Kvadrat funksiya: matematika darsi

$y=x^2-6x+5$ funksiyani $y=(x-3)^2-4$ deb yozsak, hamma narsa ko'rinib qoladi: eng kichik qiymat $-4$ , u $x=3$ da olinadi, chapda funksiya kamayadi, o'ngda o'sadi. Imtihon masalalarining ko'pi shu uch sonni topishga keladi: parabola uchi, ildizlar va $Oy$ bilan kesishish nuqtasi. Bu dars parabolani uch shaklda yozishni va uning to'g'ri chiziq bilan munosabatini o'rgatadi.

Ta'rif va uch shakl

$y=ax^2+bx+c$ , $a\ne 0$ ko'rinishidagi funksiya kvadrat funksiya deyiladi. Grafigi parabola. $a=0$ bo'lsa, u kvadrat funksiya emas, chiziqli funksiyaga aylanadi.

Shakl	Yozuv	Darhol ko'rinadi
ShaklUmumiy	Yozuv $y=ax^2+bx+c$	Darhol ko'rinadi $Oy$ bilan kesishish: $(0;\,c)$
ShaklUch orqali	Yozuv $y=a(x-m)^2+n$	Darhol ko'rinadiuch: $(m;\,n)$
ShaklIldizlar orqali	Yozuv $y=a(x-x_1)(x-x_2)$	Darhol ko'rinadi $Ox$ bilan kesishish: $x_1,\ x_2$

Masalan, $y=x^2-6x+5$ , $y=(x-3)^2-4$ va $y=(x-1)(x-5)$ bir xil funksiyaning uch yozuvidir.

y=x^2-6x+5

: uchi

(3;\,-4)

, ildizlari

1

5

Oy

bilan kesishish

(0;\,5)

, simmetriya o'qi

x=3

Parabola uchi

ax^2+bx+c

=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}

D=b^2-4ac

To'liq kvadrat ajratish

x_0=-\frac{b}{2a}

y_0=f(x_0)=-\frac{D}{4a}

Parabola uchining koordinatalari

Amalda $y_0$ ni $x_0$ ni qo'yib topish osonroq. $y=-3x^2+12x-7$ uchun $x_0=-\dfrac{12}{2\cdot(-3)}=2$ , $y_0=-12+24-7=5$ . Formula bo'yicha ham: $D=144-84=60$ , $-\dfrac{60}{4\cdot(-3)}=5$ .

To'liq kvadrat qo'lda shunday ajratiladi.

2x^2-12x+7

=2(x^2-6x)+7

=2\left((x-3)^2-9\right)+7

=2(x-3)^2-11

Uch

(3;\,-11)

Koeffitsiyentlar nimani anglatadi

Koeffitsiyent	Grafikda
$a>0$	shoxlar yuqoriga, uchi eng past nuqta
$a<0$	shoxlar pastga, uchi eng yuqori nuqta
$\|a\|$ katta	parabola tor, $\|a\|$ kichik bo'lsa keng
$c$	$Oy$ bilan kesishish nuqtasi: $f(0)=c$
$\dfrac{b}{a}>0$	uchi $Oy$ dan chapda, $x_0<0$
$\dfrac{b}{a}<0$	uchi $Oy$ dan o'ngda, $x_0>0$
$b=0$	uchi $Oy$ da, funksiya juft
$a+b+c$	$f(1)$ qiymati
$a-b+c$	$f(-1)$ qiymati

y=-x^2+2x+3

a<0

, shoxlar pastga, uchi

(1;\,4)

, eng katta qiymat

4

Xossalari

Xossa	$a>0$	$a<0$
XossaAniqlanish sohasi	$a>0$ $(-\infty;\,+\infty)$	$a<0$ $(-\infty;\,+\infty)$
XossaQiymatlar sohasi	$a>0$ $[y_0;\,+\infty)$	$a<0$ $(-\infty;\,y_0]$
XossaKamayadi	$a>0$ $(-\infty;\,x_0]$	$a<0$ $[x_0;\,+\infty)$
XossaO'sadi	$a>0$ $[x_0;\,+\infty)$	$a<0$ $(-\infty;\,x_0]$
XossaUchidagi qiymat	$a>0$ eng kichik	$a<0$ eng katta

Parabola $x=x_0$ to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik: $f(x_0+t)=f(x_0-t)$ . Ikki nuqtaning ordinatalari teng bo'lsa, uch abssissasi ular o'rtasida. Xususan, ildizlar bo'lsa: $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ .

Shuning uchun nollarning o'rta arifmetigi uch abssissasiga teng. Uch $(-2;\,-5)$ bo'lsa va nollar mavjud bo'lsa, ularning o'rta arifmetigi $-2$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish