Ko'rsatkichli tengsizliklar

Tenglamadan farqli o'laroq, tengsizlikda bitta qo'shimcha savol bor: asos $1$ dan kattami yoki kichikmi. $2^x>8$ dan $x>3$ chiqadi, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x>8$ dan esa $x<-3$. Eng ko'p e'tibor talab qiladigan joy shu belgi almashishi. Bu darsda belgi qoidasi, almashtirish, kasr va ildizli ko'rsatkichlar va ishoralar usuli beriladi.

Asosiy qoida

Ko'rsatkichlar $f=f(x)$, $g=g(x)$ bo'lsin. $a>1$ da belgi saqlanadi: $a^{f}>a^{g}\iff f>g$. $0<a<1$ da belgi almashadi: $a^{f}>a^{g}\iff f<g$.

Sababi monotonlik: o'suvchi funksiyada katta qiymat katta argumentga mos keladi, kamayuvchi funksiyada esa kichik argumentga. Qoida $<$, $\ge$, $\le$ belgilari uchun ham xuddi shunday: $a>1$ da belgi o'zgarmaydi, $0<a<1$ da teskarisiga almashadi, qat'iy emaslik esa saqlanadi. Asos $a=1$ bo'lsa, qoida qo'llanmaydi: $1^{f}=1^{g}$ doim teng.

Birdan kichik asosni birdan katta asosga aylantirish ham mumkin, javob o'zgarmaydi: $0{,}2^x=5^{-x}$, shuning uchun $5^{-x}>5^2$, $-x>2$, $x<-2$. Belgi oxirgi qadamda, tengsizlikni $-1$ ga ko'paytirganda almashadi.

O'ng tomon manfiy yoki nol

Masalan, $3^{x-1}>-2$ barcha $x$ da bajariladi, $2^{\frac{1}{x}}>0$ esa $x\ne 0$ da bajariladi, $5^x\le 0$ ning yechimi yo'q.

Birga solishtirish

$a^{f}>1$ tengsizlik asosga qarab ikki xil yechiladi:

$7^{x^2-4}<1$ dan $x^2-4<0$, ya'ni $-2<x<2$. Asos birdan kichik bo'lsa, $0{,}3^{x-5}\ge 1$ dan $x-5\le 0$, ya'ni $x\le 5$.

Ko'rsatkichda kvadrat uchhad

Asosiy qoidadan keyin oddiy kvadrat tengsizlik qoladi. $0{,}2^{x^2-3}>0{,}2^{2x}$ da asos birdan kichik, shuning uchun $x^2-3<2x$, $(x-3)(x+1)<0$, $-1<x<3$.

Asoslar ko'paytmasi ham bitta darajaga yig'iladi. $0{,}5^{x^2}\cdot 0{,}4^{x^2}>(0{,}2^x)^3$ da chap tomon $0{,}2^{x^2}$, o'ng tomon $0{,}2^{3x}$. Asos birdan kichik: $x^2<3x$, $0<x<3$.

Ko'rsatkichda kasr

Ko'rsatkichda kasr bo'lsa, ko'rsatkichlar tengsizligini maxrajga ko'paytirmaymiz: maxraj ishorasi noma'lum. Hamma hadni bir tomonga o'tkazib, oraliqlar usulini qo'llaymiz va maxraj ildizlarini chiqaramiz.

Masalan, $2^{\frac{1}{x}}>8$ dan:

Murakkabroq misol:

Bu yerda $4=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ va asos birdan kichik, shuning uchun:

Surat manfiy bo'lmaydi va $x=0$ da nol, shuning uchun $x\ne 0$, $x^2<4$. Butun yechimlar: $x=\pm 1$.

Ko'rsatkichda ildiz

Ko'rsatkichdagi ildiz $x$ ga shart qo'yadi va bu shart javobda saqlanadi. Asosiy qoidadan keyin irratsional tengsizlik hosil bo'ladi.

Ikkala tomon $2$ asosida: $-\sqrt{x+2}\ge -x$, ya'ni $\sqrt{x+2}\le x$. Bu $x\ge 0$ va $x+2\le x^2$ ga teng kuchli, $(x-2)(x+1)\ge 0$, demak $x\ge 2$.

Asos birdan kichik: $\sqrt{x+4}<\sqrt{x^2+2x+4}$. Ikkala ildiz ham aniqlangan bo'lishi uchun $x\ge -4$ ($x^2+2x+4$ doim musbat, chunki $D<0$). Kvadratga oshirsak, $x^2+x>0$, $x<-1$ yoki $x>0$. Javob: $[-4;\,-1)\cup(0;\,+\infty)$.

Ildiz va chiziqli ko'rsatkich birga kelishi mumkin: