Ko'rsatkichli tenglamalar: matematika darsi

$3^x=81$ tenglamada javob ko'rinib turibdi: $x=4$ . Imtihonda esa $4^x-2^{x+1}-8=0$ yoki $3\cdot 4^x-5\cdot 6^x+2\cdot 9^x=0$ kabi tenglamalar keladi. Ularning hammasi bitta maqsadga xizmat qiladi: tenglamani $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ yoki $t=a^x$ ko'rinishiga keltirish. Bu darsda har bir usul, uning sharti va chet ildizlarni tashlash qoidasi beriladi.

Eng sodda tenglama

Noma'lum daraja ko'rsatkichida turgan tenglama ko'rsatkichli tenglama deyiladi. Eng soddasi $a^x=b$ , bunda $a>0$ , $a\ne 1$ .

Tenglama	O'ng tomon	Yechim
Tenglama $2^x=8$	O'ng tomon $b>0$	Yechim $x=3$
Tenglama $5^x=1$	O'ng tomon $b=1$	Yechim $x=0$
Tenglama $3^x=7$	O'ng tomon $b>0$	Yechimbitta ildiz, butun emas
Tenglama $2^x=0$	O'ng tomon $b=0$	Yechimildiz yo'q
Tenglama $2^x=-4$	O'ng tomon $b<0$	Yechimildiz yo'q

$a>0$ , $a\ne 1$ bo'lsa, $a^x=b$ tenglama $b>0$ da aynan bitta ildizga ega, $b\le 0$ da ildizi yo'q. Sababi: $a^x$ monoton va barcha musbat qiymatlarni qabul qiladi.

$3^x=7$ ning ildizi butun emas, u keyingi modulda logarifm bilan yoziladi: $x=\log_3 7$ . Savol "nechta ildiz" bo'lsa, bunday ildiz ham sanaladi.

Bir xil asosga keltirish

a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

a>0,\ a\ne 1

Monoton funksiya har bir qiymatini faqat bir marta qabul qiladi

Xususiy holi: $a^{f(x)}=1\iff f(x)=0$ , chunki $1=a^0$ . Asos $a=1$ bo'lganda bu qoida ishlamaydi: $1^x=1^5$ tenglik har qanday $x$ da bajariladi.

Tenglama	Bir asosda	Ildiz
Tenglama $5^{2x-1}=125$	Bir asosda $2x-1=3$	Ildiz $x=2$
Tenglama $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=8$	Bir asosda $2^{-2x}=2^3$	Ildiz $x=-1{,}5$
Tenglama $0{,}2^{x-1}=25$	Bir asosda $5^{1-x}=5^2$	Ildiz $x=-1$
Tenglama $27^x=9^{x+1}$	Bir asosda $3^{3x}=3^{2x+2}$	Ildiz $x=2$
Tenglama $(\sqrt{2})^x=16$	Bir asosda $2^{\frac{x}{2}}=2^4$	Ildiz $x=8$
Tenglama $4^{x^2-3x}=\dfrac{1}{16}$	Bir asosda $x^2-3x=-2$	Ildiz $x=1$ , $x=2$
Tenglama $2^x\cdot 3^x=36$	Bir asosda $6^x=6^2$	Ildiz $x=2$
Tenglama $2^x\cdot 5^x=0{,}01$	Bir asosda $10^x=10^{-2}$	Ildiz $x=-2$

Ko'rsatkichlarda kasr yoki ildiz bo'lsa, ularning aniqlanish sohasi saqlanadi. $3^{\frac{x^2}{x-1}}=3^{\frac{1}{x-1}}$ tenglamadan $x^2=1$ chiqadi, lekin $x=1$ da maxraj nol. Tenglamaning ildizi faqat $x=-1$ .

Ildiz ostidagi daraja ham bir asosga keladi. $9^{x-1}>0$ bo'lgani uchun $\sqrt{9^{x-1}}=3^{x-1}$ , bu yerda modul kerak emas. Xuddi shunday $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2-x}=3^{x-2}$ .

Umumiy darajani qavsdan chiqarish

Asoslari bir xil, ko'rsatkichlari o'zgarmas songa farq qiladigan darajalar yig'indisida eng kichik darajani qavsdan chiqaramiz. Qavs ichida oddiy son qoladi.

2^{x+3}+2^{x+1}-2^x

=2^x(8+2-1)=9\cdot 2^x

9\cdot 2^x=36

bo'lsa,

2^x=4

x=2

5^{x+1}-5^{x-1}

=5^{x-1}(25-1)=24\cdot 5^{x-1}

24\cdot 5^{x-1}=120

bo'lsa,

5^{x-1}=5

x=2

Natijada $c\cdot a^{f(x)}=d$ tenglama hosil bo'ladi. Bo'lishdan oldin $c$ ga qaraymiz:

Holat	Natija	Misol
Holat $c\ne 0$ , $\dfrac{d}{c}>0$	Natija $a^{f(x)}=\dfrac{d}{c}$	Misolyuqoridagi misollar
Holat $c\ne 0$ , $\dfrac{d}{c}\le 0$	Natijaildiz yo'q	Misol $2^x-2^{x+1}=4$ , ya'ni $-2^x=4$
Holat $c=0$ , $d\ne 0$	Natijaildiz yo'q	Misol $3^{x+1}-3\cdot 3^x=5$ , ya'ni $0=5$
Holat $c=0$ , $d=0$	Natijabarcha $x$ (ko'rsatkich aniqlangan joyda)	Misol $3^{x+1}-3\cdot 3^x=0$

O'ng tomon boshqa mavzudan kelishi mumkin. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ , $|q|<1$ . Masalan, $2^{x-1}+2^x=6+3+1{,}5+\ldots$ tenglamada o'ng tomon shunday yig'indi:

S=\frac{6}{1-0{,}5}=12

2^{x-1}+2^x=3\cdot 2^{x-1}

Demak

3\cdot 2^{x-1}=12

2^{x-1}=4

x=3

Geometrik progressiya sharti $b_2^2=b_1b_3$ ham ko'rsatkichlarga o'tadi. $3^{x-2}$ , $3^x$ , $3^{x^2}$ progressiya hadlari bo'lishi uchun $2x=x-2+x^2$ , ya'ni $x^2-x-2=0$ : $x=2$ yoki $x=-1$ . Hadlar nolga teng emas, shuning uchun ikkala qiymat ham mos.

Asoslari har xil, ko'rsatkichi bir xil

a^{f(x)}=b^{f(x)}\iff f(x)=0

a,b>0,\ a\ne b

Ikkala tomonni

b^{f(x)}>0

ga bo'lamiz:

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{f(x)}=1

. Asos birga teng emas, shuning uchun ko'rsatkich nol

Masalan, $7^{x-3}=2^{x-3}$ da $x=3$ . Har ikki tomonda qavsdan chiqarishdan keyin ham shu ko'rinish chiqishi mumkin: $3^{x-1}-3^{x-2}=2^{x-1}$ tenglamada chap tomon $2\cdot 3^{x-2}$ , o'ng tomon $2\cdot 2^{x-2}$ , demak $3^{x-2}=2^{x-2}$ va $x=2$ .

Umumiy ko'rinishda $A\cdot a^{f(x)}=B\cdot b^{f(x)}$ ( $a,b>0$ , $a\ne b$ ). Bo'lishdan oldin koeffitsiyentlarni tekshiramiz:

Koeffitsiyentlar	Natija
$A\ne 0$ , $B\ne 0$ , bir xil ishorali	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{f(x)}=\dfrac{B}{A}$ , bitta $f(x)$ qiymati
$A$ va $B$ qarama-qarshi ishorali	ildiz yo'q: tomonlarning ishoralari har xil
faqat bittasi nol	ildiz yo'q: musbat daraja nolga teng emas
$A=B=0$	barcha $x$ (ko'rsatkich aniqlangan joyda)

Kasr ko'rinishida ham xuddi shunday: surat va maxrajdan darajani chiqaramiz. Maxraj $3^{x+1}+3^{x-1}$ doim musbat, shuning uchun nolga bo'lish xavfi yo'q:

\frac{2^{x+2}+2^x}{3^{x+1}+3^{x-1}}=1

\frac{5\cdot 2^x}{10\cdot 3^{x-1}}=\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^x

\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{2}{3}

, demak

x=1

Kvadrat tenglamaga keltirish

$t=a^x$ belgilaymiz, shart $t>0$ . Tenglamani $t$ bo'yicha yechamiz, musbat bo'lmagan ildizni tashlaymiz, qolganlaridan $a^x=t$ ni yechamiz.

Daraja	$t=2^x$ orqali
$4^x$	$t^2$
$8^x$	$t^3$
$2^{x+1}$	$2t$
$2^{x-1}$	$\dfrac{t}{2}$
$4^{x+1}$	$4t^2$
$2^{-x}$	$\dfrac{1}{t}$
$2^{3-x}$	$\dfrac{8}{t}$

$t$ bo'yicha tenglama hal qiluvchi, lekin javobni $t>0$ sharti belgilaydi:

Tenglama	$t$ qiymatlari	Natija
Tenglama $9^x-4\cdot 3^x+3=0$	$t$ qiymatlari $t=1$ , $t=3$	Natija $x=0$ , $x=1$
Tenglama $4^x-2^{x+1}-8=0$	$t$ qiymatlari $t=4$ , $t=-2$	Natijafaqat $x=2$
Tenglama $4^x-2^{x+1}+1=0$	$t$ qiymatlari $t=1$ (ikki karrali)	Natijafaqat $x=0$
Tenglama $4^x-5\cdot 2^x+6=0$	$t$ qiymatlari $t=2$ , $t=3$	Natijaikki ildiz: $x=1$ va butun bo'lmagan ildiz
Tenglama $4^x+3\cdot 2^x+2=0$	$t$ qiymatlari $t=-1$ , $t=-2$	Natijaildiz yo'q
Tenglama $4^x+2^x+1=0$	$t$ qiymatlari $D<0$	Natijaildiz yo'q

Ildizlar yig'indisini Viyet bilan topish

$At^2+Bt+C=0$ ning ikkala ildizi turli va musbat bo'lsa, ya'ni $D>0$ , $-\dfrac{B}{A}>0$ , $\dfrac{C}{A}>0$ bo'lsa, $x_1$ , $x_2$ uchun:

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish