Kirish

Teskari va murakkab funksiya

f(x)=2x−3f(x)=2x-3 funksiya 44 ni 55 ga o'tkazadi, teskari funksiya esa 55 ni 44 ga qaytaradi. Shuning uchun f−1(5)f^{-1}(5) ni topish uchun ko'pincha formula kerak emas, f(x)=5f(x)=5 tenglamani yechish yetarli. Murakkab funksiyada esa ifodaning "ichi" va "tashi" bor. Bu dars ikkala tushunchani va ular bilan bog'liq imtihon usullarini o'rgatadi.

Murakkab funksiya

f(g(x))f(g(x)) yozuvi avval g(x)g(x) hisoblanishini, natijaga esa ff qo'llanishini bildiradi. Uning sohasi: x∈D(g)x\in D(g) va g(x)∈D(f)g(x)\in D(f).

f(x)=x2+1f(x)=x^2+1, g(x)=2x−1g(x)=2x-1 bo'lsin. f(g(2))=f(3)=10f(g(2))=f(3)=10, g(f(2))=g(5)=9g(f(2))=g(5)=9. Natijalar har xil: odatda f(g(x))≠g(f(x))f(g(x))\ne g(f(x)). Umumiy formulalar:

f(g(x))=(2x−1)2+1f(g(x))=(2x-1)^2+1
=4x2−4x+2=4x^2-4x+2
g(f(x))=2(x2+1)−1g(f(x))=2(x^2+1)-1
=2x2+1=2x^2+1

Soha misoli: f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, g(x)=x−4g(x)=x-4 bo'lsa, f(g(x))=x−4f(g(x))=\sqrt{x-4} uchun x≥4x\ge 4, g(f(x))=x−4g(f(x))=\sqrt{x}-4 uchun esa x≥0x\ge 0. (f∘g)(x)(f\circ g)(x) yozuvi ham f(g(x))f(g(x)) ni bildiradi.

Formulaga xx o'rniga ifoda qo'yishda har bir xx almashtiriladi va kasr soddalashtiriladi. f(x)=x+23x−1f(x)=\dfrac{x+2}{3x-1} bo'lsin.

f(1x)=1/x+23/x−1f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1/x+2}{3/x-1}
=1+2x3−x=\frac{1+2x}{3-x}
Bu yerda x≠0x\ne 0, x≠3x\ne 3

Ichi ifoda bo'lgan funksiyani topish

f(2x+1)=4x−3f(2x+1)=4x-3 ko'rinishida berilsa, quyidagi yo'llar bor.

1-yo'l. Bitta qiymat kerak bo'lsa, ichini shu qiymatga tenglaymiz. f(7)f(7) uchun 2x+1=72x+1=7, x=3x=3, f(7)=4⋅3−3=9f(7)=4\cdot 3-3=9.

2-yo'l. Formula kerak bo'lsa, t=2x+1t=2x+1 almashtirish qilamiz, bundan x=t−12x=\dfrac{t-1}{2}.

f(t)=4⋅t−12−3=2t−5f(t)=4\cdot\frac{t-1}{2}-3=2t-5
Demak f(x)=2x−5f(x)=2x-5

3-yo'l. Ba'zan o'ng tomon ichidagi ifoda orqali to'g'ridan-to'g'ri yoziladi.

f(x−2)=x3−6x2+12x−8f(x-2)=x^3-6x^2+12x-8
=(x−2)3=(x-2)^3
Demak f(t)=t3f(t)=t^3 va f(3)=33f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}

Noma'lum ichki funksiya ham shu tarzda topiladi. f(x+2)=7−3xf(x+2)=7-3x dan f(t)=13−3tf(t)=13-3t. f(φ(x))=6x+1f(\varphi(x))=6x+1 bo'lsa, 13−3φ(x)=6x+113-3\varphi(x)=6x+1, ya'ni φ(x)=4−2x\varphi(x)=4-2x.

Ichki ifodada takrorlanadigan guruh bo'lsa, u bitta harf bilan belgilanadi.

f(3x2−6x+5)f(3x^2-6x+5)
=−x2+2x+4=-x^2+2x+4
t=x2−2xt=x^2-2x deb olsak, f(3t+5)=4−t{f(3t+5)=4-t}

Tenglikda ikki funksiya qatnashsa, kerakli argument chiqadigan xx tanlanadi va zanjir bo'ylab boriladi. f(x−2)=x+g(x)f(x-2)=x+g(x) va g(x−1)=x2−1g(x-1)=x^2-1 bo'lsin. f(3)f(3) uchun x=5x=5: f(3)=5+g(5)f(3)=5+g(5). g(5)g(5) uchun x=6x=6: g(5)=36−1=35g(5)=36-1=35. Demak f(3)=40f(3)=40.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish
Endi doskada ko'ringUstoz ovozi bilan qadam-baqadam yechim, 10 ta yechimli misol va 10 ta topshiriq.Darsni boshlash