Sonlarga oid masalalar: raqamlar, yosh, soat millari: matematika darsi

Matnli masalada formula tayyor berilmaydi: uni gapning o'zidan tuzamiz. "Otasi $46$ yoshda, o'g'li $19$ yoshda, necha yildan keyin otasi o'g'lidan $2$ marta katta bo'ladi" degan gap bitta tenglama, $46+x=2(19+x)$ . Bu darsda sonlar, raqamlar, yosh va soat millari haqidagi masalalarning har bir turi uchun noma'lumni tanlash, miqdorlar jadvali, tenglama va javobni tekshirish ko'rsatiladi.

Matnli masalani yechish tartibi

Noma'lumni tanlaymiz. Odatda so'ralgan miqdorni yoki qolgan miqdorlar eng oson ifodalanadigan miqdorni $x$ deymiz va u qanday son bo'lishi kerakligini yozamiz: raqam $0$ dan $9$ gacha, odamlar soni natural, yosh musbat.
Miqdorlar jadvalini tuzamiz: har bir ishtirokchi uchun barcha miqdorlar $x$ orqali yoziladi.
Matndagi hali ishlatilmagan shartdan tenglama tuzamiz.
Tenglamani yechamiz va birinchi qadamdagi talabga to'g'ri kelmagan ildizni tashlaymiz.
Javobni tuzilgan tenglamaga emas, masala matniga qo'yib tekshiramiz. Tenglama noto'g'ri tuzilgan bo'lsa, unga qo'yish xatoni ko'rsatmaydi.

Gapni tenglama tiliga quyidagicha o'giramiz. Bu yerda $a$ musbat son:

Matnda	Formulada	Misol
Matnda $a$ ga katta	Formulada $x+a$	Misol $x$ dan $5$ ga katta: $x+5$
Matnda $a$ ga kichik	Formulada $x-a$	Misol $x$ dan $5$ ga kichik: $x-5$
Matnda $a$ marta katta	Formulada $ax$	Misol $x$ dan $5$ marta katta: $5x$
Matnda $a$ marta kichik	Formulada $\dfrac{x}{a}$	Misol $x$ dan $5$ marta kichik: $\dfrac{x}{5}$
Matndaketma-ket uchta son	Formulada $n-1,\ n,\ n+1$	Misolyig'indisi $3n$
Matndaketma-ket uchta juft yoki toq son	Formulada $n-2,\ n,\ n+2$	Misolyig'indisi yana $3n$

Yig'indi va nisbat berilgan sonlar

Masala: ikki sonning yig'indisi $96$ , ulardan biri ikkinchisidan $5$ marta katta. Kichik sonni toping.

Noma'lum: kichik sonni $x$ deymiz, chunki katta son undan ko'paytirish bilan chiqadi va kasr kerak bo'lmaydi.

Miqdor	Ifoda
kichik son	$x$
katta son	$5x$
yig'indi	$x+5x=6x$

6x=96

x=16

Tenglama: yig'indi

96

ga teng

Tekshiruv: sonlar $16$ va $80$ . Yig'indisi $96$ , $80:16=5$ . Javob: $16$ .

Ketma-ket sonlarda noma'lum qilib o'rtadagisi olinadi: birlar qisqaradi. Uchta ketma-ket natural son yig'indisi $72$ bo'lsa, $3n=72$ , $n=24$ , sonlar $23$ , $24$ , $25$ . So'ralgan son qaysi ekanini matndan qayta o'qiymiz: eng kattasi so'ralsa, javob $25$ , $24$ emas.

$1$ dan $n$ gacha sonlar yig'indisi kerak bo'lsa, quyidagi formula ishlatiladi. Har bir bola o'z yoshicha shokolad olsa, tarqatilgan shokolad soni aynan shunday yig'indi bo'ladi.

1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}

n

natural son

1+2+\ldots+10=\frac{10\cdot 11}{2}=55

Masalan,

n=10

Ikki xonali son raqamlari orqali

$\overline{ab}=10a+b$ , $\overline{abc}=100a+10b+c$ . Bu yerda $a$ birinchi raqam, $a$ $1$ dan $9$ gacha, qolgan raqamlar $0$ dan $9$ gacha. Noma'lumlar sifatida raqamlar olinadi, chunki ular kichik butun sonlar va javob oz sonli qiymatlarni sinash bilan topiladi.

Matnda	Formulada
raqamlari yig'indisi	$a+b$
raqamlari ko'paytmasi	$a\cdot b$
raqamlari o'rni almashgan son	$\overline{ba}=10b+a$
ikki xonali $x$ ning o'ng tomoniga $0$ yozilsa	$10x$
ikki xonali $x$ ning o'ng tomoniga $d$ raqami yozilsa	$10x+d$
ikki xonali $x$ ning chap tomoniga $d$ raqami yozilsa	$100d+x$
$\overline{ab}$ ning birinchi raqami o'chirilsa	$b$

Raqamlar o'rni almashganda

\overline{ba}-\overline{ab}=(10b+a)-(10a+b)

=9(b-a)

Ayirma har doim

9

ga bo'linadi

\overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b)

Yig'indi har doim

11

ga bo'linadi

Masala: raqamlari o'rni almashtirilganda qiymati $27$ ga ortadigan nechta ikki xonali son bor?

Noma'lumlar: $a$ va $b$ raqamlar. Yangi son katta bo'lgani uchun $b>a$ , bunda $a\ge 1$ bo'lgani uchun $b$ ham nol emas va yangi son ham ikki xonali. Tenglama: $9(b-a)=27$ , ya'ni $b=a+3$ .

Raqamlar, $b=a+3$	Son
$a=1$ , $b=4$	$14$
$a=2$ , $b=5$	$25$
$a=3$ , $b=6$	$36$
$a=4$ , $b=7$	$47$
$a=5$ , $b=8$	$58$
$a=6$ , $b=9$	$69$

$a=7$ da $b=10$ raqam emas. Tekshiruv: $41-14=27$ , $96-69=27$ . Javob: $6$ ta. Umuman, $b-a=k$ bo'lsa, bunda $k$ natural va $k\le 8$ , bunday sonlar $9-k$ ta.

Yig'indi ham ma'lum bo'lsa, ikki tenglama hosil bo'ladi va son bitta chiqadi. Raqamlari yig'indisi $9$ bo'lsa va o'rni almashganda son $27$ ga ortsa, $a+b=9$ , $b-a=3$ , bundan $b=6$ , $a=3$ . Son $36$ : $63-36=27$ .

Son raqamlari yig'indisidan necha marta katta

10a+b=k(a+b)

(10-k)a=(k-1)b

Qavsni ochib, raqamlar orasidagi bog'lanishni olamiz. Keyin

a

b

raqam bo'lgan qiymatlar sanaladi

Masala: raqamlari yig'indisidan $4$ marta katta bo'lgan barcha ikki xonali sonlarni toping. $k=4$ da $6a=3b$ , ya'ni $b=2a$ . $b\le 9$ bo'lgani uchun $a\le 4$ .

$a$	$b=2a$	Son	Tekshiruv
$a$ $1$	$b=2a$ $2$	Son $12$	Tekshiruv $12=4\cdot 3$
$a$ $2$	$b=2a$ $4$	Son $24$	Tekshiruv $24=4\cdot 6$
$a$ $3$	$b=2a$ $6$	Son $36$	Tekshiruv $36=4\cdot 9$
$a$ $4$	$b=2a$ $8$	Son $48$	Tekshiruv $48=4\cdot 12$

Yana bir shart qo'shilsa, bittasi qoladi. Raqamlari kvadratlarining yig'indisi $20$ bo'lsa, $a^2+(2a)^2=5a^2=20$ , $a=2$ , son $24$ : $2^2+4^2=20$ . Manfiy ildiz $a=-2$ raqam emas.

Xuddi shu yo'l bilan $k=7$ da $3a=6b$ , ya'ni $a=2b$ chiqadi. Bu yerda $a$ birinchi raqam bo'lgani uchun $b\ne 0$ : sonlar $21$ , $42$ , $63$ , $84$ .

Raqamlari yig'indisiga qoldiqli bo'lish

Bo'linuvchi = bo'luvchi $\cdot$ bo'linma + qoldiq va qoldiq bo'luvchidan kichik: $10a+b=q(a+b)+r$ , $0\le r<a+b$ .

Masala: ikki xonali sonni raqamlari yig'indisiga bo'lganda bo'linma $6$ , qoldiq $7$ chiqdi. Sonni toping.

10a+b=6(a+b)+7

4a=5b+7

5b+7

soni

4

ga bo'linishi va

a\le 9

bo'lishi kerak

$b$	$a$	Son	Shart $7<a+b$
$b$ $1$	$a$ $3$	Son $31$	Shart $7<a+b$ $7<4$ noto'g'ri: qoldiq bo'luvchidan katta bo'lib qoladi
$b$ $5$	$a$ $8$	Son $85$	Shart $7<a+b$ $7<13$ to'g'ri
$b$ $9$	$a$ $13$	Sonyo'q	Shart $7<a+b$ $13$ raqam emas

Tekshiruv: $85=6\cdot 13+7$ . Javob: $85$ . Qoldiq sharti tekshirilmasa, $31$ ham javobdek ko'rinadi, holbuki $31:4$ da bo'linma $7$ , qoldiq $3$ .

Songa raqam yozish va raqamni o'chirish

Masala: ikki xonali sonning o'ng tomoniga $0$ yozilsa, shu sonning yarmi bilan $304$ ning yig'indisi hosil bo'ladi. Noma'lum butun son $x$ , chunki raqamlarning alohida keragi yo'q. Tenglama: $10x=\dfrac{x}{2}+304$ , $9{,}5x=304$ , $x=32$ . Tekshiruv: $320=16+304$ .

Masala: $40<n<70$ bo'lgan ikki xonali sonning birinchi raqami o'chirilganda u $31$ marta kamaydi. O'chirilgan raqamni toping. Noma'lumlar raqamlar: $n=10a+b$ , qolgan son $b$ . Tenglama: $10a+b=31b$ , ya'ni $a=3b$ . Mumkin bo'lgan sonlar $31$ , $62$ , $93$ ; shartga faqat $62$ mos. Tekshiruv: $62:2=31$ . Javob: $6$ .

Betlarni raqamlash

Raqamlar soni bilan sonlar sonini adashtirmaslik kerak: $25$ soni bitta son, lekin ikkita raqam. Har bir xona uzunligi uchun alohida hisoblaymiz:

Betlar	Betlar soni	Har biriga raqam	Jami raqam
Betlar $1,\ldots,9$	Betlar soni $9$	Har biriga raqam $1$	Jami raqam $9$
Betlar $10,\ldots,99$	Betlar soni $90$	Har biriga raqam $2$	Jami raqam $180$
Betlar $100,\ldots,999$	Betlar soni $900$	Har biriga raqam $3$	Jami raqam $2700$

Masala: kitob betlari $5$ -betdan boshlab raqamlandi va $860$ ta raqam ishlatildi. Kitob necha betlik? Noma'lum $x$ : uch xonali betlar soni.

Betlar	Betlar soni	Jami raqam
Betlar $5,\ldots,9$	Betlar soni $5$	Jami raqam $5$
Betlar $10,\ldots,99$	Betlar soni $90$	Jami raqam $180$
Betlar $100$ dan boshlab	Betlar soni $x$	Jami raqam $3x$

5+180+3x=860

x=225

Oxirgi bet:

99+225=324

Tekshiruv: $100$ dan $324$ gacha $324-99=225$ ta bet, jami $5+180+675=860$ raqam. Javob: $324$ bet. Boshidagi raqamlanmagan to'rtta bet ham kitobga kiradi, shuning uchun javob oxirgi betning raqamiga teng.

Yosh haqida masalalar

$x$ yildan keyin har bir kishining yoshiga $x$ qo'shiladi, $x$ yil oldin esa $x$ ayriladi. Ikki kishining yoshlari farqi hech qachon o'zgarmaydi. $k$ kishining yoshlari yig'indisi esa $x$ yilda $kx$ ga ortadi.

Masala: otasi $46$ , o'g'li $19$ yoshda. Necha yildan keyin otasi o'g'lidan $2$ marta katta bo'ladi? Noma'lum $x$ : kerakli yillar soni.

Kim	Hozir	$x$ yildan keyin
Kimota	Hozir $46$	$x$ yildan keyin $46+x$
Kimo'g'il	Hozir $19$	$x$ yildan keyin $19+x$

46+x=2(19+x)

x=8

2

marta katta" keyingi ustun uchun yoziladi

Tekshiruv: $8$ yildan keyin $54$ va $27$ , $54=2\cdot 27$ . Javob manfiy chiqsa, bu hodisa o'tmishda bo'lgan: $40$ va $22$ yoshlilar uchun $40+x=2(22+x)$ dan $x=-4$ , ya'ni $4$ yil oldin, $36=2\cdot 18$ .

Masala: $42$ yoshli onaning yoshi uch bolasi yoshlari yig'indisidan $3$ marta katta. Necha yildan keyin onaning yoshi bolalar yoshlari yig'indisiga teng bo'ladi?

Kim	Hozir	$x$ yildan keyin
Kimona	Hozir $42$	$x$ yildan keyin $42+x$
Kimuch bola birga	Hozir $42:3=14$	$x$ yildan keyin $14+3x$

42+x=14+3x

x=14

Har bir bola

x

yoshga qariydi, uch bola birga

3x

Tekshiruv: $14$ yildan keyin ona $56$ yoshda, bolalar yig'indisi $14+3\cdot 14=56$ .

Zanjir shartlarda eng kichik yosh $x$ qilinadi, shunda kasr chiqmaydi.

Shart	Yoshlar	Tenglama	Natija
ShartOta katta o'g'lidan $3$ marta, katta o'g'il ukasidan $2$ marta katta, ota ukadan $40$ yosh katta	Yoshlar $x,\ 2x,\ 6x$	Tenglama $6x-x=40$	Natija $8,\ 16,\ 48$
ShartAnvar otasidan $25$ yosh kichik, otasi bobosidan ham $25$ yosh kichik, $2$ yil oldin yig'indi $111$ edi	Yoshlar $x,\ x+25,\ x+50$	Tenglama $3x+75-6=111$	Natija $14,\ 39,\ 64$
ShartEgizaklar yoshi yig'indisi $10$ yilda $3$ marta ortdi	Yoshlar $x$ va $x$	Tenglama $2(x+10)=3\cdot 2x$	Natija $x=5$

Tekshiruv: $48=3\cdot 16$ , $16=2\cdot 8$ , $48-8=40$ . Ikkinchi qatorda $2$ yil oldin $12+37+62=111$ . Uchinchi qatorda $5+5=10$ , $10$ yildan keyin $15+15=30=3\cdot 10$ .

Soat millari orasidagi burchak

Siferblat $360^\circ$ . Millar masalalarda strelka deb ham ataladi. Minut mili bir soatda to'liq aylanadi: minutiga $360^\circ:60=6^\circ$ . Soat mili $12$ soatda aylanadi: soatiga $30^\circ$ , minutiga $0{,}5^\circ$ . Millarning $12$ raqamidan boshlab soat yo'nalishida hisoblangan holati:

Mil	Soat $h:m$ dagi holati	$8:00$ da	$4:36$ da
Milsoat mili	Soat $h:m$ dagi holati $30h+0{,}5m$	$8:00$ da $240^\circ$	$4:36$ da $120+18=138^\circ$
Milminut mili	Soat $h:m$ dagi holati $6m$	$8:00$ da $0^\circ$	$4:36$ da $216^\circ$

\alpha=|30h-5{,}5m|

0\le h\le 11

Soat

12

h=0

deb olamiz

Natija $180^\circ$ dan katta chiqsa, burchak $360^\circ-\alpha$ bo'ladi.

Vaqt	Hisob	Burchak
Vaqt $4:36$	Hisob $\|120-198\|=78$	Burchak $78^\circ$
Vaqt $9:12$	Hisob $\|270-66\|=204$ , $360-204=156$	Burchak $156^\circ$
Vaqt $2:50$	Hisob $\|60-275\|=215$ , $360-215=145$	Burchak $145^\circ$
Vaqt $12:30$	Hisob $\|0-165\|=165$	Burchak $165^\circ$

Soat 3:40 da soat mili 3 raqami ustida turmaydi: u 40 minutda yana 20 gradus yurgan. Shuni unutish eng ko'p uchraydigan xato.

Millar qachon berilgan burchak hosil qiladi

Soat $h:00$ da minut mili soat milidan $30h$ gradus orqada turadi va har minutda uni $6-0{,}5=5{,}5$ gradusga quvadi. $t$ minutdan keyin minut mili soat milidan $\alpha$ gradus orqada yoki oldinda bo'lishi kerak. Noma'lum $t$ : $h:00$ dan o'tgan minutlar, $0\le t<60$ .

5{,}5t=30h-\alpha

5{,}5t=30h+\alpha

Birinchisida minut mili orqada, ikkinchisida oldinda

Natija $0\le 5{,}5t<330$ oralig'ida bo'lmasa, unga $360$ ni qo'shib yoki ayirib shu oraliqqa keltiramiz, chunki $360^\circ$ to'liq aylanish. Keltirib bo'lmasa, shu ildizga mos payt bu soat ichida yo'q.

Masala	Tenglama	Javob, minut
Masala $4:00$ dan keyin ustma-ust tushish, $\alpha=0$	Tenglama $5{,}5t=120$	Javob, minut $\dfrac{240}{11}=21\dfrac{9}{11}$
Masala $2:00$ dan keyin birinchi to'g'ri burchak, $\alpha=90$	Tenglama $5{,}5t=60+90$	Javob, minut $\dfrac{300}{11}=27\dfrac{3}{11}$
Masala $10:00$ dan keyin birinchi to'g'ri burchak, $\alpha=90$	Tenglama $5{,}5t=300+90-360$	Javob, minut $\dfrac{60}{11}=5\dfrac{5}{11}$
Masala $1:00$ dan keyin yoyiq burchak, $\alpha=180$	Tenglama $5{,}5t=30+180$	Javob, minut $\dfrac{420}{11}=38\dfrac{2}{11}$

Tekshiruv, ikkinchi qator. $t=\dfrac{300}{11}$ da millarning holati, gradusda:

6t=\frac{1800}{11}

60+0{,}5t=\frac{810}{11}

Minut mili va soat mili

\frac{1800}{11}-\frac{810}{11}=\frac{990}{11}=90

Farqi

90^\circ

"Birinchi marta" so'ralsa, ikkala tenglamadan $t$ ning kichigi olinadi. $2:00$ uchun $60-90=-30$ manfiy, $360$ qo'shilsa $5{,}5t=330$ , ya'ni $t=60$ : bu soat $3:00$ ning o'zi, u keyinroq keladi.

Raqamli soatda vaqt qo'shiladi va ayriladi. Masala: yig'ilish $120$ minut davom etdi, u tugaganda soat qismida $18$ turardi va yig'ilish vaqtining $30\%$ ida soatda $18$ ko'rindi. Yig'ilish qachon boshlangan?

$120\cdot 0{,}3=36$ minut soat $18:00$ dan boshlanib, yig'ilish oxirigacha davom etgan: yig'ilish $18:36$ da tugagan. Boshlanishi: $18:36$ dan $120$ minut oldin, $16:36$ . Tekshiruv: $16:36$ dan $18:00$ gacha $84$ minut, $84+36=120$ .

Ishlangan misollar

1-misol

Yoshlari $1,2,\ldots,n$ bo'lgan $n$ nafar bolaning har biriga yoshicha shokolad berildi. Xaltada bolalar soniga teng shokolad qoldi. Boshida $170$ ta shokolad bo'lgan bo'lsa, $n$ ni toping.

$\frac{n(n+1)}{2}+n=170$
Noma'lum $n$ : natural son. Tarqatilgani $1+\ldots+n$ , qolgani $n$ , jami $170$ .
$n^2+3n-340=0$
Ikki tomonni $2$ ga ko'paytirib, hadlarni bir tomonga o'tkazamiz.
$(n-17)(n+20)=0$
$D=9+1360=1369=37^2$ . Ildizlar $17$ va $-20$ .
$n=17$
Bolalar soni manfiy emas. Tekshiruv: $\dfrac{17\cdot 18}{2}+17=153+17=170$ .

Javob: $17$

2-misol

Uch yashikda olma bor. Birinchisida qolgan ikkitasidagi jami olmadan $5$ ta kam, ikkinchisida birinchi va uchinchisidagi jami olmadan $9$ ta kam. Uchinchi yashikda nechta olma bor?

$a=b+c-5$
Noma'lumlar $a$ , $b$ , $c$ : yashiklardagi olmalar. Birinchi shart.
$b=a+c-9$
Ikkinchi shart. Tenglama ikkita, noma'lum uchta, lekin so'ralgani faqat $c$ .
$a+b=a+b+2c-14\quad (\text{+})$
Tenglamalarni qo'shamiz: $a+b$ ikki tomonda ham bor.
$2c=14,\quad c=7$
$a$ va $b$ alohida topilmaydi va ular so'ralmagan ham.

Javob: $7$ ta. Tekshiruv: $a=10$ , $b=8$ bo'lsin, $10=8+7-5$ va $8=10+7-9$ .

3-misol

Olti yil oldin akaning yoshi ukanikidan $3$ marta katta edi, hozir esa $2$ marta katta. Hozir aka necha yoshda?

$x,\quad 2x$
Noma'lum $x$ : ukaning hozirgi yoshi. Hozirgi nisbat kasrsiz ifodani beradi.
$x-6,\quad 2x-6$
Olti yil oldingi yoshlar: ikkalasidan ham $6$ ayriladi.
$2x-6=3(x-6)$
O'sha paytdagi nisbatdan tenglama.
$x=12$
$2x-6=3x-18$ .
$2x=24$
Tekshiruv: hozir $24$ va $12$ ; olti yil oldin $18$ va $6$ , $18=3\cdot 6$ .

Javob: $24$ yosh

4-misol

Odamlar har qatorda $9$ kishidan saflansa, bitta qator to'lmay qoladi. Har qatorda $8$ kishidan saflansa, hamma qator to'la va qatorlar $1$ taga ko'payadi. Har qatorda $5$ kishidan saflansa, qatorlar yana $11$ taga ko'payadi va bitta qator to'lmay qoladi. Guruhda necha kishi bor?

$n=8(r+1)$
Noma'lum $r$ : $9$ kishidan saflangandagi qatorlar soni. $8$ kishilik saf to'la, shuning uchun tenglik.
$9(r-1)<n<9r$
To'lmagan qatorda kamida bir kishi bor va $9$ tadan kam: odamlar $r-1$ ta to'la qatordan ko'p, $r$ ta to'la qatordan kam.
$5(r+11)<n<5(r+12)$
$5$ kishilik safda qatorlar $r+1+11=r+12$ ta, ulardan bittasi to'lmagan.
$9r-9<8r+8<9r$
Birinchi tengsizlikka $n$ ni qo'yamiz: $8<r<17$ .
$5r+55<8r+8<5r+60$
Ikkinchisidan $47<3r<52$ , ya'ni $16\le r\le 17$ .
$r=16,\quad n=8\cdot 17=136$
Ikkala shartga mos yagona butun son $16$ .

Javob: $136$ . Tekshiruv: $136=9\cdot 15+1$ , $136=8\cdot 17$ , $136=5\cdot 27+1$ va $28=17+11$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
" $3$ marta katta" uchun $x+3$ yozish	$3x$ ; " $3$ ga katta" bo'lsa $x+3$
$\overline{ab}=ab$ deb ko'paytma olish	$\overline{ab}=10a+b$ ; $\overline{37}=37$ , $3\cdot 7=21$
$x$ yildan keyin bolalar yig'indisiga $x$ qo'shish	$k$ bola bo'lsa, yig'indiga $kx$ qo'shiladi
Yoshlar nisbati vaqt o'tsa ham saqlanadi deb o'ylash	Saqlanadigani farq; nisbat o'zgaradi
$3:40$ da soat milini $90^\circ$ da deb olish	$90+0{,}5\cdot 40=110^\circ$
Burchak uchun $\|30h-5{,}5m\|$ ni tekshirmasdan javob qilish	$180^\circ$ dan katta bo'lsa, $360^\circ$ dan ayiriladi: $9:12$ da $156^\circ$
Qoldiq shartini tekshirmaslik	$r<a+b$ bo'lishi shart: $31$ ni $4$ ga bo'lganda qoldiq $7$ bo'lmaydi
Raqamlar sonini betlar soniga tenglashtirish	Har xona uzunligi uchun betlar sonini raqamlar soniga ko'paytiramiz

Eslab qoling

Tartib: noma'lum, jadval, tenglama, ildizlarni saralash, matn bo'yicha tekshiruv.
$\overline{ab}=10a+b$ , $a\ne 0$ ; $\overline{ba}-\overline{ab}=9(b-a)$ ; $\overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b)$ .
$1+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
Qoldiqli bo'lishda qoldiq manfiy emas va bo'luvchidan kichik.
Yoshlar farqi o'zgarmaydi; $k$ kishining yig'indisi $x$ yilda $kx$ ga ortadi.
Minut mili minutiga $6^\circ$ , soat mili $0{,}5^\circ$ ; burchak $|30h-5{,}5m|$ , $180^\circ$ dan oshsa $360^\circ$ dan ayiriladi.
$h:00$ dan keyin: $5{,}5t=30h\pm\alpha$ , zarur bo'lsa $360$ qo'shib yoki ayirib.