Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya: matematika darsi

Yuzi $1$ bo'lgan kvadratning yarmini, keyin qolganining yarmini bo'yab boraversak, bo'yalgan yuzlar $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots$ cheksiz yig'indi bo'ladi, lekin butun kvadratdan oshmaydi: yig'indi $1$ ga teng. Cheksiz ko'p sonni qo'shib chekli son olish shu darsning mavzusi, davriy kasrlar ham shu yerdan kelib chiqadi.

Ta'rif

Maxraji $|q|<1$ shartni qanoatlantiradigan geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi. Geometrik progressiyada $q\ne 0$ bo'lgani uchun shart to'liq: $-1<q<1$ , $q\ne 0$ .

Kamayadigani hadlarning moduli. $q<0$ da hadlarning o'zi ketma-ket kamaymaydi: $9,\ -3,\ 1,\ -\dfrac{1}{3},\ \ldots$ da ishora almashadi, lekin $q=-\dfrac{1}{3}$ va bu ham cheksiz kamayuvchi progressiya.

Cheksiz yig'indi formulasi

$S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ . $|q|<1$ da $n$ o'sgan sari $q^n$ nolga yaqinlashadi, shuning uchun $S_n$ ham ma'lum songa yaqinlashadi. Shu son cheksiz yig'indi deyiladi. $12+6+3+\ldots$ da:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$
$n$ $S_n$	$1$ $12$	$2$ $18$	$3$ $21$	$4$ $22{,}5$	$5$ $23{,}25$	$10$ $\approx 23{,}98$

S=\frac{b_1}{1-q}

|q|<1

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi

Yuqoridagi misolda $b_1=12$ , $q=\dfrac{1}{2}$ , demak $S=\dfrac{12}{1-\frac{1}{2}}=24$ .

$|q|\ge 1$ bo'lsa, cheksiz yig'indi mavjud emas va formulani qo'llab bo'lmaydi: $1+2+4+\ldots$ da formula $-1$ beradi, bu ma'nosiz. $q=1$ da $S_n=nb_1$ cheksiz o'sadi yoki kamayadi, formulada esa nolga bo'lish chiqadi. $q=-1$ da $1-1+1-\ldots$ yig'indilari $1$ va $0$ orasida almashib turadi.

$q$ manfiy bo'lsa, kasrning maxraji $1-q$ birdan katta bo'ladi: $9-3+1-\ldots$ da $1-q=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$ , $S=\dfrac{27}{4}$ . Avval $q$ ni ishorasi bilan topamiz va $|q|<1$ ekanini tekshiramiz.

Formuladan b1 va q ni topish

b_1=S(1-q)

q=1-\frac{b_1}{S}

S\ne 0

, chunki

b_1\ne 0

Topilgan $q$ uchun $-1<q<1$ , $q\ne 0$ ekanini albatta tekshiramiz. $b_1=5$ , $S=2$ desa, $q=-\dfrac{3}{2}$ : bunday progressiya yo'q. Umuman, $0<\dfrac{b_1}{S}<2$ va $b_1\ne S$ bo'lishi kerak.

Yig'indi qaysi oraliqda bo'lishi $q$ ning oralig'idan topiladi. $b_1>0$ da $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ ifoda $q$ bilan birga o'sadi.

$q\to -1$ da $S\to\dfrac{b_1}{2}$ , $q\to 1$ da $S$ cheksiz o'sadi. Demak, $b_1>0$ bo'lganda:

S>\frac{b_1}{2}

S\ne b_1

q>0\ \text{da}\ S>b_1

q<0\ \text{da}\ \frac{b_1}{2}<S<b_1

Qoldiq: cheksiz yig'indi va dastlabki hadlar

$n$ -haddan keyingi barcha hadlar ham cheksiz kamayuvchi progressiya: birinchi hadi $b_1q^n$ , maxraji $q$ . Shuning uchun:

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish