Qoldiqli bo'lish: matematika darsi

Bugun dushanba bo'lsa, $100$ kundan keyin qaysi kun bo'ladi? Haftada $7$ kun bor va $100=7\cdot 14+2$ , ya'ni $14$ ta to'liq hafta o'tib, yana $2$ kun qoladi: chorshanba. Bu savolga butun son emas, qoldiq javob beradi. Testlarda $2^{2030}$ kabi ulkan sonlarning qoldig'i ham so'raladi, uni bir necha qatorda topish mumkin.

Asosiy formula

a=b\cdot q+r

0\le r<b

a

bo'linuvchi,

b

bo'luvchi,

q

bo'linma,

r

qoldiq

Qoldiq manfiy bo'lmaydi va bo'luvchidan kichik bo'ladi. $b$ ga bo'lganda qoldiq $0,\ 1,\ \ldots,\ b-1$ dan biri, jami $b$ xil qiymat.

$47=6\cdot 7+5$ : bo'linma $7$ , qoldiq $5$ .
$47=6\cdot 6+11$ qoldiqli bo'lish emas, chunki $11$ bo'luvchi $6$ dan katta.
$5=8\cdot 0+5$ : bo'linuvchi bo'luvchidan kichik bo'lsa, bo'linma $0$ , qoldiq sonning o'zi.
$36=9\cdot 4+0$ : qoldiq $0$ bo'lsa, son qoldiqsiz bo'linadi.

Manfiy son uchun ham qoldiq manfiy bo'lmaydi: $-7=5\cdot(-2)+3$ , ya'ni $-7$ ni $5$ ga bo'lgandagi qoldiq $3$ . Manfiy natija chiqsa, manfiy bo'lmay qolguncha unga bo'luvchini qo'shamiz: $-7+5+5=3$ .

Noma'lum qismni topish

Nima topiladi	Formula	Misol
Nima topiladiBo'linuvchi	Formula $a=bq+r$	Misol $b=23,\ q=14,\ r=9$ : $a=331$
Nima topiladiBo'linma	Formula $q=(a-r):b$	Misol $a=331,\ b=23,\ r=9$ : $q=14$
Nima topiladiBo'luvchi	Formula $b=(a-r):q$	Misol $a=331,\ q=14,\ r=9$ : $b=23$
Nima topiladiQoldiq	Formula $r=a-bq$	Misol $a=331,\ b=23,\ q=14$ : $r=9$

Bo'luvchini topganda doim tekshiring: u qoldiqdan katta bo'lishi shart.

Masalan, $100$ ni bo'lganda bo'linma $8$ , qoldiq $20$ chiqishi mumkinmi? $(100-20):8=10$ , lekin $10<20$ . Demak, bunday bo'lish yo'q.

Bo'lmasdan qoldiq topish

Bo'linish belgilari qoldiqni ham beradi, chunki tashlab yuboriladigan qism bo'luvchiga karrali:

Bo'luvchi	Qoldiq nimaning qoldig'iga teng	$73958$ uchun
Bo'luvchi $2,\ 5,\ 10$	Qoldiq nimaning qoldig'iga tengOxirgi raqam	$73958$ uchun $8$ dan: $0,\ 3,\ 8$
Bo'luvchi $4,\ 25$	Qoldiq nimaning qoldig'iga tengOxirgi ikki raqamdan tuzilgan son	$73958$ uchun $58$ dan: $2$ va $8$
Bo'luvchi $8,\ 125$	Qoldiq nimaning qoldig'iga tengOxirgi uch raqamdan tuzilgan son	$73958$ uchun $958$ dan: $6$ va $83$
Bo'luvchi $3,\ 9$	Qoldiq nimaning qoldig'iga tengRaqamlar yig'indisi	$73958$ uchun $32$ dan: $2$ va $5$
Bo'luvchi $11$	Qoldiq nimaning qoldig'iga tengO'ngdan navbatma-navbat ishorali yig'indi	$73958$ uchun $8-5+9-3+7=16$ dan: $5$

Shu sababli $123\ldots 4243$ kabi uzun sonning $25$ ga bo'lgandagi qoldig'ini oxirgi ikki raqam belgilaydi. Bunda $123\ldots 42\cdot 100$ qismi $25$ ga bo'linadi, qoldiqni $43$ beradi: $43=25+18$ , qoldiq $18$ .

Yig'indi, ayirma va ko'paytmaning qoldig'i

Sonlar o'rniga ularning qoldiqlarini qo'yish mumkin: qoldiqlarni qo'shamiz, ayiramiz yoki ko'paytiramiz, natijani yana bo'luvchiga bo'lamiz.

Sababi: $a=bk+r_1$ va $c=bm+r_2$ bo'lsin. Unda:

a+c=b(k+m)+r_1+r_2

ac=bN+r_1r_2

N=bkm+kr_2+mr_1

$b(k+m)$ va $bN$ qismlar $b$ ga karrali, qoldiqni faqat $r_1+r_2$ yoki $r_1r_2$ belgilaydi.

Misol: $38$ ni $7$ ga bo'lganda qoldiq $3$ , $57$ ni $7$ ga bo'lganda qoldiq $1$ .

Amal	Qoldiqlar bilan	Tekshiruv
Amal $38+57$	Qoldiqlar bilan $3+1=4$	Tekshiruv $95=7\cdot 13+4$
Amal $38\cdot 57$	Qoldiqlar bilan $3\cdot 1=3$	Tekshiruv $2166=7\cdot 309+3$
Amal $57-38$	Qoldiqlar bilan $1-3=-2$ , $-2+7=5$	Tekshiruv $19=7\cdot 2+5$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish