Bo'linish belgilari: matematika darsi

$123456$ soni $3$ ga bo'linadimi? Uni bo'lib o'tirish shart emas: raqamlari yig'indisi $21$ ga teng, $21$ esa $3$ ga bo'linadi, demak son ham bo'linadi. Bo'linish belgilari katta sonni bir necha soniyada tekshirishga imkon beradi. Noma'lum raqamli, «qaysi biri doimo juft», «nechta son bo'linadi» kabi test savollarining hammasi shu belgilarga tayanadi.

Asosiy tushunchalar

$a$ soni $b$ ga qoldiqsiz bo'linsa, $a=b\cdot k$ deb yoziladi, bunda $k$ butun son. Qisqa yozuvi: $a\ \vdots\ b$ . Bunda $a$ soni $b$ ga karrali, $b$ esa $a$ ning bo'luvchisi deyiladi. Masalan, $36=4\cdot 9$ , shuning uchun $36\ \vdots\ 4$ va $36\ \vdots\ 9$ .

Har qanday natural son $1$ ga va o'ziga bo'linadi.
$0$ har qanday natural songa bo'linadi: $0=b\cdot 0$ .
$2$ ga bo'linadigan son juft, bo'linmaydigan son toq deyiladi: $14$ juft, $15$ toq.
Ikki sonning $1$ dan boshqa umumiy bo'luvchisi bo'lmasa, ular o'zaro tub deyiladi: $8$ va $15$ o'zaro tub, $8$ va $12$ emas, chunki ikkalasi ham $4$ ga bo'linadi.

Oxirgi raqam bo'yicha: 2, 5 va 10

Har qanday sonni $\overline{\ldots a}=10\cdot m+a$ deb yozish mumkin, bunda $a$ oxirgi raqam. $10$ soni $2$ ga ham, $5$ ga ham bo'linadi, shuning uchun hammasini oxirgi raqam hal qiladi.

Bo'luvchi	Shart	Misol
Bo'luvchi $2$	ShartOxirgi raqam $0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8$	Misol $4738$ bo'linadi, $4739$ bo'linmaydi
Bo'luvchi $5$	ShartOxirgi raqam $0$ yoki $5$	Misol $4735$ bo'linadi, $4736$ bo'linmaydi
Bo'luvchi $10$	ShartOxirgi raqam $0$	Misol $4730$ bo'linadi, $4735$ bo'linmaydi

Oxirgi bir nechta raqam bo'yicha: 4, 25, 8, 125, 16

$100=4\cdot 25$ bo'lgani uchun yuzliklar va undan yuqori xonalar $4$ ga ham, $25$ ga ham bo'linadi. Shuning uchun oxirgi ikki raqamni tekshirish yetarli. Xuddi shunday, $1000=8\cdot 125$ va $10000=16\cdot 625$ .

Bo'luvchi	Nimani tekshiramiz	Misol
Bo'luvchi $4$	Nimani tekshiramizOxirgi ikki raqamdan tuzilgan son	Misol $7312$ : $12=4\cdot 3$
Bo'luvchi $25$	Nimani tekshiramizOxirgi ikki raqam $00,\ 25,\ 50,\ 75$	Misol $8175$ bo'linadi
Bo'luvchi $8$	Nimani tekshiramizOxirgi uch raqamdan tuzilgan son	Misol $5128$ : $128=8\cdot 16$
Bo'luvchi $125$	Nimani tekshiramizOxirgi uch raqamdan tuzilgan son	Misol $7375$ : $375=125\cdot 3$
Bo'luvchi $16$	Nimani tekshiramizOxirgi to'rt raqamdan tuzilgan son	Misol $240048$ : $48=16\cdot 3$

Raqamlar yig'indisi bo'yicha: 3 va 9

Son $3$ ga bo'linishi uchun raqamlari yig'indisi $3$ ga, $9$ ga bo'linishi uchun raqamlari yig'indisi $9$ ga bo'linishi kerak va yetarli.

Sababi: $10=9+1$ , $100=99+1$ , $1000=999+1$ . Shuning uchun uch xonali sonni quyidagicha yozish mumkin:

\overline{abc}=100a+10b+c

=(99a+9b)+(a+b+c)

Qavsdagi birinchi qism doim

9

ga bo'linadi

Misol: $5283$ uchun $5+2+8+3=18$ , $18$ soni $9$ ga bo'linadi, demak $5283=9\cdot 587$ . $123$ uchun $1+2+3=6$ : son $3$ ga bo'linadi, $9$ ga bo'linmaydi.

Son 9 ga bo'linsa, 3 ga ham bo'linadi. Aksincha emas: 123 soni 3 ga bo'linadi, 9 ga bo'linmaydi.

11 ga bo'linish belgisi

Raqamlarni o'ngdan boshlab navbat bilan $+$ va $-$ ishorasi bilan qo'shamiz. Natija $11$ ga bo'linsa (natija $0$ yoki manfiy bo'lishi ham mumkin), son ham $11$ ga bo'linadi. Sababi: $10+1=11$ , $100-1=99$ , $1000+1=1001$ sonlarining hammasi $11$ ga bo'linadi.

S=f-e+d-c+b-a

\overline{abcdef}\ \vdots\ 11\iff S\ \vdots\ 11

Misol: $918082$ uchun $2-8+0-8+1-9=-22$ , u $11$ ga bo'linadi, demak $918082=11\cdot 83462$ .

7, 13 va takrorlangan yozuvlar

$7$ va $13$ uchun qulay belgi yo'q, sonni bo'lib ko'ramiz. Lekin takrorlangan yozuvli sonlarda bo'luvchi yoyilmadan darhol ko'rinadi:

\overline{abab}=1010a+101b=101\cdot\overline{ab}

Har doim

101

ga bo'linadi

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish