Geometrik progressiya: matematika darsi

Bakteriyalar har soatda $2$ baravar ko'paysa va boshida $3$ ta bo'lsa, soni $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \ldots$ bo'ladi: oltinchi hadi $3\cdot 2^5=96$ . Arifmetik progressiyada har qadamda son qo'shilsa, bu yerda songa ko'paytiriladi. Bu darsda geometrik progressiyaning har bir formulasi, ishora bilan bog'liq shartlari va imtihon usullari beriladi.

Ta'rif

Birinchi hadi noldan farqli bo'lib, ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi oldingi hadni bir xil $q\ne 0$ songa ko'paytirishdan hosil bo'ladigan ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi: $b_{n+1}=b_n\cdot q$ , $b_1\ne 0$ . $q$ son progressiyaning maxraji: $q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ .

Demak, geometrik progressiyaning birorta ham hadi nolga teng emas. Qaysi hol qanday progressiya berishi $b_1$ va $q$ ga bog'liq:

Shart	Progressiya	Misol
Shart $b_1>0,\ q>1$	Progressiyao'suvchi	Misol $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$
Shart $b_1>0,\ 0<q<1$	Progressiyakamayuvchi	Misol $8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \ldots$
Shart $b_1<0,\ q>1$	Progressiyakamayuvchi	Misol $-1,\ -2,\ -4,\ \ldots$
Shart $b_1<0,\ 0<q<1$	Progressiyao'suvchi	Misol $-8,\ -4,\ -2,\ \ldots$
Shart $q=1$	Progressiyao'zgarmas	Misol $5,\ 5,\ 5,\ \ldots$
Shart $q<0$	Progressiyaishoralari almashadi, o'suvchi ham, kamayuvchi ham emas	Misol $3,\ -6,\ 12,\ -24,\ \ldots$

Shartda progressiya o'suvchi yoki kamayuvchi deyilgan bo'lsa, demak $q>0$ . Faqat $q>1$ deyish yetarli emas: manfiy hadlarda $q>1$ kamayuvchi progressiya beradi.

n-hadi formulasi

b_n=b_1\cdot q^{n-1}

Birinchi haddan

n

-hadgacha

n-1

marta ko'paytiriladi

b_n=b_k\cdot q^{n-k}

q^{m-k}=\frac{b_m}{b_k}

Istalgan ma'lum haddan boshlab; ikki hadni bo'lib, maxrajning darajasini topamiz

Maxrajning darajasi topilgach, daraja ko'rsatkichiga qaraymiz:

Tenglama	Yechim	Sababi
Tenglama $q^3=8$	Yechim $q=2$	Sababitoq darajada bitta haqiqiy ildiz
Tenglama $q^3=-8$	Yechim $q=-2$	Sababitoq darajada ishora saqlanadi
Tenglama $q^4=16$	Yechim $q=2$ yoki $q=-2$	Sababijuft darajada ikkita ildiz
Tenglama $q^2=-4$	Yechimyechim yo'q	Sababibunday progressiya mavjud emas

Juft darajada shartga qarash kerak: hadlari musbat, o'suvchi yoki kamayuvchi deyilsa, $q>0$ . Shart bo'lmasa, ikkala $q$ ham javob bo'lishi mumkin.

Dastlabki n ta had yig'indisi

$S_n=b_1+b_1q+\ldots+b_1q^{n-1}$ ni $q$ ga ko'paytirsak, $qS_n=b_1q+\ldots+b_1q^n$ . Ayirganda o'rtadagi hadlar qisqaradi: $qS_n-S_n=b_1q^n-b_1$ . $q\ne 1$ bo'lsa, $q-1$ ga bo'lish mumkin:

S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}

q\ne 1

Ikkalasi bir xil;

0<q<1

da ikkinchisi qulay

S_n=\frac{b_nq-b_1}{q-1}

q\ne 1

Oxirgi had ma'lum bo'lganda:

b_1q^n=b_nq

S_n=nb_1

q=1

Barcha hadlar teng. Kasrning maxraji

q-1=0

bo'lgani uchun umumiy formula bu holda ishlamaydi

$q=-1$ da formula ishlaydi: $n$ juft bo'lsa $S_n=0$ , toq bo'lsa $S_n=b_1$ .

O'rta geometrik xossasi va uning ishorasi

Ikkinchi hadidan boshlab har bir hadning kvadrati qo'shni hadlar ko'paytmasiga teng: $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ , $n\ge 2$ . Umuman, $b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}$ , $1\le k<n$ .

Sababi: $b_{n-k}=\dfrac{b_n}{q^k}$ , $b_{n+k}=b_nq^k$ va ko'paytmada $q^k$ qisqaradi. Xossadan hadning o'zini topganda ishoraga e'tibor beramiz:

Shart	Xulosa	Misol
Sharthar qanday geometrik progressiya	Xulosa $\|b_n\|=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$	Misol $3,\ y,\ 12$ da $y=6$ yoki $y=-6$
Sharthadlari musbat	Xulosa $b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$	Misol $3,\ y,\ 12$ da $y=6$
Shart $q<0$	Xulosa $b_n$ ning ishorasi qo'shnilariga teskari	Misol $3,\ -6,\ 12$

Teskari tasdiq: noldan farqli $x,\ y,\ z$ sonlar uchun $y^2=xz$ bo'lsa, ular shu tartibda geometrik progressiya tashkil etadi, $q=\dfrac{y}{x}$ . Noldan farqlilik sharti muhim: $0,\ 0,\ 5$ uchun $0^2=0\cdot 5$ o'rinli, lekin bu geometrik progressiya emas.

Shu sababli $y^2=xz$ tenglamasining ildizlarini tekshiramiz: hadlardan biri nol chiqsa, bu ildiz chetlatiladi. Bundan tashqari, $y^2=xz$ dan $xz>0$ , ya'ni $x$ va $z$ bir xil ishorali: birinchi va uchinchi had hech qachon har xil ishorali bo'lmaydi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish