Logarifmik tengsizliklar: matematika darsi

$\log_{\frac{1}{2}}x>1$ tengsizlikni $x>\dfrac{1}{2}$ deb yechish xato: to'g'ri javob $0<x<\dfrac{1}{2}$ . Bu yerda ikkita narsa ishladi: asos birdan kichik bo'lgani uchun belgi almashdi, argument musbat bo'lgani uchun esa pastki chegara paydo bo'ldi. Logarifmik tengsizlikning hamma qiyinchiligi shu ikki qoidada.

Asosiy qoida

$a>1$ da logarifmdan argumentga o'tganda belgi saqlanadi, $0<a<1$ da teskarisiga almashadi. Ikkala holda ham kichik argument qat'iy musbat bo'lishi shart.

Tengsizlik	$a>1$	$0<a<1$
Tengsizlik $\log_a f>\log_a g$	$a>1$ $f>g>0$	$0<a<1$ $0<f<g$
Tengsizlik $\log_a f\ge\log_a g$	$a>1$ $f\ge g>0$	$0<a<1$ $0<f\le g$
Tengsizlik $\log_a f<\log_a g$	$a>1$ $0<f<g$	$0<a<1$ $f>g>0$
Tengsizlik $\log_a f\le\log_a g$	$a>1$ $0<f\le g$	$0<a<1$ $f\ge g>0$

Sababi: $a>1$ da logarifm o'suvchi, katta argumentga katta qiymat mos keladi. $0<a<1$ da kamayuvchi, aksincha. Kichik argument musbat bo'lsa, katta argument o'z-o'zidan musbat, shuning uchun bitta shart yetadi.

O'ng tomonda son

Sonni shu asosli logarifm qilib yozamiz: $b=\log_a a^b$ . Masalan, $3=\log_2 8$ , $-2=\log_{\frac{1}{3}}9$ , $\dfrac{1}{2}=\log_{16}4$ , $0=\log_a 1$ .

Tengsizlik	$a>1$	$0<a<1$
Tengsizlik $\log_a f>b$	$a>1$ $f>a^b$	$0<a<1$ $0<f<a^b$
Tengsizlik $\log_a f<b$	$a>1$ $0<f<a^b$	$0<a<1$ $f>a^b$
Tengsizlik $\log_a f>0$	$a>1$ $f>1$	$0<a<1$ $0<f<1$
Tengsizlik $\log_a f<0$	$a>1$ $0<f<1$	$0<a<1$ $f>1$

Tengsizlik	Yechim	Izoh
Tengsizlik $\log_3 x>2$	Yechim $x>9$	Izohbelgi saqlanadi, $x>0$ o'z-o'zidan
Tengsizlik $\log_3 x<2$	Yechim $0<x<9$	Izohbelgi saqlanadi, $x>0$ kerak
Tengsizlik $\log_{\frac{1}{3}}x>2$	Yechim $0<x<\dfrac{1}{9}$	Izohbelgi almashadi, $x>0$ kerak
Tengsizlik $\log_{\frac{1}{3}}x<2$	Yechim $x>\dfrac{1}{9}$	Izohbelgi almashadi, $x>0$ o'z-o'zidan
Tengsizlik $\log_{\frac{1}{2}}x\ge -3$	Yechim $0<x\le 8$	Izoh $-3=\log_{\frac{1}{2}}8$
Tengsizlik $\log_2 x\le 4$	Yechim $0<x\le 16$	Izohnatural yechimlar $16$ ta

Javob argumentni yuqoridan chegaralasa, pastdan argument musbat degan chegara ham yoziladi. Shuni unutish eng ko'p uchraydigan xato.

Argumentda kvadrat uchhad

Ikkita shartni alohida yechamiz va kesishtiramiz. $\log_2(x^2-3x)\le 2$ da asos birdan katta, demak $0<x^2-3x\le 4$ .

x^2-3x>0

x<0\ \text{yoki}\ x>3

Soha sharti

x^2-3x-4\le 0

-1\le x\le 4

Tengsizlikning o'zi

Kesishmasi $[-1;\,0)\cup(3;\,4]$ , butun yechimlar $-1$ va $4$ . Belgi qat'iy bo'lsa, $\log_2(x^2-3x)<2$ da $(-1;\,0)\cup(3;\,4)$ qoladi va bitta ham butun yechim yo'q.

Juft darajada soha kengroq: $\log_2 x^2\le 4$ da $0<x^2\le 16$ , ya'ni $[-4;\,0)\cup(0;\,4]$ . $2\log_2 x\le 4$ da esa faqat $(0;\,4]$ .

Asos birdan kichik, ikkala tomonda ifoda

\log_{0{,}5}(x^4+3x^2+1)

>\log_{0{,}5}(12x^2+1)

Asos birdan kichik, belgi almashadi:

0<x^4+3x^2+1<12x^2+1

Chap qism doim musbat. O'ng qism $x^2(x^2-9)<0$ ni beradi: $x\ne 0$ va $-3<x<3$ . Javob: $(-3;\,0)\cup(0;\,3)$ .

Qo'sh tengsizlik

Har bir chegarani logarifm qilib yozamiz. Asos birdan kichik bo'lsa, ikkala belgi almashadi va chegaralar joyi o'zgaradi.

1<\log_2 x\le 3

2<x\le 8

-1<\log_{\frac{1}{2}}x<2

\frac{1}{4}<x<2

\log_{\frac{1}{2}}2=-1

\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{4}=2

Ichma-ich logarifm

Tashqi logarifmdan boshlab birma-bir qutulamiz. Har qadamda ichki ifodaning musbatligi yoziladi, chunki u ham logarifm ostida turibdi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish