Amallar tartibi: matematika darsi

Bir xil sonlardan iborat ifoda amallar tartibi turlicha bo'lsa, butunlay boshqa javob beradi. Masalan, $2+3\cdot 4$ ifodada avval qo'shsak $20$ , avval ko'paytirsak $14$ chiqadi. To'g'ri javob bitta bo'lishi uchun matematikada hamma rioya qiladigan qoida bor. Bu darsdan keyin har qanday sonli ifodani xatosiz hisoblay olasiz.

Amallarning to'rt bosqichi

Amallar «kuchi» bo'yicha bosqichlarga bo'linadi. Kuchli bosqich har doim oldin bajariladi:

Navbat	Nima bajariladi	Belgisi
Navbat1	Nima bajariladiQavs ichidagi amallar	Belgisi $(\ )$ , $[\ ]$ , $\{\ \}$
Navbat2	Nima bajariladiDarajaga ko'tarish va ildiz chiqarish	Belgisi $a^n$ , $\sqrt{a}$
Navbat3	Nima bajariladiKo'paytirish va bo'lish, chapdan o'ngga	Belgisi $\cdot$ va $:$
Navbat4	Nima bajariladiQo'shish va ayirish, chapdan o'ngga	Belgisi $+$ va $-$

Bir bosqichdagi amallar orasida ustunlik yo'q: ular yozilgan tartibda, chapdan o'ngga bajariladi.

Ko'paytirish qo'shishdan oldin

2+3\cdot 4=2+12=14

Avval

3\cdot 4

, keyin qo'shish

20-12:4=20-3=17

Avval bo'lish, keyin ayirish

Bir bosqichdagi amallar: chapdan o'ngga

Ko'paytirish bo'lishdan «kuchliroq» emas. Qaysi biri oldin yozilgan bo'lsa, o'shasi oldin bajariladi. Eng ko'p xato aynan shu yerda qilinadi.

24:4\cdot 2=6\cdot 2=12

24:8=3

deb hisoblash xato: ko'paytirish bo'lishdan keyin yozilgan

36:3:2=12:2=6

Bo'lishlar ham chapdan o'ngga

Qo'shish va ayirish ham xuddi shunday:

15-6+2=9+2=11

15-8=7

deb hisoblash xato

20-7-3=13-3=10

20-4=16

deb hisoblash xato

Daraja ko'paytirishdan kuchli

Daraja faqat o'zidan oldin turgan songa yoki qavsga tegishli. Shuning uchun qavsning bor-yo'qligi javobni o'zgartiradi:

Ifoda	Hisob	Javob
Ifoda $4\cdot 5^2$	Hisob $4\cdot 25$	Javob $100$
Ifoda $(4\cdot 5)^2$	Hisob $20^2$	Javob $400$
Ifoda $-3^2$	Hisob $-(3\cdot 3)$	Javob $-9$
Ifoda $(-3)^2$	Hisob $(-3)\cdot(-3)$	Javob $9$
Ifoda $2+3^2$	Hisob $2+9$	Javob $11$
Ifoda $(2+3)^2$	Hisob $5^2$	Javob $25$

−3² va (−3)² bir xil emas! Qavs bo'lmasa, daraja minusga tegmaydi.

Qavslar

Qavs tartibni o'zgartirish uchun qo'yiladi: qavs ichi har doim birinchi. Qavs ichida ham o'sha to'rt bosqich ishlaydi. Qavs ichida qavs bo'lsa, eng ichkisidan boshlanadi.

(2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20

Qavs qo'shishni birinchi navbatga olib chiqdi

2\cdot(3+4\cdot 5)=2\cdot(3+20)

=2\cdot 23=46

Qavs ichida ham avval ko'paytirish

3\cdot[20-2\cdot(1+5)]

=3\cdot[20-12]

=3\cdot 8=24

Eng ichki qavsdan tashqariga

Kasr chizig'i ham qavs

Kasr chizig'i bo'lish belgisi, lekin surat va maxraj yaxlit qavs ichida turgandek hisoblanadi. Avval suratni, keyin maxrajni alohida topamiz, oxirida bo'lamiz. Ildiz belgisi ostidagi ifoda ham xuddi shunday yaxlit.

\frac{3+5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3

Yozuvda bu

(3+5\cdot 3):(2\cdot 3)

degani

\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

\sqrt{9}+\sqrt{16}=7

deb hisoblash xato

Ko'paytirish belgisi yozilmagan holat

$2(3+4)$ yozuvi $2\cdot(3+4)$ bilan bir xil. Testlarda shunday ifoda bo'lishdan keyin kelsa, chapdan o'ngga qoidasi yana ishlaydi: $12:2\cdot(1+2)$ da avval qavs, so'ng bo'lish, keyin ko'paytirish.

12:2\cdot(1+2)=12:2\cdot 3

=6\cdot 3=18

Hisobni qisqartirish: qavsdan chiqarish

Katta sonlarni ko'paytirib o'tirish shart emas. Hadlarda umumiy ko'paytuvchi bo'lsa, uni qavsdan chiqaramiz. Ifodaning qiymati o'zgarmaydi: qavsni ochsak, o'sha ifoda qaytadi.

a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)

a\cdot b-a\cdot c=a(b-c)

Ikki had:

37\cdot 14+37\cdot 86

=37\cdot(14+86)

=37\cdot 100=3700

To'rt had: juftlab chiqaramiz, keyin yana umumiy ko'paytuvchi chiqadi:

23\cdot 17+23\cdot 13

+77\cdot 17+77\cdot 13

=23\cdot 30+77\cdot 30

=100\cdot 30=3000

Zanjir: qo'shni ko'paytmalarda umumiy son bor:

41\cdot 42-42\cdot 43

+43\cdot 44-44\cdot 45

=42\cdot(41-43)

+44\cdot(43-45)

=-84-88=-172

Yaqin ko'paytmalar ayirmasi: bittasini ajratsak, bir xil qism paydo bo'ladi va qisqaradi.

1004\cdot 1007

=1004\cdot 1006+1004

1005\cdot 1006

=1004\cdot 1006+1006

Ikkinchisini birinchisidan ayiramiz, $1004\cdot 1006$ qisqaradi:

1004\cdot 1007-1005\cdot 1006

=1004-1006=-2

Yaxlit songa yaqin son:

997^2=997\cdot(1000-3)

=997000-2991=994009

Bir xil raqamli sonlar:

3333+8888

=3\cdot 1111+8\cdot 1111

=11\cdot 1111=12221

Raqamlar soni $n$ ta bo'lsa, yig'indi $1$ , keyin $n-1$ ta $2$ , keyin $1$ ko'rinishida bo'ladi.

Darajalar bilan hisoblash

Qoida	Misol
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$2^3\cdot 2^4=2^7$
$a^m:a^n=a^{m-n}$ , bunda $a\ne 0$ , $m>n$	$3^5:3^2=3^3$
$(a^m)^n=a^{mn}$	$(2^2)^5=2^{10}$
$(ab)^n=a^n b^n$	$6^3=2^3\cdot 3^3$

Bir xil darajalar yig'indisi ko'paytmaga aylanadi: $3^{10}+3^{10}+3^{10}=3\cdot 3^{10}=3^{11}$ . Har xil darajalarda kichik darajani qavsdan chiqaramiz: $2^{10}-2^8=2^8(2^2-1)=2^8\cdot 3$ . Kasrda surat va maxrajni tub asoslarga keltirib, umumiy ko'paytuvchilarni qisqartiramiz:

\frac{6^3\cdot 5+6^3\cdot 7}{2^3\cdot 3^4}=\frac{2^3\cdot 3^3\cdot 12}{2^3\cdot 3^4}

=\frac{12}{3}=4

Kasrlar aralashgan ifodalar

Amallar tartibi o'zgarmaydi. Aralash sonni noto'g'ri kasrga, o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirsak, hisob qisqaradi:

O'nli	Oddiy	O'nli	Oddiy
O'nli $0{,}5$	Oddiy $\dfrac{1}{2}$	O'nli $0{,}25$	Oddiy $\dfrac{1}{4}$
O'nli $0{,}75$	Oddiy $\dfrac{3}{4}$	O'nli $0{,}2$	Oddiy $\dfrac{1}{5}$
O'nli $0{,}125$	Oddiy $\dfrac{1}{8}$	O'nli $0{,}375$	Oddiy $\dfrac{3}{8}$

Kasrga bo'lish uning teskarisiga ko'paytirish demak. Kasr amallari «Kasrlar» modulida batafsil o'tiladi.

1\frac{1}{2}\cdot 0{,}8+4{,}5:1\frac{1}{2}

=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{3}

=\frac{6}{5}+3=4{,}2

Qavslarda bir xil kasrlar takrorlansa, har bir kasr oldidagi sonlarni yig'amiz:

1\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)

+3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+5\cdot\frac{1}{3}

=1\cdot 1+(1+3)\cdot\frac{1}{2}

+(1+3+5)\cdot\frac{1}{3}

=1+2+3=6

Ishlangan misollar

1-misol

Hisoblang: $7+2\cdot 3^2-10:5$

$7+2\cdot 9-10:5$
Qavs yo'q, birinchi navbat darajada: $3^2=9$ .
$7+18-2$
Ko'paytirish va bo'lish: $2\cdot 9=18$ va $10:5=2$ .
$25-2=23$
Qo'shish va ayirish chapdan o'ngga.

Javob: $23$

2-misol

Hisoblang: $48:(2+6)\cdot 3-2^2$

$48:8\cdot 3-2^2$
Qavs: $2+6=8$ .
$48:8\cdot 3-4$
Daraja: $2^2=4$ .
$6\cdot 3-4$
Bo'lish oldin yozilgan: $48:8=6$ .
$18-4=14$
Ko'paytirib, keyin ayiramiz.

Javob: $14$

3-misol

Hisoblang: $\dfrac{2^3+4\cdot 3}{5^2-5}+6:2\cdot 3$

$\frac{8+12}{25-5}+6:2\cdot 3$
Surat va maxrajni alohida hisoblaymiz.
$\frac{20}{20}+6:2\cdot 3$
Kasr chizig'i ham qavsdek.
$1+3\cdot 3$
Kasr $1$ ga teng, $6:2=3$ .
$1+9=10$
Oxirida qo'shish.

Javob: $10$

4-misol

Hisoblang: $\dfrac{3^9-3^7}{2^3\cdot 3^5}+\left(1\dfrac{1}{2}\right)^2:0{,}75$

$\frac{3^7(3^2-1)}{2^3\cdot 3^5}+\left(\frac{3}{2}\right)^2:\frac{3}{4}$
Suratda kichik darajani qavsdan chiqaramiz, aralash va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantiramiz.
$\frac{3^7\cdot 2^3}{2^3\cdot 3^5}+\frac{9}{4}:\frac{3}{4}$
$3^2-1=8=2^3$ . Keyin daraja bajariladi.
$3^2+\frac{9}{4}\cdot\frac{4}{3}$
Kasrni qisqartiramiz: $3^7:3^5=3^2$ . Kasrga bo'lish teskarisiga ko'paytirish.
$9+3=12$
Oxirida qo'shish.

Javob: $12$

Ko'p uchraydigan xatolar

Ifoda	Xato	To'g'risi
Ifoda $2+3\cdot 4$	Xato $20$	To'g'risi $14$
Ifoda $24:4\cdot 2$	Xato $3$	To'g'risi $12$
Ifoda $15-6+2$	Xato $7$	To'g'risi $11$
Ifoda $-3^2$	Xato $9$	To'g'risi $-9$
Ifoda $4\cdot 5^2$	Xato $400$	To'g'risi $100$
Ifoda $3^{10}+3^{10}+3^{10}$	Xato $9^{10}$	To'g'risi $3\cdot 3^{10}=3^{11}$
Ifoda $2^{10}-2^8$	Xato $2^2$	To'g'risi $2^8(2^2-1)=2^8\cdot 3$

Eslab qoling

Qavs, daraja va ildiz, ko'paytirish va bo'lish, qo'shish va ayirish: tartib shu.
Bir bosqichdagi amallar chapdan o'ngga bajariladi.
Kasr chizig'i va ildiz belgisi qavs vazifasini ham bajaradi.
Daraja faqat o'zidan oldingi songa yoki qavsga tegishli.
Katta sonlarda umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaramiz: $ab+ac=a(b+c)$ . Darajalarda kichik darajani chiqaramiz.
$a^m a^n=a^{m+n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $(ab)^n=a^n b^n$ .
Aralash va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirib hisoblaymiz.