Arifmetik va geometrik progressiya birga: matematika darsi

$3,\ 6,\ 9$ arifmetik progressiya. Ularga mos ravishda $1,\ 2,\ 7$ qo'shilsa, $4,\ 8,\ 16$ geometrik progressiya chiqadi. Imtihonning qiyin masalalari shunday tuziladi: bir shart arifmetik, ikkinchisi geometrik. Har bir shartni bittadan tenglama qilib yozsak, sistema hosil bo'ladi. Bu darsda shu tenglamalar, belgilashlar va ildizlarni tanlash qoidalari beriladi.

Ikki asosiy tenglama

2y=x+z

x,\ y,\ z

shu tartibda arifmetik progressiya bo'lishining zarur va yetarli sharti. Hech qanday ishora sharti yo'q

y^2=xz

x,\ y,\ z\ne 0

x,\ y,\ z

shu tartibda geometrik progressiya bo'lishining zarur va yetarli sharti. Sonlar noldan farqli bo'lishi shart

O'rta arifmetik uchun $y=\dfrac{x+z}{2}$ bitta qiymat, o'rta geometrik uchun esa ikkita: $4,\ y,\ 16$ da $y=8$ yoki $y=-8$ . Musbat hadli deyilgan bo'lsa, $y=8$ . Musbat $x$ va $z$ uchun $\sqrt{xz}\le\dfrac{x+z}{2}$ , tenglik faqat $x=z$ da.

Ham arifmetik, ham geometrik bo'ladigan ketma-ketlik

Uch son bir vaqtda arifmetik va geometrik progressiya tashkil etsa, ular teng: $x=y=z\ne 0$ . Bu ketma-ketlikda $d=0$ , $q=1$ .

Sababi: $y=\dfrac{x+z}{2}$ ni $y^2=xz$ ga qo'ysak, $(x+z)^2=4xz$ , ya'ni $(x-z)^2=0$ . Shuning uchun masalalardagi tenglamada $d=0$ ildizi tez-tez chiqadi.

Agar shartda ayirma noldan farqli yoki progressiya o'suvchi deyilgan bo'lsa, u tashlanadi. Shart buni aytmasa, $d=0$ ham rasman yechim: barcha hadlar teng va $q=1$ . Masalan, 4-misolda $d\ne 0$ deyilmaganda $a_1=4$ ham mos kelardi.

Imtihon masalalarida bu shart ba'zan yozilmaydi va o'zgarmas bo'lmagan progressiya nazarda tutiladi, shunda javob $d\ne 0$ holatidan olinadi. $a_1=b_1$ , $a_2=b_2$ kabi shartlarda chiqadigan $q=1$ ildizi ham xuddi shu holat. Hadlarni $d$ ga qisqartirishdan oldin $d\ne 0$ ekanini bilish kerak.

$a_1,\ a_2,\ a_5$ hadlar geometrik progressiya tashkil etsa va $d\ne 0$ bo'lsa:

(a_1+d)^2=a_1(a_1+4d)

d^2=2a_1d

d=2a_1

q=3

Masalan,

a_1=3

d=6

3,\ 9,\ 27

Asosiy masala turlari

Berilgan	Yozish	Tenglama
BerilganArifmetik sonlarga qo'shilsa, geometrik chiqadi	Yozish $a-d+p,\ a+r,\ a+d+s$	Tenglama $(a+r)^2=(a-d+p)(a+d+s)$
BerilganGeometrik sonlarga qo'shilsa, arifmetik chiqadi	Yozish $b+p,\ bq+r,\ bq^2+s$	Tenglama $2(bq+r)=b+p+bq^2+s$
BerilganArifmetik progressiyaning $a_k,\ a_m,\ a_l$ hadlari geometrik	Yozish $a_1+(k-1)d$ va hokazo	Tenglama $a_m^2=a_ka_l$
Berilgan $a_1=b_1$ , $a_2=b_2$ kabi tengliklar	Yozish $a_1=b$ , $d=b(q-1)$	Tenglamaqolgan shartlar $q$ ga tenglama beradi
BerilganBitta son almashtirilsa, boshqa progressiya chiqadi	Yozish $x,\ y,\ z$ va $x,\ y,\ z'$	Tenglama $y^2=xz$ , $2y=x+z'$
BerilganTo'rt son: dastlabki uchtasi arifmetik, oxirgi uchtasi geometrik	Yozish $x-d,\ x,\ x+d,\ \dfrac{(x+d)^2}{x}$	Tenglamaqolgan shartlar

Belgilash shartga qarab tanlanadi: yig'indi berilgan arifmetik sonlar uchun $a-d,\ a,\ a+d$ ; ko'paytma berilgan geometrik sonlar uchun $\dfrac{x}{q},\ x,\ xq$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish