Logarifmik tenglamalar: matematika darsi

$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$ tenglamada argumentlarni birlashtirsak, $x^2=9$ chiqadi. Ildizlardan biri $x=-3$ asl tenglamada ma'noga ega emas. Logarifmik tenglamada asosiy xavf shu: chet ildiz paydo bo'lishi yoki haqiqiy ildiz yo'qolishi mumkin. Bu darsda har bir ko'rinish va uning usuli to'liq beriladi.

Avval shartlar

Yechishdan oldin shartlarni yozamiz: har bir logarifm ostidagi ifoda $>0$ ; asosda noma'lum bo'lsa, asos $>0$ va $\ne 1$ ; logarifm maxrajda bo'lsa, argument $\ne 1$ . Topilgan har bir son asl tenglamaning shu shartlari bilan tekshiriladi.

Tenglama ko'rinishi	Usul
$\log_a f=b$	ta'rif: $f=a^b$
$\log_a f=\log_a g$	$f=g$ va $f>0$
logarifmlar yig'indisi yoki ayirmasi	avval soha, keyin bitta logarifmga yig'ish
$\log_a x^2$ qatnashadi	modul: $2\log_a\|x\|$
asosda noma'lum	asos $>0$ , $\ne 1$ , keyin ta'rif
asoslar har xil	bitta asosga o'tish
$\log_a^2 x$ va $\log_a x$	almashtirish $t=\log_a x$
ichida $a^x$	ta'rif, keyin $t=a^x$ , $t>0$
noma'lum ham asosda, ham ko'rsatkichda	ikkala tomondan logarifm olish
$f\cdot\log_a g=0$	har bir ko'paytuvchi nolga teng, soha tekshiriladi
ikki xil logarifm ko'paytmasi	guruhlab ko'paytuvchilarga ajratish

Ta'rif bo'yicha

\log_a f(x)=b\iff f(x)=a^b

a>0,\ a\ne 1

a^b

doim musbat, shuning uchun

f(x)>0

shartini alohida tekshirish shart emas

\log_3(2x-5)=2

2x-5=9

x=7

\log_2(x^2-3x)=2

x^2-3x-4=0

x=4,\ x=-1

Ikkala ildizda argument

4

ga teng, ikkalasi ham to'g'ri

O'ng tomonda manfiy son yoki nol bo'lishi mumkin, tenglamaning ildizi bor: $\log_2 x=-3$ da $x=\dfrac{1}{8}$ ; $\log_5(x+4)=0$ da $x+4=1$ , $x=-3$ .

Asoslari bir xil logarifmlarni tenglash

\log_a f(x)=\log_a g(x)

\iff f(x)=g(x),\ f(x)>0

f=g

bo'lgani uchun bittasining musbatligi yetarli, soddarog'ini tekshiramiz

$\log_5(x^2-4)=\log_5(3x)$ da $x^2-3x-4=0$ , $x=4$ yoki $x=-1$ . $x=-1$ da $3x=-3<0$ , bu chet ildiz. Javob: $x=4$ .

Logarifmlar yig'indisi

Birlashtirishdan oldin har bir logarifm uchun shart yoziladi. Birlashtirgandan keyin soha kengayadi, chet ildiz shundan paydo bo'ladi.

\log_2 x+\log_2(x+2)=3

x>0

x(x+2)=8

Ildizlar

2

-4

x=-4

da ko'paytma

8

ga teng, ammo

\log_2(-4)

mavjud emas. Javob:

x=2

Sonni shu asosli logarifm qilib yozamiz: $1=\log_a a$ , $b=\log_a a^b$ . $\log_3(x^2-6)=1+\log_3(x-2)$ da $x>2$ va $x^2-6=3(x-2)$ , ya'ni $x^2=3x$ . Ildizlar $0$ va $3$ , sharti $x>2$ bo'lgani uchun javob $x=3$ .

Juft daraja va modul

$\log_a f^2(x)=2\log_a|f(x)|$ , $f(x)\ne 0$ . $2\log_a f(x)$ deb yozish $f(x)<0$ holni yo'qotadi.

$\lg x^2=2$ da $|x|=10$ , ikkita ildiz bor: $x=\pm 10$ . $\log_3(x-1)^2=4$ da $|x-1|=9$ , $x=10$ yoki $x=-8$ . Modul chiqsa, tenglama ikki holga ajraladi (3-misol).

Asosda noma'lum

\log_{g(x)}f(x)=b

\iff f(x)=g^b(x)

g(x)>0,\ g(x)\ne 1

$\log_x 25=2$ da $x^2=25$ , ammo $x=-5$ asos bo'la olmaydi. Javob: $x=5$ .

$\log_x(6x-5)=2$ da $x^2-6x+5=0$ , ildizlar $1$ va $5$ . $x=1$ da asos $1$ ga teng, u chet ildiz. Javob: $x=5$ .

$\log_{3+2x}(5x^2+10x+6)=2$ da $5x^2+10x+6=(3+2x)^2$ , bundan $x^2-2x-3=0$ , ildizlar $3$ va $-1$ . $x=-1$ da asos $3+2x=1$ , chet ildiz. $x=3$ da $\log_9 81=2$ , to'g'ri. O'ng tomondagi daraja juft bo'lgani uchun argument o'z-o'zidan musbat, lekin asos shartini baribir tekshiramiz.

\log_{g}f=\log_{g}h\iff f=h

f>0,\ g>0,\ g\ne 1

Ikkala logarifmning asosi noma'lumli bo'lganda

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish