Funksiya xossalari: aniqlanish va qiymatlar sohasi, juft-toqlik, davriylik: matematika darsi

$y=\dfrac{8}{x^2+2}$ funksiyaga $x$ o'rniga istalgan sonni qo'yish mumkin, lekin $y$ hech qachon $4$ dan oshmaydi va hech qachon $0$ ga teng bo'lmaydi. Shuning uchun "qiymatlar sohasida nechta butun son bor" degan savolga grafiksiz javob berish mumkin: $1,\ 2,\ 3,\ 4$ . Bu darsda funksiyaning besh xossasini o'rganamiz: aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi, monotonlik, juft-toqlik va davriylik.

Funksiya nima

$x$ ning har bir qiymatiga $y$ ning aynan bitta qiymati mos qo'yilsa, $y$ ni $x$ ning funksiyasi deyiladi va $y=f(x)$ deb yoziladi. $x$ argument, $y$ funksiyaning qiymati deyiladi.

$f(a)$ yozuvi formuladagi har bir $x$ o'rniga $a$ qo'yilganini bildiradi. $f(x)=x^2-6x+5$ bo'lsa, $f(2)=4-12+5=-3$ . $x^2+y^2=25$ tenglik esa $y$ ni $x$ ning funksiyasi qilmaydi, chunki $x=3$ da $y=4$ ham, $y=-4$ ham to'g'ri keladi.

Argument murakkab son bo'lsa, avval formulani qulay ko'rinishga keltirgan ma'qul. $f(x)=x^2-4x+1$ va $x=2+\sqrt{5}$ bo'lsin. To'liq kvadrat ajratamiz: $f(x)=(x-2)^2-3$ . Endi $x-2=\sqrt{5}$ , demak $f(2+\sqrt{5})=5-3=2$ .

Aniqlanish sohasi

Aniqlanish sohasi $D(f)$ deb formula ma'noga ega bo'ladigan barcha $x$ lar to'plamiga aytiladi. Formuladagi har bir shart yoziladi va ular bir vaqtda bajarilishi kerak.

Ifoda	Shart
$\dfrac{A}{B}$	$B\ne 0$
$\sqrt{A}$ , $\sqrt[4]{A}$ (juft darajali ildiz)	$A\ge 0$
$\sqrt[3]{A}$ , $\sqrt[5]{A}$ (toq darajali ildiz)	$A$ ning o'zi ma'noga ega bo'lsa bas
$\dfrac{A}{\sqrt{B}}$	$B>0$
$\sqrt{\dfrac{A}{B}}$	$\dfrac{A}{B}\ge 0$ , $B\ne 0$
$\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$	$A\ge 0$ , $B>0$
$A^0$ , $A^{-n}$ ( $n$ natural)	$A\ne 0$
$\log_a A$	$A>0$ , $a>0$ , $a\ne 1$
$\mathrm{tg}\,A$	$A\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $n$ butun
$\mathrm{ctg}\,A$	$A\ne\pi n$ , $n$ butun
$\arcsin A$ , $\arccos A$	$-1\le A\le 1$

Funksiya	Shartlar	$D(y)$
Funksiya $y=\dfrac{1}{x^2-16}$	Shartlar $x^2\ne 16$	$D(y)$ $x\ne\pm 4$
Funksiya $y=\sqrt{3x-12}$	Shartlar $3x-12\ge 0$	$D(y)$ $[4;\,+\infty)$
Funksiya $y=\dfrac{1}{\sqrt{3x-12}}$	Shartlar $3x-12>0$	$D(y)$ $(4;\,+\infty)$
Funksiya $y=\sqrt[3]{x-5}$	Shartlarshart yo'q	$D(y)$ $(-\infty;\,+\infty)$
Funksiya $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$	Shartlar $x\ge -1$ , $x\ne 3$	$D(y)$ $[-1;\,3)\cup(3;\,+\infty)$

Formulani soddalashtirishdan oldin shartlarni yozing. y = (x² − 4)/(x − 2) qisqartirilsa x + 2 chiqadi, lekin x = 2 baribir aniqlanish sohasiga kirmaydi.

Ildiz ostida ko'paytma yoki kasr turgan bo'lsa, oraliqlar usuli ishlatiladi. $y=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-4}}$ uchun nollar $-2,\ 1,\ 4$ . Ishoralarni tekshiramiz: $x=-3$ da kasr manfiy, $x=0$ da musbat, $x=2$ da manfiy, $x=5$ da musbat. Surat nollari kiradi, maxraj noli kirmaydi: $D(y)=[-2;\,1]\cup(4;\,+\infty)$ .

Savol ko'pincha to'plamning o'zini emas, undagi sonlarni so'raydi. $[a;\,b]$ kesmada ( $a,\ b$ butun) $b-a+1$ ta butun son bor. Natural sonlar $1$ dan boshlanadi. Tub sonlar $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ \ldots$ bo'lib, $1$ tub son emas. Chiqarib tashlangan nuqtalarni sanoqdan ayirish kerak.

Argumenti ifoda bo'lgan funksiyaning sohasi

$D(f)=[a;\,b]$ bo'lsa, $f$ ning qavsi ichidagi butun ifoda shu kesmada yotishi kerak. Masalan, $D(f)=[-1;\,5]$ bo'lsa, $y=f(x+2)$ uchun $-1\le x+2\le 5$ , ya'ni $D=[-3;\,3]$ . Xuddi shunday $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$ uchun $-1\le\dfrac{x}{2}\le 5$ , ya'ni $D=[-2;\,10]$ .

Teskari savol ham uchraydi. $y=f(2x-1)$ ning sohasi $[1;\,3]$ bo'lsa, $1\le x\le 3$ dan $1\le 2x-1\le 5$ kelib chiqadi. Demak $D(f)=[1;\,5]$ .

f(x + 2) ning sohasi f ning sohasiga 2 ni qo'shish bilan emas, ayirish bilan topiladi: tengsizlik x ga nisbatan yechiladi.

Parametr bilan berilgan soha

$y=\dfrac{x+1}{x^2+kx+9}$ ning sohasidan faqat $x=3$ chiqib ketishi uchun maxraj yagona ildizga ega bo'lishi kerak: $x^2+kx+9=(x-3)^2$ , demak $k=-6$ . Soha butun son o'qi bo'lishi uchun esa maxraj ildizga ega bo'lmasligi kerak: $k^2-36<0$ , ya'ni $-6<k<6$ .

Qiymatlar sohasi

Qiymatlar sohasi (qiymatlar to'plami) $E(f)$ deb $f(x)$ qabul qiladigan barcha qiymatlar to'plamiga aytiladi. $y_0\in E(f)$ degani $f(x)=y_0$ tenglama aniqlanish sohasida kamida bitta ildizga ega degani.

Funksiya	$E(y)$
$y=kx+b$ , $k\ne 0$	$(-\infty;\,+\infty)$
$y=x^2$ , $y=\|x\|$ , $y=\sqrt{x}$ , $y=\sqrt[4]{x}$	$[0;\,+\infty)$
$y=x^3$ , $y=\sqrt[3]{x}$	$(-\infty;\,+\infty)$
$y=\dfrac{k}{x}$ , $k\ne 0$	$(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$
$y=\sin x$ , $y=\cos x$	$[-1;\,1]$
$y=a^x$ , $a>0$ , $a\ne 1$	$(0;\,+\infty)$
$y=\log_a x$ , $a>0$ , $a\ne 1$	$(-\infty;\,+\infty)$

1-usul, to'liq kvadrat.

y=x^2-6x+11

=(x-3)^2+2\ge 2

Shuning uchun

E(y)=[2;\,+\infty)

y=-x^2+4x+1

=-(x-2)^2+5\le 5

Shuning uchun

E(y)=(-\infty;\,5]

2-usul, maxrajni baholash. $y=\dfrac{8}{x^2+2}$ da $x^2+2\ge 2$ va bu qiymat $x=0$ da olinadi. Maxraj kattalashgani sari kasr kichrayadi va $0$ ga yaqinlashadi, lekin $0$ ga teng bo'lmaydi. Demak $E(y)=(0;\,4]$ .

y=\dfrac{8}{x^2+2}

: eng katta qiymat

4

x

uzoqlashganda grafik

Ox

ga yaqinlashadi, lekin uni kesmaydi

3-usul, butun qismni ajratish. Surat va maxrajda bir xil uchhad bo'lsa, kasrdan butun qism ajratiladi.

y=\frac{x^2-4x+15}{x^2-4x+5}

=1+\frac{10}{x^2-4x+5}

Maxraj $(x-2)^2+1\ge 1$ , shuning uchun $0<\dfrac{10}{x^2-4x+5}\le 10$ va $E(y)=(1;\,11]$ . Bu oraliqdagi tub sonlar $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11$ .

4-usul, modulni ochish. $y=\dfrac{|x-2|}{x-2}+3$ da $x\ne 2$ . $x>2$ da kasr $1$ ga, $x<2$ da $-1$ ga teng. Demak funksiya faqat ikki qiymat oladi: $E(y)=\{2;\,4\}$ .

5-usul, monotonlik. Funksiya oraliqda o'suvchi bo'lsa, qiymatlari oraliq uchlaridagi qiymatlar orasida yotadi. $y=x^3+1$ va $-1<x<2$ bo'lsa, $-1<x^3<8$ , demak $0<y<9$ .

6-usul, tenglama. $y=\dfrac{2x}{x^2+1}$ funksiya $y$ qiymatini qabul qilishi uchun $yx^2-2x+y=0$ tenglama ildizga ega bo'lishi kerak. $y=0$ da ildiz $x=0$ . $y\ne 0$ da $D=4-4y^2\ge 0$ , ya'ni $-1\le y\le 1$ . Demak $E(y)=[-1;\,1]$ . Chegaralar haqiqatan olinadi: $y(1)=1$ , $y(-1)=-1$ .

O'suvchi va kamayuvchi funksiya

$I$ oraliqdagi ixtiyoriy $x_1<x_2$ uchun $f(x_1)<f(x_2)$ bo'lsa, $f$ shu oraliqda o'suvchi; $f(x_1)>f(x_2)$ bo'lsa, kamayuvchi deyiladi.

Monotonlik doim oraliq bilan aytiladi. $y=x^2$ funksiya $(-\infty;\,0]$ da kamayadi, $[0;\,+\infty)$ da o'sadi. $[-4;\,6]$ kesmada u o'suvchi ham, kamayuvchi ham emas: $f(-4)=16$ , $f(0)=0$ , $f(6)=36$ .

$y=\dfrac{1}{x}$ funksiya $(-\infty;\,0)$ da ham, $(0;\,+\infty)$ da ham kamayadi, lekin ularning birlashmasida kamayuvchi emas: $-1<1$ va $f(-1)=-1<f(1)=1$ . Shuning uchun javob " $(-\infty;\,0)$ va $(0;\,+\infty)$ da kamayadi" deb yoziladi.

y=\dfrac{1}{x}

: har bir bo'lakda grafik pasayadi, lekin chapdagi nuqtalar o'ngdagilardan pastda turadi

Amal	Monotonlikka ta'siri	Misol
Amal $f(x)+c$	Monotonlikka ta'sirio'zgarmaydi	Misol $x^3+1$ o'sadi
Amal $c\cdot f(x)$ , $c>0$	Monotonlikka ta'sirio'zgarmaydi	Misol $2x^3$ o'sadi
Amal $c\cdot f(x)$ , $c<0$	Monotonlikka ta'siriteskarisiga almashadi	Misol $-x^3$ kamayadi
Amalikki o'suvchining yig'indisi	Monotonlikka ta'sirio'suvchi	Misol $x^3+x$ o'sadi

$y=\sqrt{x}$ va $y=\sqrt[4]{x}$ o'zining butun sohasi $[0;\,+\infty)$ da o'sadi: masalan, $\sqrt[4]{16}=2$ , $\sqrt[4]{81}=3$ .

Oraliqda o'suvchi yoki kamayuvchi funksiya bir qiymatni bir martadan ortiq qabul qilmaydi. Shuning uchun $f(x)=a$ tenglama bunday oraliqda ko'pi bilan bitta ildizga ega. Masalan, $x^3+x=10$ tenglamaning ildizi $x=2$ va boshqa ildizi yo'q.

Avval aniqlanish sohasi topiladi, chunki monotonlik oralig'i shu soha ichida bo'ladi. Masalan, quyidagi funksiyani olaylik.

f(x)=\frac{(x-3)\sqrt{x^2-10x+21}}{x-3}

Ildiz ostidagi uchhad $(x-3)(x-7)$ ga teng. Shartlar: $(x-3)(x-7)\ge 0$ va $x\ne 3$ . Bundan $D(f)=(-\infty;\,3)\cup[7;\,+\infty)$ .

Sohada $f(x)=\sqrt{(x-5)^2-4}$ . Ildiz ostidagi parabola uchi $x=5$ sohaga kirmaydi. Funksiya $(-\infty;\,3)$ da kamayadi, $[7;\,+\infty)$ da o'sadi.

Kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlar ham shu yo'l bilan topiladi. $f(x)=\dfrac{10}{\sqrt{x^2+36}}$ , $-8\le x\le 8$ bo'lsin. Maxraj $x=0$ da eng kichik, $|x|=8$ da eng katta.

f_{\max}=f(0)=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}

f_{\min}=f(\pm 8)=\frac{10}{10}=1

Juft va toq funksiya

Funksiyaning aniqlanish sohasi $0$ ga nisbatan simmetrik bo'lsin (ya'ni $x\in D$ bo'lsa, $-x\in D$ ). Barcha $x\in D$ uchun $f(-x)=f(x)$ bo'lsa, funksiya juft; $f(-x)=-f(x)$ bo'lsa, toq deyiladi.

Tekshirish tartibi: avval soha simmetrikligi, keyin $f(-x)$ hisobi. Soha simmetrik bo'lmasa, funksiya na juft, na toq, $f(-x)$ ni hisoblashga hojat yo'q. Tenglik bitta nuqtada buzilsa, funksiya juft (toq) emas; bir nechta nuqtada bajarilishi esa juftlikni isbotlamaydi, buning uchun umumiy $x$ da hisoblash kerak.

Funksiya	Tekshiruv	Xulosa
Funksiya $y=x^4+x^2+3$	Tekshiruv $(-x)^4+(-x)^2+3=x^4+x^2+3$	Xulosajuft
Funksiya $y=\dfrac{x^2}{x^2-9}$	Tekshiruvsoha simmetrik, $f(-x)=f(x)$	Xulosajuft
Funksiya $y=\|x\|$	Tekshiruv $\|-x\|=\|x\|$	Xulosajuft
Funksiya $y=x^3-x$	Tekshiruv $(-x)^3-(-x)=-(x^3-x)$	Xulosatoq
Funksiya $y=\dfrac{x}{x^2-9}$	Tekshiruvsoha simmetrik, $f(-x)=-f(x)$	Xulosatoq
Funksiya $y=x\|x\|$	Tekshiruv $(-x)\|-x\|=-x\|x\|$	Xulosatoq
Funksiya $y=\dfrac{\|x\|}{x}$	Tekshiruvsoha $x\ne 0$ , $f(-x)=-f(x)$	Xulosatoq
Funksiya $y=x\|x\|+1$	Tekshiruv $y(1)=2$ , $y(-1)=0$	Xulosajuft ham, toq ham emas
Funksiya $y=x^2+\|x+1\|$	Tekshiruv $y(1)=3$ , $y(-1)=1$	Xulosajuft ham, toq ham emas
Funksiya $y=(x-2)^2$	Tekshiruv $y(1)=1$ , $y(-1)=9$	Xulosajuft ham, toq ham emas
Funksiya $y=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}$	Tekshiruvsoha $x\ne 1$ , simmetrik emas	Xulosajuft ham, toq ham emas
Funksiya $y=\sqrt{x}$ , $y=\sqrt[4]{x}$	Tekshiruvsoha $[0;\,+\infty)$ , simmetrik emas	Xulosajuft ham, toq ham emas
Funksiya $y=x^2$ , $x\in[-2;\,3]$	Tekshiruv $3\in D$ , lekin $-3\notin D$	Xulosajuft ham, toq ham emas

$y=\cos x$ juft; $y=\sin x$ , $y=\mathrm{tg}\,x$ , $y=\mathrm{ctg}\,x$ toq. Faqat $y=0$ funksiya (simmetrik sohada) bir vaqtda ham juft, ham toq bo'ladi.

Juft funksiya:

y=x^2

grafigi

Oy

o'qiga nisbatan simmetrik

Toq funksiya:

y=x^3

grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik, masalan,

A(1;\,1)

B(-1;\,-1)

Amal (umumiy sohada)	Natija
juft $\pm$ juft	juft
toq $\pm$ toq	toq
juft $\cdot$ juft, toq $\cdot$ toq	juft
juft $\cdot$ toq	toq
juft $+$ toq (ikkalasi ham nol emas)	juft ham, toq ham emas

Toq funksiya $x=0$ da aniqlangan bo'lsa, $f(0)=0$ , chunki $f(0)=-f(0)$ . Juft funksiyada $f(-a)=f(a)$ , toq funksiyada $f(-a)=-f(a)$ tengliklari noma'lum qiymatni topishga imkon beradi.

Davriy funksiya

$T\ne 0$ son uchun aniqlanish sohasidagi har bir $x$ da $x+T$ va $x-T$ ham sohada yotsa va $f(x+T)=f(x)$ bo'lsa, $f$ davriy funksiya, $T$ esa uning davri deyiladi. Musbat davrlarning eng kichigi eng kichik musbat davr deyiladi.

$T$ davr bo'lsa, $2T,\ 3T,\ -T$ ham, umuman $nT$ ( $n$ noldan farqli butun son) ham davr bo'ladi: $f(x+nT)=f(x)$ . Shuning uchun argumentdan davrning karralisini ayirib, uni ma'lum nuqtaga keltirish mumkin.

[-1;\,1]

f(x)=|x|

va davri

{T=2}

bo'lgan funksiya: grafik har

2

birlikda takrorlanadi,

{f(1)=f(3)=1}

Funksiya	Eng kichik musbat davr
$\sin x$ , $\cos x$	$2\pi$
$\mathrm{tg}\,x$ , $\mathrm{ctg}\,x$	$\pi$
$\sin(kx+b)$ , $\cos(kx+b)$ , $k\ne 0$	$\dfrac{2\pi}{\|k\|}$
$\mathrm{tg}(kx+b)$ , $\mathrm{ctg}(kx+b)$ , $k\ne 0$	$\dfrac{\pi}{\|k\|}$

Masalan, $\sin 4x$ ning eng kichik musbat davri $\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ . $y=x^2$ yoki $y=x^3$ davriy emas. $y=5$ o'zgarmas funksiya uchun har qanday noldan farqli son davr, lekin eng kichik musbat davri yo'q.

Davr va juft-toqlik ko'pincha birga beriladi. $f$ toq, davri $5$ va $f(2)=3$ bo'lsin.

f(8)=f(8-2\cdot 5)=f(-2)

=-f(2)=-3

Funksional tenglikdan qiymat topish

$f$ formulasi berilmay, faqat tenglik berilgan bo'lsa, o'zgaruvchilar o'rniga qulay sonlar qo'yiladi: ko'pincha $0$ , $1$ yoki qiymati berilgan son. Masalan, barcha $x,\ y$ uchun $f(x+y)=f(xy)$ bo'lsa, $y=0$ deb olamiz: $f(x)=f(0)$ . Demak $f$ o'zgarmas funksiya.

Ishlangan misollar

Aniqlanish sohasidagi tub sonlar

Funksiyaning aniqlanish sohasiga nechta tub son tegishli?

y=\sqrt{(x-4)(18+7x-x^2)}

$18+7x-x^2=-(x-9)(x+2)$
uchhadning ildizlari 9 va −2, bosh koeffitsiyent −1
$(x-4)(x-9)(x+2)\le 0$
ildiz sharti ≥ 0 edi, −1 ga ko'paytirganda belgi almashdi
$x\le -2\ \text{yoki}\ 4\le x\le 9$
oraliqlar usuli, ishoralar o'ngdan: +, −, +, −
$5,\ 7$
tub sonlar musbat, shuning uchun faqat [4; 9] qaraladi

Javob: $2$ ta

Ifodaning qiymatlar sohasi

$y=\dfrac{x^2+2x+13}{x^2+2x+3}$ funksiyaning qiymatlar sohasidagi butun sonlar nechta?

$y=1+\frac{10}{x^2+2x+3}$
surat maxrajdan 10 ga katta
$x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge 2$
x = −1 da maxraj eng kichik, u 2 ga teng
$0<\frac{10}{x^2+2x+3}\le 5$
kasr noldan katta, eng kattasi 10 : 2
$E(y)=(1;\,6]$
har bir tomonga 1 qo'shamiz, 1 kirmaydi, 6 kiradi
$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$
butun sonlarni sanaymiz

Javob: $5$ ta

Soha va funksiya qiymati birga

$y=\sqrt{\dfrac{x^2+x-12}{x-2}}$ funksiyaning aniqlanish sohasidagi eng kichik natural sonni va shu nuqtadagi qiymatini toping.

$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$
suratni ko'paytuvchilarga ajratamiz
$\frac{(x+4)(x-3)}{x-2}\ge 0$
kasr manfiy bo'lmasligi kerak
$x\in[-4;\,2)\cup[3;\,+\infty)$
x = 2 maxrajni nolga aylantiradi, u kirmaydi
$x=1$
1 soni [−4; 2) ichida, u eng kichik natural son
$y=\sqrt{\frac{1+1-12}{1-2}}=\sqrt{10}$
x = 1 ni formulaga qo'yamiz

Javob: $x=1$ , $y=\sqrt{10}$

Juft va toq funksiya bilan tenglik

$f$ toq, $g$ juft funksiya, $f(x)=\dfrac{g(x+2)+x}{x+2}$ va $f(-3)=2$ . $g(-5)$ ni toping.

$f(3)=-f(-3)=-2$
f toq, x = 3 ni qo'yganda g(5) chiqadi
$\frac{g(5)+3}{5}=-2$
berilgan formulaga x = 3 ni qo'yamiz
$g(5)=-10-3=-13$
ikkala tomonni 5 ga ko'paytiramiz va 3 ni o'tkazamiz
$g(-5)=g(5)=-13$
g juft

Javob: $-13$

Davriy funksiya

$f$ ning eng kichik musbat davri $6$ ga teng va $f(2)=5$ . $f(14)+f(-4)-f(-10)$ ni hisoblang.

$f(14)=f(2+2\cdot 6)=5$
14 soni 2 dan davrning karralisi bilan farq qiladi, f(x + nT) = f(x)
$f(-4)=f(2-6)=5$
−4 soni ham 2 dan bitta davrga farq qiladi
$f(-10)=f(2-2\cdot 6)=5$
−10 soni 2 dan ikkita davrga farq qiladi
$5+5-5=5$
qiymatlarni qo'shamiz

Javob: $5$

Funksional tenglik

Barcha haqiqiy $x,\ y$ uchun $f(x+y)=f(xy)$ va $f\left(\dfrac{3}{5}\right)=4$ . $f(7)+f(-2)$ ni toping.

$y=0:\quad f(x)=f(0)$
x + 0 = x va x · 0 = 0, demak har bir qiymat f(0) ga teng
$f(0)=f\left(\frac{3}{5}\right)=4$
o'zgarmas funksiyaning qiymati berilgan
$f(7)+f(-2)=4+4=8$
ikkala qiymat ham 4

Javob: $8$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$y=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}$ uchun $x\ge 3$	maxrajda ildiz: $x>3$
$y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ uchun $D=\mathbb{R}$	qisqartirishdan oldin: $x\ne 2$
$D(f)=[-1;\,5]$ , $f(x+2)$ uchun $[1;\,7]$	$-1\le x+2\le 5$ , ya'ni $[-3;\,3]$
$y=\dfrac{8}{x^2+2}$ uchun $E=[0;\,4]$	$0$ olinmaydi: $E=(0;\,4]$
$\dfrac{1}{x}$ butun sohada kamayuvchi	$(-\infty;\,0)$ va $(0;\,+\infty)$ da alohida kamayadi
$y=x^2$ har qanday kesmada juft	kesma $0$ ga nisbatan simmetrik bo'lishi shart
$y(1)=y(-1)$ bo'lgani uchun funksiya juft	bitta nuqta yetmaydi: $y=x^3+x^2-x$ uchun $y(1)=y(-1)=1$ , lekin $y(2)=10$ , $y(-2)=-2$
$y=x\|x\|+1$ toq, chunki $x\|x\|$ toq	o'zgarmas qo'shiluvchi toqlikni buzadi
$\sin 4x$ ning davri $4\cdot 2\pi$	$\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$
$1$ ni tub son deb sanash	tub sonlar $2$ dan boshlanadi

Eslab qoling

Soha shartlari: maxraj $\ne 0$ , juft darajali ildiz ostida $\ge 0$ , logarifm ostida $>0$ , hammasi birga.
$D(f)=[a;\,b]$ bo'lsa, $f(\text{ifoda})$ uchun $a\le\text{ifoda}\le b$ yechiladi.
Qiymatlar sohasi: to'liq kvadrat, $\dfrac{k}{\text{musbat}}$ ni baholash, butun qism, modulni ochish, tenglama usuli.
O'suvchi: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ . Kamayuvchi: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ . Doim oraliq bilan aytiladi.
Juft: simmetrik soha va $f(-x)=f(x)$ . Toq: simmetrik soha va $f(-x)=-f(x)$ .
Davr: $f(x+nT)=f(x)$ .
$\sin(kx+b)$ , $\cos(kx+b)$ ning davri $\dfrac{2\pi}{|k|}$ .
$\mathrm{tg}(kx+b)$ , $\mathrm{ctg}(kx+b)$ ning davri $\dfrac{\pi}{|k|}$ .