70$ tasi borishda, $50$ tasi qaytishda poyezdda yurdi, $60$ tasi borish va qaytishda har xil transportdan foydalandi. Nechta yo'lovchi avtobusda borib, poyezdda qaytdi?

$a+b=70$
Borishda poyezdda yurganlar. $a$ — poyezdda borib poyezdda qaytganlar, $b$ — poyezdda borib avtobusda qaytganlar.
$a+c=50$
Qaytishda poyezdda yurganlar. $c$ — avtobusda borib poyezdda qaytganlar.
$b+c=60$
Har xil transportdan foydalanganlar.
$2a+60=120,\quad a=30$
Birinchi ikki tenglikni qo'shib, $b+c=60$ ni qo'yamiz.
$c=50-30=20$
Qaytishda poyezdda yurganlardan $a$ ni ayiramiz.
$b=70-30=40$
Tekshiruv uchun qolgan sonni ham topamiz.
$d=120-30-40-20=30$
$d$ — ikkala marta avtobusda yurganlar. Son manfiy emas, hammasi $120$ ga yig'iladi.

Javob: $20$ ta

5-misol

Yo'lovchilar choy va qahvadan ko'pi bilan bittasini oldi. Choy olganlar qahva olganlarning $25\,\%$ ini, hech narsa olmaganlar jami yo'lovchilarning $20\,\%$ ini tashkil qiladi. Qahva olmaganlar $72$ nafar bo'lsa, choy olmaganlar nechta?

$q+0{,}25q=T-0{,}2T=0{,}8T$
«Ko'pi bilan bittasi»: to'plamlar kesishmaydi, ular va hech narsa olmaganlar birgalikda butun $T$ ni beradi.
$q=0{,}64T,\quad 0{,}25q=0{,}16T$
Qahva va choy olganlarni $T$ orqali ifodalaymiz.
$0{,}16T+0{,}2T=72,\quad T=200$
Qahva olmaganlar choy olganlar va hech narsa olmaganlardan iborat.
$200-0{,}16\cdot 200=200-32=168$
Jami sondan choy olganlarni ayiramiz. Tekshiruv: $32+128+40=200$ .

Javob: $168$ nafar

6-misol

Mulohazalarni baholang. I mulohaza: $8$ ga ham, $12$ ga ham bo'lingan son $96$ ga bo'linadi. II va III mulohazalar:

\log_2 12-\log_2 3=2

\int\cos x\,dx=\sin x+C

$\text{EKUK}(8;\,12)=24$
$24$ soni $8$ ga ham, $12$ ga ham bo'linadi, lekin $96$ ga bo'linmaydi. Bu qarshi misol, shuning uchun I noto'g'ri.
$\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2$
Logarifmlar ayirmasi formulasi: II to'g'ri.
$(\sin x)'=\cos x$
Hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng: III to'g'ri.

Javob: noto'g'ri, to'g'ri, to'g'ri

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
Birlashma sonini har doim $n(A)+n(B)$ deb olish	kesishma bo'lsa, $n(A\cap B)$ ni ayirish kerak
«Faqat $A$ » deb $n(A)$ ni olish	$n(A)-n(A\cap B)$
«Aynan bittasi» deb birlashmani olish	birlashmadan kesishmani ayirish kerak
$A\setminus B=B\setminus A$	ayirmada tartib muhim
$a$ va $b$ ga bo'lingan son $ab$ ga bo'linadi	$\text{EKUK}(a;\,b)$ ga bo'linadi, $ab$ ga faqat o'zaro tub bo'lganda
Qism to'plamlar soni $2^n-1$	bo'sh to'plam va o'zi bilan $2^n$
$x^2>900$ dan faqat $x>30$	$x>30$ yoki $x<-30$
Bir misolda to'g'ri chiqsa, gap to'g'ri	bitta misol isbot emas, bitta qarshi misol esa rad etadi

Eslab qoling

n(A\cup B)

=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

Hech birida bo'lmaganlar: $N-n(A\cup B)$ . Faqat $A$ da: $n(A)-n(A\cap B)$ .
Qism to'plamlar soni $2^n$ , bo'sh bo'lmaganlari $2^n-1$ .
$B\subset A$ bo'lsa, $A\cap B=B$ , $A\cup B=A$ .
$1$ dan $N$ gacha $k$ ga karralilar $\left[\dfrac{N}{k}\right]$ ta, kesishma uchun EKUK olinadi.
Hech birini o'qimaydiganlar berilsa, avval umumiy sondan ayirib, birlashma sonini top.
Noto'g'ri ekanini ko'rsatishga bitta qarshi misol yetadi.