Logarifmik funksiya va xossalari: matematika darsi

$2^x=8$ tenglamada $x=3$ ekanini darhol ko'ramiz. $2^x=5$ da esa javob $2$ va $3$ orasidagi son bo'lib, uni oddiy kasr bilan yozib bo'lmaydi. Shu ko'rsatkichni belgilash uchun logarifm kiritilgan: $x=\log_2 5$ . Bu darsda logarifmning ta'rifi, funksiyaning xossalari, sonlarni solishtirish va aniqlanish sohasini topish to'liq beriladi.

Logarifm nima

$a>0$ , $a\ne 1$ va $b>0$ bo'lsin. $b$ sonining $a$ asosli logarifmi deb $b$ ni hosil qilish uchun $a$ ni oshirish kerak bo'lgan daraja ko'rsatkichiga aytiladi.

\log_a b=c\iff a^c=b

a>0,\ a\ne 1,\ b>0

a

asos,

b

logarifm ostidagi ifoda (argument),

c

logarifmning qiymati

Logarifm	Qiymat	Sababi
Logarifm $\log_2 32$	Qiymat $5$	Sababi $2^5=32$
Logarifm $\log_3 81$	Qiymat $4$	Sababi $3^4=81$
Logarifm $\log_5\dfrac{1}{25}$	Qiymat $-2$	Sababi $5^{-2}=\dfrac{1}{25}$
Logarifm $\log_{\frac{1}{2}}8$	Qiymat $-3$	Sababi $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=8$
Logarifm $\log_9 3$	Qiymat $\dfrac{1}{2}$	Sababi $9^{\frac{1}{2}}=3$
Logarifm $\log_{\sqrt{2}}8$	Qiymat $6$	Sababi $(\sqrt{2})^6=8$
Logarifm $\log_7 1$	Qiymat $0$	Sababi $7^0=1$
Logarifm $\log_7 7$	Qiymat $1$	Sababi $7^1=7$

Logarifmning qiymati istalgan haqiqiy son bo'lishi mumkin: musbat, manfiy yoki nol. Shart faqat asos va argumentga qo'yiladi.

Shartlar nega kerak

Taqiqlangan hol	Misol	Nega mumkin emas
Taqiqlangan hol $b<0$ yoki $b=0$	Misol $\log_2(-8)$ , $\log_2 0$	Nega mumkin emas $a>0$ da $a^c$ doim musbat, u manfiy son ham, nol ham bo'lmaydi
Taqiqlangan hol $a=1$	Misol $\log_1 5$	Nega mumkin emas $1^c=1$ doim, $5$ hech qachon chiqmaydi. $\log_1 1$ da esa $c$ istalgan son bo'lib, bitta qiymat yo'q
Taqiqlangan hol $a=0$	Misol $\log_0 5$	Nega mumkin emas $c>0$ da $0^c=0$ , $c\le 0$ da $0^c$ ma'noga ega emas
Taqiqlangan hol $a<0$	Misol $\log_{-2}5$	Nega mumkin emas $(-2)^{\frac{1}{2}}$ kabi darajalar haqiqiy son emas, shuning uchun manfiy asos olinmaydi

O'nli va natural logarifm

Asosi $10$ bo'lgan logarifm o'nli logarifm deyiladi va $\lg b$ deb yoziladi. Asosi $e\approx 2{,}718$ bo'lgan logarifm natural logarifm deyiladi va $\ln b$ deb yoziladi. Ikkala asos ham birdan katta, shuning uchun bu logarifmlar o'suvchi.

\lg 1000=3

\lg 0{,}01=-2

\ln 1=0

\ln e=1

\ln e^3=3

Eng sodda tengliklar

Tenglik	Shart	Sababi
Tenglik $\log_a 1=0$	Shart $a>0$ , $a\ne 1$	Sababi $a^0=1$
Tenglik $\log_a a=1$	Shart $a>0$ , $a\ne 1$	Sababi $a^1=a$
Tenglik $\log_a a^c=c$	Shart $a>0$ , $a\ne 1$ , $c$ istalgan son	Sababita'rifning o'zi
Tenglik $a^{\log_a b}=b$	Shart $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$	Sababi $\log_a b$ asosni $b$ ga aylantiradigan daraja

Logarifmik funksiya

$y=\log_a x$ funksiya, bunda $a>0$ , $a\ne 1$ , logarifmik funksiya deyiladi. U $y=a^x$ ko'rsatkichli funksiyaga teskari, ularning grafiklari $y=x$ to'g'ri chizig'iga nisbatan simmetrik. Asos musbat va birdan farqli bo'lishi shart, shuning uchun $y=\log_{-2}x$ logarifmik funksiya, $y=(-3)^x$ esa ko'rsatkichli funksiya hisoblanmaydi.

Xossa	$a>1$	$0<a<1$
XossaAniqlanish sohasi	$a>1$ $(0;\,+\infty)$	$0<a<1$ $(0;\,+\infty)$
XossaQiymatlar sohasi	$a>1$ $(-\infty;\,+\infty)$	$0<a<1$ $(-\infty;\,+\infty)$
XossaO'zgarishi	$a>1$ o'suvchi	$0<a<1$ kamayuvchi
Xossa $x=1$ da	$a>1$ $y=0$	$0<a<1$ $y=0$
Xossa $x=a$ da	$a>1$ $y=1$	$0<a<1$ $y=1$
Xossa $0<x<1$ da	$a>1$ $y<0$	$0<a<1$ $y>0$
Xossa $x>1$ da	$a>1$ $y>0$	$0<a<1$ $y<0$
Xossa $x$ nolga yaqinlashganda	$a>1$ $y\to-\infty$	$0<a<1$ $y\to+\infty$

y=\log_2 x

(o'suvchi) va

y=\log_{\frac{1}{2}}x

(kamayuvchi). Ikkalasi

(1;\,0)

nuqtadan o'tadi va

Ox

o'qiga nisbatan simmetrik

$x$	$\log_2 x$	$\log_{\frac{1}{2}}x$
$x$ $\dfrac{1}{4}$	$\log_2 x$ $-2$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $2$
$x$ $\dfrac{1}{2}$	$\log_2 x$ $-1$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $1$
$x$ $1$	$\log_2 x$ $0$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $0$
$x$ $2$	$\log_2 x$ $1$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $-1$
$x$ $4$	$\log_2 x$ $2$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $-2$
$x$ $8$	$\log_2 x$ $3$	$\log_{\frac{1}{2}}x$ $-3$

$a>1$ da katta argumentga katta logarifm mos keladi: $0<x_1<x_2$ bo'lsa, $\log_a x_1<\log_a x_2$ . $0<a<1$ da aksincha: $0<x_1<x_2$ bo'lsa, $\log_a x_1>\log_a x_2$ .

Funksiya eng katta va eng kichik qiymatga ega emas. Grafik $Oy$ o'qini kesmaydi, $Ox$ o'qini esa faqat $(1;\,0)$ nuqtada kesadi.

Logarifmning ishorasi

Asos va argument $1$ ning bir tomonida bo'lsa, logarifm musbat. Turli tomonida bo'lsa, manfiy. Argument $1$ ga teng bo'lsa, logarifm nol. Qisqasi, $\log_a b$ ning ishorasi $(a-1)(b-1)$ ning ishorasi bilan bir xil.

Logarifm	Asos	Argument	Ishora
Logarifm $\log_2 3$	Asos $2>1$	Argument $3>1$	Ishoramusbat
Logarifm $\log_{0{,}5}0{,}3$	Asos $0{,}5<1$	Argument $0{,}3<1$	Ishoramusbat
Logarifm $\log_2 0{,}3$	Asos $2>1$	Argument $0{,}3<1$	Ishoramanfiy
Logarifm $\log_{0{,}5}3$	Asos $0{,}5<1$	Argument $3>1$	Ishoramanfiy
Logarifm $\log_{0{,}7}1$	Asos $0{,}7<1$	Argument $1$	Ishoranol

Logarifmlarni solishtirish

Birinchi usul: asoslar bir xil bo'lsa, funksiyaning o'zgarishiga qaraymiz. $\log_3 5<\log_3 7$ , chunki asos birdan katta. $\log_{\frac{1}{3}}5>\log_{\frac{1}{3}}7$ , chunki asos birdan kichik.

Ikkinchi usul: oraliq son bilan solishtiramiz. Avval $0$ va $1$ bilan. $a=\log_{0{,}2}7$ , $b=\log_5 7$ , $c=\log_7 5$ sonlarida $a<0$ , chunki asos va argument turli tomonda. $b>1$ , chunki $7>5$ va $\log_5 5=1$ . $0<c<1$ , chunki $1<5<7$ . Demak, $a<c<b$ .

Ikkala son $1$ dan katta bo'lsa, boshqa oraliq son tanlanadi. $\log_2 3$ va $\log_3 5$ ni $\dfrac{3}{2}$ bilan solishtiramiz.

3^2=9>8=2^3

3>2^{\frac{3}{2}}

\log_2 3>\frac{3}{2}

5^2=25<27=3^3

5<3^{\frac{3}{2}}

\log_3 5<\frac{3}{2}

Shunday qilib, $\log_2 3>\log_3 5$ .

Uchinchi usul: asosni bir xil qilamiz.

a=\log_{\frac{1}{2}}6

b=\log_{\frac{1}{4}}11

c=\log_{\frac{1}{2}}11

$\dfrac{1}{2}=2^{-1}$ va $\dfrac{1}{4}=2^{-2}$ bo'lgani uchun:

a=-\log_2 6

c=-\log_2 11

b=-\frac{1}{2}\log_2 11=-\log_2\sqrt{11}

$\sqrt{11}<6<11$ , minus esa tartibni teskarisiga almashtiradi, shuning uchun $c<a<b$ .

To'rtinchi usul: argumentlar bir xil bo'lsa, asoslarga qaraymiz. $1<a<b$ va $x>1$ bo'lsa, $\log_a x>\log_b x$ : asos kattalashgani sari logarifm kichiklashadi. Masalan, $\log_2 7>\log_3 7$ . $0<x<1$ bo'lsa, tartib teskari: $\log_2 0{,}5=-1$ , bu $\log_4 0{,}5=-\dfrac{1}{2}$ dan kichik.

Aniqlanish sohasi: qoidalar

Funksiyaning aniqlanish sohasini topishda har bir shart alohida yoziladi, keyin shartlar kesishtiriladi. Tenglamalardan farqli, bu yerda biror shartni tashlab ketib bo'lmaydi.

Ifoda	Shartlar
$\log_a f(x)$	$f(x)>0$
$\log_{g(x)}f(x)$	$f(x)>0$ , $g(x)>0$ , $g(x)\ne 1$
$\dfrac{h(x)}{\log_a f(x)}$	$f(x)>0$ , $f(x)\ne 1$ , chunki $f=1$ da maxraj nol
$\sqrt{\log_a f(x)}$	$f(x)>0$ , $\log_a f(x)\ge 0$
$\log_a\log_b f(x)$	$f(x)>0$ , $\log_b f(x)>0$
$\log_a\|f(x)\|$	$f(x)\ne 0$
$\log_a f^2(x)$	$f(x)\ne 0$
$\dfrac{\log_a f(x)}{h(x)}$	$f(x)>0$ , $h(x)\ne 0$
$\sqrt{h(x)}+\log_a f(x)$	$h(x)\ge 0$ , $f(x)>0$

Ildiz ostida noldan katta yoki teng, logarifm ostida esa qat'iy noldan katta. Shu farq chegara nuqtalarning kirish-kirmasligini belgilaydi.

