Chiziqli funksiya: matematika darsi

$y=2x+1$ grafigi to'g'ri chiziq, uni chizish uchun ikki nuqta yetarli: $(0;\,1)$ va $(1;\,3)$ . Formuladagi ikki son chiziq haqida hamma narsani aytadi: $2$ uning qiyaligini, $1$ esa $Oy$ o'qini qayerda kesishini. Imtihonda shu ikki son orqali chiziqlarning parallelligi, kesishish nuqtasi, o'qlar bilan hosil qilgan uchburchak yuzi va masofalar so'raladi.

Ta'rif va grafik

$y=kx+b$ ko'rinishidagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi, bunda $k$ va $b$ berilgan sonlar. $k$ burchak koeffitsiyenti, $b$ ozod had. Grafigi to'g'ri chiziq.

Xossa	$k\ne 0$	$k=0$
XossaAniqlanish sohasi	$k\ne 0$ $(-\infty;\,+\infty)$	$k=0$ $(-\infty;\,+\infty)$
XossaQiymatlar sohasi	$k\ne 0$ $(-\infty;\,+\infty)$	$k=0$ faqat $\{b\}$
XossaMonotonlik	$k\ne 0$ $k>0$ o'suvchi, $k<0$ kamayuvchi	$k=0$ o'zgarmas
Xossa $Oy$ bilan kesishish	$k\ne 0$ $(0;\,b)$	$k=0$ $(0;\,b)$
Xossa $Ox$ bilan kesishish	$k\ne 0$ $\left(-\dfrac{b}{k};\,0\right)$	$k=0$ $b\ne 0$ da yo'q
XossaJuft-toqlik	$k\ne 0$ $b=0$ da toq, $b\ne 0$ da juft ham, toq ham emas	$k=0$ juft

y=x+1

o'sadi (

k>0

{y=-\dfrac{1}{2}x+3}

kamayadi (

k<0

y=2

o'zgarmas (

k=0

, chiziq

Ox

ga parallel)

x = 3 tenglama Oy ga parallel to'g'ri chiziqni beradi, lekin bu funksiya emas: bitta x ga cheksiz ko'p y mos keladi. Uning burchak koeffitsiyenti yo'q.

Burchak koeffitsiyenti

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\mathrm{tg}\,\alpha

x_1\ne x_2

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq.

\alpha

chiziq bilan

Ox

o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak

$x$ bir birlikka ortganda $y$ aynan $k$ birlikka o'zgaradi. Chiziq $(1;\,3)$ va $(3;\,7)$ nuqtalardan o'tsa, $x$ ikkiga ortganda $y$ to'rtga ortadi, demak $k=\dfrac{7-3}{3-1}=2$ .

y=2x+1

A(1;\,3)

dan

B(3;\,7)

ga o'tganda

x

2

y

4

qo'shiladi, shuning uchun

{k=\dfrac{4}{2}=2}

;

b=1

chiziqning

Oy

bilan kesishgan nuqtasi

$\alpha$	$k=\mathrm{tg}\,\alpha$
$30^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$
$120^\circ$	$-\sqrt{3}$
$135^\circ$	$-1$
$150^\circ$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

O'tkir burchakda $k>0$ , o'tmas burchakda $k<0$ , $\alpha=0^\circ$ da $k=0$ . $\alpha=90^\circ$ da burchak koeffitsiyenti mavjud emas.

Chiziq tenglamasini tuzish

Berilgan	Yo'l	Misol
Berilganikki nuqta	Yo'l $k$ ni formuladan, $b$ ni nuqtani qo'yib	Misol $(1;\,3)$ , $(3;\,7)$ : $y=2x+1$
Berilgan $k$ va nuqta $(x_0;\,y_0)$	Yo'l $y=k(x-x_0)+y_0$	Misol $k=3$ , $(2;\,1)$ : $y=3x-5$
Berilgan $y=mx+n$ ga parallel, nuqta	Yo'l $k=m$	Misol $y=4x+9$ ga parallel, $(1;\,2)$ : $y=4x-2$
Berilgan $y=mx+n$ ga perpendikulyar, $m\ne 0$ , nuqta	Yo'l $k=-\dfrac{1}{m}$	Misol $y=2x$ ga perpendikulyar, $(2;\,3)$ : $y=-\dfrac{1}{2}x+4$
Berilgankoordinata boshi va nuqta $(x_0;\,y_0)$ , $x_0\ne 0$	Yo'l $b=0$ , $k=\dfrac{y_0}{x_0}$	Misol $(3;\,4)$ : $y=\dfrac{4}{3}x$

Chiziq qaysi choraklardan o'tadi

$k$	$b$	Choraklar
$k$ $k>0$	$b$ $b>0$	ChoraklarI, II, III
$k$ $k>0$	$b$ $b<0$	ChoraklarI, III, IV
$k$ $k>0$	$b$ $b=0$	ChoraklarI, III
$k$ $k<0$	$b$ $b>0$	ChoraklarI, II, IV
$k$ $k<0$	$b$ $b<0$	ChoraklarII, III, IV
$k$ $k<0$	$b$ $b=0$	ChoraklarII, IV
$k$ $k=0$	$b$ $b>0$	ChoraklarI, II
$k$ $k=0$	$b$ $b<0$	ChoraklarIII, IV

To'rtta chorakning eng kamida bittasidan to'g'ri chiziq o'tmaydi. $k=0$ , $b=0$ da chiziq $Ox$ o'qining o'zi bo'ladi, $b=0$ da esa koordinata boshidan o'tadi.

Umumiy va kesmalar bo'yicha tenglama

Ax+By+C=0

A^2+B^2\ne 0

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi

Holat	Chiziq	Misol
Holat $B\ne 0$	Chiziq $y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$	Misol $3x+y-10=0$ : $y=-3x+10$
Holat $A=0$ , $B\ne 0$	Chiziq $Ox$ ga parallel (yoki $Ox$ ning o'zi)	Misol $2y+6=0$ : $y=-3$
Holat $B=0$ , $A\ne 0$	Chiziq $Oy$ ga parallel (yoki $Oy$ ning o'zi)	Misol $2x-6=0$ : $x=3$
Holat $C=0$	Chiziqkoordinata boshidan o'tadi	Misol $2x+5y=0$

Parametrli chiziq $Ox$ ga parallel bo'lishi uchun $x$ oldidagi koeffitsiyent nol, $y$ oldidagi koeffitsiyent noldan farqli bo'lishi kerak. $(a-2)x+(a^2-1)y+3=0$ da $a=2$ bo'lsa, $3y+3=0$ , ya'ni $y=-1$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish