Ko'rsatkichli funksiya va xossalari: matematika darsi

Bitta bakteriya har soatda ikkiga bo'linsa, $10$ soatdan keyin $2^{10}=1024$ ta bakteriya bo'ladi. Bu yerda o'zgaradigan son daraja asosida emas, ko'rsatkichda turibdi, shuning uchun bunday bog'lanish ko'rsatkichli funksiya deyiladi. Ko'rsatkichli tenglama va tengsizliklarning hammasi shu funksiyaning uchta xossasiga tayanadi: u doim musbat, o'suvchi yoki kamayuvchi, har bir qiymatini faqat bir marta qabul qiladi.

Darajaning ta'rifi

Ko'rsatkich natural, nol, manfiy yoki kasr son bo'lishi mumkin. Har bir holatning o'z sharti bor:

Ko'rsatkich	Ta'rif	Sharti	Misol
Ko'rsatkichnatural $n$	Ta'rif $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ( $n$ ta)	Shartihar qanday $a$	Misol $3^4=81$
Ko'rsatkichnol	Ta'rif $a^0=1$	Sharti $a\ne 0$	Misol $7^0=1$
Ko'rsatkichmanfiy	Ta'rif $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$	Sharti $a\ne 0$	Misol $0{,}2^{-2}=5^2=25$
Ko'rsatkichkasr	Ta'rif $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$	Sharti $a>0$ , $n\ge 2$ natural, $m$ butun	Misol $32^{\frac{3}{5}}=2^3=8$

Kasr ko'rsatkichda maxraj ildiz darajasini, surat esa daraja ko'rsatkichini beradi. Avval ildiz chiqarish hisobni yengillashtiradi: $32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{32})^3=2^3=8$ .

Manfiy ko'rsatkich kasrni ag'daradi, son ishorasini o'zgartirmaydi:

81^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{81}}=\frac{1}{3}

\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=8

$0^r=0$ faqat $r>0$ da o'rinli. $0^0$ va $0$ ning manfiy darajasi aniqlanmagan.

Darajaning xossalari

Quyidagi formulalar $a>0$ , $b>0$ va istalgan haqiqiy $x$ , $y$ uchun o'rinli:

Formula	Misol
$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$	$2^3\cdot 2^4=2^7=128$
$\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$\dfrac{3^5}{3^2}=3^3=27$
$(a^x)^y=a^{xy}$	$(5^2)^3=5^6=15625$
$(ab)^x=a^x\cdot b^x$	$2^3\cdot 5^3=10^3=1000$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$	$\dfrac{6^2}{3^2}=2^2=4$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-x}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^x$	$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\dfrac{9}{4}$

Yig'indining darajasi uchun bunday formula yo'q: $2^3+2^4=24$ , $2^{3+4}=128$ . Ko'rsatkichdagi ko'rsatkich yuqoridan pastga hisoblanadi: $2^{3^2}=2^9=512$ , lekin $(2^3)^2=2^6=64$ .

Sonlarni bir asosga keltirish

Ko'p masalalar shu amal bilan boshlanadi. Quyidagi yozuvlarni tez tanish kerak:

Asos	Darajalar
$2$	$4=2^2$ , $8=2^3$ , $16=2^4$ , $32=2^5$ , $64=2^6$ , $0{,}5=2^{-1}$ , $0{,}25=2^{-2}$ , $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
$3$	$9=3^2$ , $27=3^3$ , $81=3^4$ , $243=3^5$ , $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$ , $\dfrac{1}{9}=3^{-2}$ , $\sqrt[3]{9}=3^{\frac{2}{3}}$
$5$	$25=5^2$ , $125=5^3$ , $625=5^4$ , $0{,}2=5^{-1}$ , $0{,}04=5^{-2}$
kasr	$0{,}8=1{,}25^{-1}$ , $0{,}64=1{,}25^{-2}$ , $\dfrac{4}{9}=1{,}5^{-2}$

Ko'rsatkichli funksiya

y=a^x

a>0,\ a\ne 1

Noma'lum ko'rsatkichda, asos esa o'zgarmas son

Asosga qo'yilgan ikkala shartning sababi bor:

Asos	Nima bo'ladi	Xulosa
Asos $a=1$	Nima bo'ladi $1^x=1$ har qanday $x$ da	Xulosao'zgarmas son, o'sish ham, kamayish ham yo'q
Asos $a=0$	Nima bo'ladi $0^x=0$ faqat $x>0$ da, $x\le 0$ da ma'nosiz	Xulosabarcha $x$ da aniqlanmagan
Asos $a<0$	Nima bo'ladi $(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$ haqiqiy son emas	Xulosabarcha $x$ da aniqlanmagan

Asosda parametr tursa, shu shartlar yoziladi. $y=(m-2)^x$ ko'rsatkichli funksiya bo'lishi uchun $m-2>0$ va $m-2\ne 1$ , ya'ni $m>2$ , $m\ne 3$ . U $m>3$ da o'suvchi, $2<m<3$ da kamayuvchi.

Asosiy xossalar

Xossa	$a>1$	$0<a<1$
XossaAniqlanish sohasi	$a>1$ $(-\infty;\,+\infty)$	$0<a<1$ $(-\infty;\,+\infty)$
XossaQiymatlar sohasi	$a>1$ $(0;\,+\infty)$	$0<a<1$ $(0;\,+\infty)$
XossaNol ko'rsatkichda	$a>1$ $a^0=1$	$0<a<1$ $a^0=1$
XossaMonotonligi	$a>1$ o'suvchi	$0<a<1$ kamayuvchi
Xossa $x>0$ da	$a>1$ $a^x>1$	$0<a<1$ $0<a^x<1$
Xossa $x<0$ da	$a>1$ $0<a^x<1$	$0<a<1$ $a^x>1$
Xossa $x$ o'sib borsa	$a>1$ chegarasiz o'sadi	$0<a<1$ nolga yaqinlashadi
Xossa $x$ kamayib borsa	$a>1$ nolga yaqinlashadi	$0<a<1$ chegarasiz o'sadi

y=2^x

o'suvchi,

y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x

kamayuvchi. Ikkalasi ham

(0;\,1)

nuqtadan o'tadi va

Ox

o'qini kesmaydi

Grafik har doim $(0;\,1)$ va $(1;\,a)$ nuqtalardan o'tadi, $Ox$ o'qidan yuqorida yotadi va unga cheksiz yaqinlashadi, lekin uni kesmaydi. $y=a^x$ va $y=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$ grafiklari $Oy$ o'qiga nisbatan simmetrik.

Asos $a>0$ , $a\ne 1$ bo'lsa, har qanday $x$ da $a^x>0$ . Tenglik $a^{x_1}=a^{x_2}$ faqat $x_1=x_2$ da bajariladi. $a^x=b$ tenglama $b>0$ da aynan bitta ildizga ega, $b\le 0$ da ildizi yo'q.

Asos birdan katta yoki kichikligini aniqlash

Asos ildiz yoki trigonometrik qiymat bilan berilsa, avval uni $1$ bilan solishtiramiz:

Asos	Taqribiy qiymat	$1$ ga nisbatan
Asos $\sqrt{1{,}5}$	Taqribiy qiymat $1{,}22$	$1$ ga nisbatan $>1$
Asos $\sqrt[3]{0{,}7}$	Taqribiy qiymat $0{,}89$	$1$ ga nisbatan $<1$
Asos $\sqrt{2}-1$	Taqribiy qiymat $0{,}41$	$1$ ga nisbatan $<1$
Asos $\sqrt{5}-1$	Taqribiy qiymat $1{,}24$	$1$ ga nisbatan $>1$
Asos $2-\sqrt{3}$	Taqribiy qiymat $0{,}27$	$1$ ga nisbatan $<1$
Asos $\dfrac{\pi}{4}$	Taqribiy qiymat $0{,}79$	$1$ ga nisbatan $<1$
Asos $\dfrac{\pi}{2}$	Taqribiy qiymat $1{,}57$	$1$ ga nisbatan $>1$
Asos $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	Taqribiy qiymat $0{,}58$	$1$ ga nisbatan $<1$
Asos $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}$	Taqribiy qiymat $1{,}73$	$1$ ga nisbatan $>1$
Asos $\sin\dfrac{\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$	Taqribiy qiymat $0{,}5$	$1$ ga nisbatan $<1$

Darajani birga solishtirish

$a>0$ , $a\ne 1$ bo'lsin. $a^r>1$ faqat ikki holda: $a>1$ va $r>0$ yoki $0<a<1$ va $r<0$ . $a^r<1$ faqat ikki holda: $a>1$ va $r<0$ yoki $0<a<1$ va $r>0$ . $a^r=1$ esa faqat $r=0$ da.

Qisqasi, asos va ko'rsatkich birga "bir tomonda" bo'lsa ( $a>1$ va $r>0$ yoki $a<1$ va $r<0$ ), daraja birdan katta.

Son	Asos	Ko'rsatkich	Natija
Son $1{,}3^{0{,}4}$	Asos $>1$	Ko'rsatkich $>0$	Natija $>1$
Son $1{,}3^{-0{,}4}$	Asos $>1$	Ko'rsatkich $<0$	Natija $<1$
Son $0{,}7^{0{,}4}$	Asos $<1$	Ko'rsatkich $>0$	Natija $<1$
Son $0{,}7^{-0{,}4}$	Asos $<1$	Ko'rsatkich $<0$	Natija $>1$

Ko'paytmada ikkala musbat ko'paytuvchi birdan katta bo'lsa, ko'paytma ham birdan katta; ikkalasi ham birdan kichik bo'lsa, ko'paytma ham birdan kichik. Masalan, $0{,}7^{-0{,}4}\cdot 1{,}3^{0{,}4}>1$ , $0{,}7^{0{,}4}\cdot 1{,}3^{-0{,}4}<1$ . Ko'paytuvchilardan biri birdan katta, ikkinchisi kichik bo'lsa, bu qoida javob bermaydi, ko'paytmani boshqa yo'l bilan baholash kerak.

Ikki darajani solishtirish

Holat	Qoida	Misol
HolatAsoslar bir xil, $a>1$	Qoidakatta ko'rsatkich, katta qiymat	Misol $2^{0{,}7}>2^{0{,}5}$
HolatAsoslar bir xil, $0<a<1$	Qoidakatta ko'rsatkich, kichik qiymat	Misol $0{,}3^3<0{,}3^2$
HolatKo'rsatkich bir xil, $r>0$	Qoidakatta asos, katta qiymat	Misol $5^{0{,}4}>3^{0{,}4}$
HolatKo'rsatkich bir xil, $r<0$	Qoidakatta asos, kichik qiymat	Misol $5^{-0{,}4}<3^{-0{,}4}$
HolatHech biri bir xil emas	Qoidabir xil asos yoki ko'rsatkichga keltiramiz	Misol $3^{40}=81^{10}>64^{10}=4^{30}$
HolatKeltirib bo'lmaydi	Qoidao'rtaga $1$ ni qo'yamiz	Misol $1{,}2^{0{,}3}>1>0{,}8^{0{,}3}$

Qiymatlar sohasi: surish va cho'zish

$a^x$ barcha musbat qiymatlarni qabul qiladi. Shundan $y=k\cdot a^x+c$ ning qiymatlar sohasi kelib chiqadi: $k>0$ da $(c;\,+\infty)$ , $k<0$ da $(-\infty;\,c)$ . Chegaraning o'zi hech qachon kirmaydi.

y=3\cdot 2^x-5:\ \ E=(-5;\,+\infty)

y=4-2^{x+1}:\ \ E=(-\infty;\,4)

Ko'rsatkichda funksiya turganda

$y=a^{g(x)}$ uchun avval $g(x)$ qabul qiladigan qiymatlarni topamiz, keyin shu qiymatlarni $a^t$ ga qo'yamiz. $a>1$ da $g$ ning eng kichik qiymati $y$ ning eng kichik qiymatini beradi. $0<a<1$ da $g$ ning eng kichik qiymati $y$ ning eng katta qiymatini beradi.

Funksiya	Ko'rsatkich	Qiymatlar sohasi
Funksiya $y=2^{x^2-4x+1}$	Ko'rsatkich $(x-2)^2-3\ge -3$	Qiymatlar sohasi $\left[\dfrac{1}{8};\,+\infty\right)$
Funksiya $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2+2x-1}$	Ko'rsatkich $(x+1)^2-2\ge -2$	Qiymatlar sohasi $(0;\,9]$
Funksiya $y=3^{\|x\|}$	Ko'rsatkich $\|x\|\ge 0$	Qiymatlar sohasi $[1;\,+\infty)$
Funksiya $y=0{,}5^{\|x\|}$	Ko'rsatkich $\|x\|\ge 0$	Qiymatlar sohasi $(0;\,1]$
Funksiya $y=5^{\sqrt{x}}$	Ko'rsatkich $\sqrt{x}\ge 0$	Qiymatlar sohasi $[1;\,+\infty)$
Funksiya $y=2^{\sin x}$	Ko'rsatkich $-1\le\sin x\le 1$	Qiymatlar sohasi $\left[\dfrac{1}{2};\,2\right]$
Funksiya $y=0{,}5^{\cos x}$	Ko'rsatkich $-1\le\cos x\le 1$	Qiymatlar sohasi $\left[\dfrac{1}{2};\,2\right]$
Funksiya $y=2^{\frac{1}{x}}$	Ko'rsatkich $\dfrac{1}{x}\ne 0$	Qiymatlar sohasi $(0;\,1)\cup(1;\,+\infty)$

Oxirgi qatorga e'tibor bering: 1/x hech qachon nolga teng emas, shuning uchun bu funksiya 1 qiymatini qabul qilmaydi.

Almashtirish orqali eng kichik qiymat

$a^{2x}$ va $a^x$ qatnashgan ifodada $t=a^x$ belgilaymiz. Eng muhim shart $t>0$ : kvadrat uchhadning eng kichik qiymatini faqat musbat $t$ orasidan izlaymiz.

y=9^x-2\cdot 3^{x+1}+11

y=t^2-6t+11=(t-3)^2+2

E=[2;\,+\infty)

Bu yerda

t=3^x

. Eng kichik qiymat

2

t=3>0

, ya'ni

x=1

da erishiladi

Uchi musbat bo'lmasa, natija boshqacha bo'ladi. $y=4^x+2^{x+1}+3$ , ya'ni $y=t^2+2t+3$ parabolaning uchi $t=-1$ da yotadi, $t>0$ da esa funksiya o'suvchi. $t$ nolga yaqinlashganda $y$ ham $3$ ga yaqinlashadi, lekin unga teng bo'lmaydi. Demak $E=(3;\,+\infty)$ va bu funksiyaning eng kichik qiymati yo'q.

O'zaro teskari darajalar yig'indisi

t+\frac{k}{t}\ge 2\sqrt{k}

t>0,\ k>0

Tenglik faqat

t=\sqrt{k}

da. Sababi: ikki tomon ayirmasi

\left(\sqrt{t}-\sqrt{\dfrac{k}{t}}\right)^2

ga teng, kvadrat esa manfiy emas

Masalan, $y=5^x+5^{2-x}=t+\dfrac{25}{t}\ge 10$ . Tenglik $t=5$ da, ya'ni $x=1$ da bajariladi, shuning uchun eng kichik qiymat $10$ , $E=[10;\,+\infty)$ .

Kesma berilsa, $t=\sqrt{k}$ shu kesmaga tushishini tekshiramiz. $t+\dfrac{k}{t}$ ifoda $0<t\le\sqrt{k}$ da kamayadi, $t\ge\sqrt{k}$ da o'sadi.

Masalan, $f(x)=2^x+16\cdot 2^{-x}$ ning $[3;\,5]$ kesmadagi qiymatlarini olaylik. $t=2^x$ uchun $8\le t\le 32$ , $t=4$ esa tashqarida. Demak funksiya shu kesmada o'sadi: eng kichik qiymat $x=3$ da $8+2=10$ , eng kattasi $x=5$ da $32+0{,}5=32{,}5$ .

Aniqlanish sohasi

$a^x$ ning o'zi hamma joyda aniqlangan. Shartlar ko'rsatkich ichidagi ifodadan, ildizdan va maxrajdan keladi.

Ifoda	Shart	Natija
Ifoda $2^{\frac{1}{x}}$	Shartko'rsatkichda maxraj	Natija $x\ne 0$
Ifoda $3^{\sqrt{x}}$	Shartko'rsatkichda ildiz	Natija $x\ge 0$
Ifoda $\sqrt{2^x-8}$	Shart $2^x\ge 2^3$	Natija $x\ge 3$
Ifoda $\sqrt{0{,}5^x-4}$	Shart $0{,}5^x\ge 0{,}5^{-2}$ , asos birdan kichik	Natija $x\le -2$
Ifoda $\sqrt{3^x-5^x}$	Shart $\left(\dfrac{3}{5}\right)^x\ge 1$	Natija $x\le 0$
Ifoda $\dfrac{1}{7^{x-2}-1}$	Shart $7^{x-2}\ne 1$	Natija $x\ne 2$
Ifoda $\dfrac{1}{4^x-2}$	Shart $2^{2x}\ne 2^1$	Natija $x\ne\dfrac{1}{2}$
Ifoda $\dfrac{1}{2^x+1}$	Shartmaxraj doim musbat	Natijabarcha $x$

$\sqrt{3^x-5^x}$ qatorida ikkala tomonni $5^x>0$ ga bo'ldik: musbat songa bo'lganda tengsizlik belgisi saqlanadi.

Juft va toq funksiyalar

$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ almashtirishdan keyin kasrning surat va maxrajini $a^x$ ga ko'paytiramiz. Barcha funksiyalarda $a>0$ , $a\ne 1$ , aniqlanish sohasi esa nolga nisbatan simmetrik.

Funksiya	$y(-x)$	Turi
Funksiya $a^x$	$y(-x)$ $\dfrac{1}{a^x}$	Turijuft ham, toq ham emas
Funksiya $a^x+a^{-x}$	$y(-x)$ $a^{-x}+a^x=y(x)$	Turijuft
Funksiya $a^x-a^{-x}$	$y(-x)$ $a^{-x}-a^x=-y(x)$	Turitoq
Funksiya $\dfrac{a^x+1}{a^x-1}$	$y(-x)$ $\dfrac{1+a^x}{1-a^x}=-y(x)$	Turitoq ( $x\ne 0$ )
Funksiya $\dfrac{a^x-1}{a^x+1}$	$y(-x)$ $\dfrac{1-a^x}{1+a^x}=-y(x)$	Turitoq
Funksiya $x\cdot\dfrac{a^x-1}{a^x+1}$	$y(-x)$ $(-x)\cdot(-1)\cdot\dfrac{a^x-1}{a^x+1}=y(x)$	Turijuft
Funksiya $\dfrac{x}{a^x-1}$	$y(-x)$ $\dfrac{x\cdot a^x}{a^x-1}=y(x)+x$	Turijuft ham, toq ham emas ( $x\ne 0$ )

Tenglama ildizlari sonini grafik bilan aniqlash

Tenglamani algebraik yechib bo'lmasa ham, ildizlar sonini aytish mumkin. Uchta holat bor:

Tenglama	Sabab	Ildizlar soni
Tenglamao'suvchi $=$ kamayuvchi	Sababbiri ko'tariladi, ikkinchisi tushadi	Ildizlar soniko'pi bilan bitta
Tenglamako'rsatkichli $=$ to'g'ri chiziq	Sababko'rsatkichli egri chiziq kosa kabi bukilgan	Ildizlar soniko'pi bilan ikkita
Tenglamako'rsatkichli $=$ shoxlari pastga qaragan parabola	Sababbiri kosa kabi, ikkinchisi teskari kosa kabi	Ildizlar soniko'pi bilan ikkita

Bu faqat yuqori chegara. Aniq sonni topish uchun bir nechta nuqtada ikki tomonni solishtiramiz: ayirmaning ishorasi o'zgarsa, shu oraliqda ildiz bor, chunki ikkala grafik ham uzluksiz.

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=x+4$ . Chap tomon kamayuvchi, o'ng tomon o'suvchi, $x=-1$ da ikkalasi $3$ ga teng. Ildiz bitta.
$2^x=6-x$ . Chap tomon o'suvchi, o'ng tomon kamayuvchi, $x=2$ da ikkalasi $4$ ga teng. Ildiz bitta.
$5^x=x^5$ tenglamada $x\le 0$ da $5^x>0\ge x^5$ , ildiz yo'q. $x>0$ da beshinchi darajali ildiz olib, $5^{\frac{x}{5}}=x$ ni olamiz: ko'rsatkichli egri chiziq va to'g'ri chiziq, ko'pi bilan ikki ildiz. $x=1$ da $5>1$ , $x=2$ da $25<32$ , demak $(1;\,2)$ da bitta ildiz bor. Ikkinchisi $x=5$ . Jami ikkita.

2^x=4x-x^2

: egri chiziqlar ikki marta kesishadi, biri

(0;\,1)

oraliqda, ikkinchisi

x=2

Doim musbat ko'paytuvchi

$a^{f(x)}>0$ bo'lgani uchun bunday ko'paytuvchini tashlab yuborish mumkin: tengsizlik belgisi va tenglama ildizlari o'zgarmaydi. Faqat ko'rsatkichning aniqlanish sohasi saqlanadi.

$3^x(x^2-16)\le 0$ tengsizlik $x^2\le 16$ ga teng kuchli: $-4\le x\le 4$ .
$x^2\cdot 5^x-5^{2+x}\le 0$ da $5^{2+x}=25\cdot 5^x$ , shuning uchun $5^x(x^2-25)\le 0$ va $-5\le x\le 5$ .
$2^{\sqrt{x-1}}(x-2)^2>0$ da daraja $x\ge 1$ shartini beradi, kvadrat esa faqat $x=2$ da nol. Javob: $[1;\,2)\cup(2;\,+\infty)$ .

Funksiya ishorasi ham shu yo'l bilan aniqlanadi. $y=2^x-16$ funksiya $x>4$ da musbat, $x=4$ da nol, $x<4$ da manfiy, chunki $2^x$ o'suvchi va $16=2^4$ .

Ishlangan misollar

1-misol

Sonlarni o'sish tartibida joylashtiring:

a=9^{0{,}4}

b=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-0{,}7}

c=27^{0{,}3}

$a=(3^2)^{0{,}4}=3^{0{,}8}$
To'qqiz uchning kvadrati, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
$b=(3^{-1})^{-0{,}7}=3^{0{,}7}$
Uchdan bir uchning minus birinchi darajasi, minusga minus plyus beradi.
$c=(3^3)^{0{,}3}=3^{0{,}9}$
Yigirma yetti uchning kubi.
$0{,}7<0{,}8<0{,}9$
Asos $3>1$ , funksiya o'suvchi, shuning uchun tartib ko'rsatkichlar tartibi bilan bir xil.

Javob: $b<a<c$

2-misol

$y=\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\right)^{x^2+4x+1}$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}<1$
Asos birdan kichik, funksiya kamayuvchi: kichik ko'rsatkich katta qiymat beradi.
$x^2+4x+1=(x+2)^2-3\ge -3$
Ko'rsatkichning eng kichik qiymati $x=-2$ da $-3$ , yuqoridan u chegaralanmagan.
$y_{\max}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8$
Eng kichik ko'rsatkich eng katta qiymatni beradi.
$0<y\le 8$
Ko'rsatkich o'sganda $y$ nolga yaqinlashadi, lekin nolga teng bo'lmaydi.

Javob: $(0;\,8]$

3-misol

$f(x)=\dfrac{\sqrt{12+x-x^2}}{2^{x-1}-1}$ funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar yig'indisini toping.

$12+x-x^2\ge 0$
Ildiz osti manfiy emas.
$(x-4)(x+3)\le 0$
Ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytirganda belgi almashadi.
$-3\le x\le 4$
Parabola shoxlari yuqoriga qaragan, manfiy qismi ildizlar orasida.
$2^{x-1}\ne 1=2^0\quad\Rightarrow\quad x\ne 1$
Maxraj nol bo'lmasligi kerak. Daraja birga faqat ko'rsatkich nol bo'lganda teng.
$-3-2-1+0+2+3+4=3$
Kesmadagi butun sonlardan $x=1$ chiqariladi.

Javob: $3$

4-misol

$y=9^x-2\cdot 3^{x+1}+11$ funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

$t=3^x>0$
Hamma darajalarni bitta $t$ orqali yozamiz, $t$ faqat musbat.
$9^x=t^2,\quad 2\cdot 3^{x+1}=6t$
$9^x=(3^x)^2$ va $3^{x+1}=3\cdot 3^x$ .
$y=t^2-6t+11=(t-3)^2+2$
To'liq kvadrat ajratamiz.
$t=3>0:\quad 3^x=3,\quad x=1$
Parabola uchi ruxsat etilgan sohada, demak bu qiymatga haqiqatan erishiladi.
$y_{\min}=2$
Kvadrat nolga teng bo'lganda faqat ikki qoladi.

Javob: $2$

5-misol

$2^x=4x-x^2$ tenglama nechta ildizga ega?

$4x-x^2=4-(x-2)^2$
O'ng tomon shoxlari pastga qaragan parabola, uchi $(2;\,4)$ da.
$x=2:\quad 2^2=4,\quad 4\cdot 2-2^2=4$
Bitta ildiz darhol ko'rinadi.
$x=0:\quad 1>0$
$x=0$ da chap tomon katta.
$x=1:\quad 2<3$
$x=1$ da o'ng tomon katta. Demak $(0;\,1)$ oraliqda yana bitta ildiz bor.
$n\le 2\quad\Rightarrow\quad n=2$
$n$ bilan ildizlar sonini belgilaymiz. Kosa kabi egri chiziq va teskari kosa kabi parabola ikki martadan ko'p kesisha olmaydi, ikkita ildiz esa topildi.

Javob: $2$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'ri
$27^{\frac{2}{3}}=27\cdot\dfrac{2}{3}=18$	$27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=9$
$4^{-2}=-16$	$4^{-2}=\dfrac{1}{16}$
$2^3+2^4=2^7$	$2^3\cdot 2^4=2^7$ , $2^3+2^4=24$
$y=0{,}5^x$ o'suvchi funksiya	asos birdan kichik, funksiya kamayuvchi
$y=2^x+3$ uchun $E=[3;\,+\infty)$	$E=(3;\,+\infty)$ , chunki $2^x\ne 0$
$y=4^x+2^{x+1}+3$ ning eng kichik qiymati $t=-1$ da	$t=2^x$ manfiy bo'lmaydi, eng kichik qiymat yo'q
$\sqrt{0{,}5^x-4}$ uchun $x\ge -2$	asos birdan kichik, belgi almashadi: $x\le -2$
$a^x=b$ ildizi butun bo'lmasa, ildiz yo'q	$b>0$ da ildiz doim bor, u butun bo'lishi shart emas

Eslab qoling

$y=a^x$ : $a>0$ , $a\ne 1$ , $D=(-\infty;\,+\infty)$ , $E=(0;\,+\infty)$ , $a^0=1$ .
$a>1$ da o'suvchi, $0<a<1$ da kamayuvchi.
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ , $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ , $(a^x)^y=a^{xy}$ , $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ .
$a^r>1$ : $a>1$ , $r>0$ yoki $0<a<1$ , $r<0$ . $a^r=1$ faqat $r=0$ da.
$t=a^x$ almashtirishda doim $t>0$ .
$t+\dfrac{k}{t}\ge 2\sqrt{k}$ , $t>0$ , $k>0$ , tenglik $t=\sqrt{k}$ da.
O'suvchi va kamayuvchi funksiya ko'pi bilan bir marta kesishadi.