Funksiya	Shartlar	Aniqlanish sohasi
Funksiya $y=\log_3(x^2-4x)$	Shartlar $x(x-4)>0$	Aniqlanish sohasi $(-\infty;\,0)\cup(4;\,+\infty)$
Funksiya $y=\log_{x+3}(16-x^2)$	Shartlar $-4<x<4$ , $x>-3$ , $x\ne -2$	Aniqlanish sohasi $(-3;\,-2)\cup(-2;\,4)$
Funksiya $y=\log_{x^2+2}(7-x)$	Shartlar $x<7$ , $x^2+2$ doim $1$ dan katta	Aniqlanish sohasi $(-\infty;\,7)$
Funksiya $y=\log_{x^2+1}(7-x)$	Shartlar $x<7$ , $x^2+1\ne 1$ , ya'ni $x\ne 0$	Aniqlanish sohasi $(-\infty;\,0)\cup(0;\,7)$
Funksiya $y=\dfrac{\sqrt{8-x}}{\lg(x-3)}$	Shartlar $x\le 8$ , $x>3$ , $x\ne 4$	Aniqlanish sohasi $(3;\,4)\cup(4;\,8]$
Funksiya $y=\dfrac{\ln(10-x^2)}{x+2}$	Shartlar $x^2<10$ , $x\ne -2$	Aniqlanish sohasi $(-\sqrt{10};\,-2)\cup(-2;\,\sqrt{10})$

Bir-biriga o'xshash, sohasi har xil funksiyalar

Funksiya	Aniqlanish sohasi
$y=\log_2 x^2$	$x\ne 0$
$y=2\log_2\|x\|$	$x\ne 0$
$y=2\log_2 x$	$x>0$
$y=\log_2^2 x$	$x>0$ . Bu yozuv $(\log_2 x)^2$ ni bildiradi

Ildiz ostida logarifm

Avval logarifm sharti, keyin ildiz sharti yoziladi. Bu tengsizlikni yechishda asosning birdan katta yoki kichikligiga qaraladi: $a>1$ da belgi saqlanadi, $0<a<1$ da almashadi. To'la qoidalar tengsizliklar darsida beriladi.

y=\sqrt{2+\log_{\frac{1}{3}}(4-x)}

4-x>0

\log_{\frac{1}{3}}(4-x)\ge -2

-2=\log_{\frac{1}{3}}9

, asos birdan kichik, shuning uchun

4-x\le 9

. Javob:

[-5;\,4)

Juft darajali ildizda shart kvadrat ildizdagi bilan bir xil. $y=\sqrt[6]{2-\lg|x+3|}$ da $\lg|x+3|\le 2$ , ya'ni $0<|x+3|\le 100$ , bundan $[-103;\,-3)\cup(-3;\,97]$ . Toq darajali ildiz ostida esa manfiy son ham bo'lishi mumkin, u yerda faqat logarifm sharti qoladi.

Ichma-ich logarifm

Tashqi logarifm mavjud bo'lishi uchun ichki logarifmning qiymati qat'iy musbat bo'lishi kerak. Ishora qoidasidan: $\log_b f>0$ shart $b>1$ da $f>1$ ni, $0<b<1$ da $0<f<1$ ni beradi.

y=\log_3\log_{\frac{1}{2}}(x+5)

0<x+5<1

-5<x<-4

Ichki asos birdan kichik

y=\log_3\log_2(x+5)

x+5>1

x>-4

Ichki asos birdan katta bo'lganda javob butunlay boshqacha

Qiymatlar sohasi va eng kichik qiymat

Logarifm ostidagi ifodaning qiymatlarini topamiz (ko'pincha to'liq kvadrat ajratib), faqat musbat qiymatlarni qoldiramiz va ularni logarifmga o'tkazamiz. $a>1$ da tartib saqlanadi, $0<a<1$ da almashadi.

Funksiya	Ichki ifoda	Natija
Funksiya $y=\log_2(x^2-6x+25)$	Ichki ifoda $(x-3)^2+16\ge 16$	Natija $y\ge 4$ , $E=[4;\,+\infty)$ , eng kichik qiymat $4$ , u $x=3$ da
Funksiya $y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x+9)$	Ichki ifoda $(x-1)^2+8\ge 8$	Natija $y\le -3$ , $E=(-\infty;\,-3]$ , eng katta qiymat $-3$ , u $x=1$ da
Funksiya $y=\lg(100-x^2)$	Ichki ifoda $0<100-x^2\le 100$	Natija $y\le 2$ , $E=(-\infty;\,2]$ , eng katta qiymat $2$ , u $x=0$ da

Qavs kvadrat bo'ladi, chunki chegaraviy qiymatga erishiladi. Ikkinchi va uchinchi funksiyalarda eng kichik qiymat yo'q.

Sohadan parametr topish

$y=\log_3(x^2+ax+14)$ ning aniqlanish sohasi $(-\infty;\,2)\cup(7;\,+\infty)$ bo'lsin. Bosh koeffitsiyent musbat uchhad ildizlardan tashqarida musbat, demak $2$ va $7$ uning ildizlari. Viyet teoremasi: $2\cdot 7=14$ , ozod had mos keladi, $a=-(2+7)=-9$ .

Ishlangan misollar

1-misol

$y=\lg(15+2x-x^2)$ funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar yig'indisini toping.

$15+2x-x^2>0$
Logarifm ostidagi ifoda qat'iy musbat bo'lishi kerak.
$x^2-2x-15<0$
$-1$ ga ko'paytirib, belgini almashtiramiz.
$(x-5)(x+3)<0$
Ko'paytuvchilarga ajratamiz.
$-3<x<5$
Parabola ildizlar orasida manfiy. Belgi qat'iy, chegaralar kirmaydi.
$-2-1+0+1+2+3+4=7$
Butun sonlar $-2$ dan $4$ gacha, qarama-qarshi sonlar qisqaradi.

Javob: $7$

2-misol

Funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar yig'indisini toping:

y=\sqrt{A}+\log_{6+x}(36-x^2)

A=x^2-2x-8

$x^2-2x-8\ge 0$
Ildiz sharti.
$x\le -2\ \text{yoki}\ x\ge 4$
Uchhad ildizlari $-2$ va $4$ , ular sohaga kiradi.
$36-x^2>0:\quad -6<x<6$
Logarifm ostidagi ifoda qat'iy musbat.
$6+x>0,\quad 6+x\ne 1$
Asos musbat va birdan farqli.
$x>-6,\quad x\ne -5$
$x=-5$ da asos $1$ ga teng.
$x\in(-6;\,-5)\cup(-5;\,-2]\cup[4;\,6)$
Uchala shartni kesishtiramiz.
$-4-3-2+4+5=0$
Butun sonlar $-4$ , $-3$ , $-2$ , $4$ , $5$ . $-5$ kirmaydi, uni qo'shsak javob xato chiqadi.

Javob: $0$

3-misol

$y=\log_7\dfrac{x^2-2x-15}{2x+3}$ funksiyaning aniqlanish sohasidagi eng katta manfiy butun sonni va shu nuqtadagi qiymatni toping.

$\frac{(x-5)(x+3)}{2x+3}>0$
Suratni ko'paytuvchilarga ajratamiz. Kasr qat'iy musbat bo'lishi kerak.
$x\in\left(-3;\,-\frac{3}{2}\right)\cup(5;\,+\infty)$
Oraliqlar usuli: $-3$ , $-\dfrac{3}{2}$ , $5$ nuqtalarda belgi almashadi, eng o'ngda plyus.
$x=-2$
Manfiy sonlar $-3$ va $-\dfrac{3}{2}$ orasida. $-1$ bu oraliqqa kirmaydi, eng kattasi $-2$ .
$\frac{4+4-15}{-4+3}=\frac{-7}{-1}=7$
Kasrning $x=-2$ dagi qiymati.
$y(-2)=\log_7 7=1$
Asos va argument teng, logarifm $1$ .

Javob: $x=-2$ , $y=1$

4-misol

Aniqlanish sohasini toping:

y=\log_2\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{8x-x^2-15}

$\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{8x-x^2-15}>0$
Tashqi logarifm uchun ichki logarifm qat'iy musbat.
$0<\sqrt{8x-x^2-15}<1$
Asos $\dfrac{1}{3}<1$ , logarifm musbat bo'lishi uchun argument $0$ va $1$ orasida bo'ladi.
$0<8x-x^2-15<1$
Hamma qismlar manfiy emas, kvadratga oshirish mumkin.
$x^2-8x+15<0:\quad 3<x<5$
Chap tengsizlik. $(x-3)(x-5)<0$ .
$x^2-8x+16>0$
O'ng tengsizlik.
$(x-4)^2>0:\quad x\ne 4$
Kvadrat faqat $x=4$ da nol.
$x\in(3;\,4)\cup(4;\,5)$
Ikki shartni kesishtiramiz.

Javob: $(3;\,4)\cup(4;\,5)$

5-misol

Funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar yig'indisini toping:

y=\sqrt{\lg^2|x-6|\cdot(4x-x^2-3)}

$x\ne 6$
Modul nol bo'lmasligi kerak.
$\lg^2|x-6|\cdot(4x-x^2-3)\ge 0$
Ildiz osti manfiy bo'lmasligi kerak.
$4x-x^2-3\ge 0$
Birinchi hol. Logarifmning kvadrati manfiy emas, ikkinchi ko'paytuvchi manfiy bo'lmasa, shart bajariladi.
$(x-1)(x-3)\le 0$
$-1$ ga ko'paytirib, ko'paytuvchilarga ajratamiz.
$1\le x\le 3$
Parabola ildizlar orasida manfiy.
$\lg|x-6|=0,\quad |x-6|=1$
Ikkinchi hol. Kvadrat nol bo'lsa, qavs manfiy bo'lganda ham ko'paytma nol. Shu hol ko'pincha unutiladi.
$x=5\ \text{yoki}\ x=7$
Modulni ochamiz.
$1+2+3+5+7=18$
Birinchi holdan $1,2,3$ , ikkinchisidan $5,7$ .

Javob: $18$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$\log_5 0=0$	$\log_5 0$ mavjud emas, $\log_5 1=0$
$\log_{\frac{1}{2}}8=3$	$\log_{\frac{1}{2}}8=-3$ , chunki asos birdan kichik, argument birdan katta
$y=\log_2 x^2$ ning sohasi $x>0$	Soha $x\ne 0$ : manfiy sonning kvadrati ham musbat
$y=\log_{x+3}(16-x^2)$ da faqat argument sharti	Asos ham: $x+3>0$ va $x+3\ne 1$
$y=\dfrac{1}{\lg(x-1)}$ ning sohasi $x>1$	$x>1$ va $x\ne 2$ : $x=2$ da maxraj nol
$\log_{0{,}2}x\ge -1$ dan $x\ge 5$	Asos birdan kichik, belgi almashadi: $0<x\le 5$
$y=\log_2(x^2+8)$ ning qiymatlari $(3;\,+\infty)$	$[3;\,+\infty)$ : $x=0$ da $y=3$ ga erishiladi
$\sqrt{\lg^2 f\cdot g}$ da faqat $g\ge 0$	Yana $\lg f=0$ nuqtalari ham kiradi
Asos katta bo'lsa, logarifm ham katta	$x>1$ da aksincha: $\log_2 7>\log_3 7$

Eslab qoling

$\log_a b=c\iff a^c=b$ , bunda $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$ .
$\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ , $\log_a a^c=c$ , $a^{\log_a b}=b$ .
$y=\log_a x$ : $D=(0;\,+\infty)$ , $E=(-\infty;\,+\infty)$ , grafik $(1;\,0)$ dan o'tadi.
$a>1$ da o'suvchi, $0<a<1$ da kamayuvchi.
Asos va argument $1$ ning bir tomonida bo'lsa, logarifm musbat, turli tomonida bo'lsa, manfiy.
Soha: argument $>0$ , noma'lumli asos $>0$ va $\ne 1$ , logarifm maxrajda bo'lsa argument $\ne 1$ .
$\log_a f^2$ va $\log_a|f|$ da $f\ne 0$ , $2\log_a f$ da esa $f>0$ .
Eng kichik qiymat uchun to'liq kvadrat ajrating va asosga qarang.