Hosila: yig'indi, ko'paytma, bo'linma: matematika darsi

Nuqta $s(t)=t^2$ qonun bilan harakatlansin. $t=3$ dan $t=3{,}1$ gacha uning o'rtacha tezligi $\dfrac{3{,}1^2-3^2}{0{,}1}=6{,}1$ , $t=3{,}01$ gacha esa $6{,}01$ . Vaqt oralig'i qisqargani sari natija $6$ ga yaqinlashadi. Mana shu $6$ soni $s(t)$ ning $t=3$ dagi hosilasi. Hosila funksiyaning shu nuqtada qanchalik tez o'zgarishini ko'rsatadi, keyingi darslardagi o'sish-kamayish, ekstremum, urinma va eng katta qiymat masalalarining hammasi shunga tayanadi.

Orttirma va hosilaning ta'rifi

$f$ funksiya $x_0$ nuqta atrofida aniqlangan bo'lsin. $\Delta x$ argument orttirmasi, $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ esa funksiya orttirmasi deyiladi.

$x_0$ nuqtadagi hosila deb, $\Delta x\to 0$ da $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ nisbatning limitiga aytiladi, agar bu limit mavjud va chekli bo'lsa. Bunday nuqtada funksiya differensiallanuvchi deyiladi.

\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}

Hosilaning ta'rifi

Misol: $f(x)=x^2$ . Orttirmani topamiz:

\Delta f=(x+\Delta x)^2-x^2

=2x\Delta x+(\Delta x)^2

Demak $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=2x+\Delta x$ . $\Delta x\to 0$ da bu $2x$ ga intiladi, ya'ni $(x^2)'=2x$ .

Hosila har doim ham mavjud emas. $y=|x|$ da $x=0$ nuqtada nisbat o'ngdan $1$ , chapdan $-1$ ga teng, limit yo'q (burchak nuqta, 11-dars). $y=\sqrt{x}$ da $x=0$ nuqtada nisbat $\dfrac{1}{\sqrt{\Delta x}}$ cheksiz o'sadi, shuning uchun funksiya $x=0$ da aniqlangan bo'lsa ham, hosila faqat $x>0$ da bor.

Hosilaning geometrik ma'nosi

$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ nisbat grafikdagi ikki nuqtadan o'tuvchi kesuvchining burchak koeffitsiyenti. $\Delta x\to 0$ da kesuvchi urinmaga aylanadi. Shuning uchun $f'(x_0)$ grafikka $x_0$ nuqtada o'tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng (6-dars).

y=x^2

(1;\,1)

(2;\,4)

orqali kesuvchi (uzuq chiziq), koeffitsiyenti

3

(1;\,1)

dagi urinma

y=2x-1

, unda

f'(1)=2

Asosiy hosilalar jadvali

Funksiya	Hosila	Qayerda to'g'ri
Funksiya $C$ (o'zgarmas)	Hosila $0$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $x$	Hosila $1$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $x^n$ , $n$ natural	Hosila $nx^{n-1}$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$ , $n$ natural	Hosila $-nx^{-n-1}=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$	Qayerda to'g'ri $x\ne 0$
Funksiya $x^r$ , $r$ haqiqiy son	Hosila $rx^{r-1}$	Qayerda to'g'ri $x>0$
Funksiya $\dfrac{1}{x}$	Hosila $-\dfrac{1}{x^2}$	Qayerda to'g'ri $x\ne 0$
Funksiya $\sqrt{x}$	Hosila $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	Qayerda to'g'ri $x>0$
Funksiya $\sqrt[3]{x}$	Hosila $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$	Qayerda to'g'ri $x\ne 0$
Funksiya $\sqrt[3]{x^2}$	Hosila $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$	Qayerda to'g'ri $x\ne 0$
Funksiya $\sin x$	Hosila $\cos x$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $\cos x$	Hosila $-\sin x$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $\mathrm{tg}\,x$	Hosila $\dfrac{1}{\cos^2 x}$	Qayerda to'g'ri $x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ , $n$ butun
Funksiya $\mathrm{ctg}\,x$	Hosila $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$	Qayerda to'g'ri $x\ne\pi n$ , $n$ butun
Funksiya $e^x$	Hosila $e^x$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $a^x$	Hosila $a^x\ln a$	Qayerda to'g'ribarcha $x$ ; $a>0$ , $a\ne 1$
Funksiya $\ln x$	Hosila $\dfrac{1}{x}$	Qayerda to'g'ri $x>0$
Funksiya $\ln\|x\|$	Hosila $\dfrac{1}{x}$	Qayerda to'g'ri $x\ne 0$
Funksiya $\log_a x$	Hosila $\dfrac{1}{x\ln a}$	Qayerda to'g'ri $x>0$ ; $a>0$ , $a\ne 1$
Funksiya $\lg x$	Hosila $\dfrac{1}{x\ln 10}$	Qayerda to'g'ri $x>0$
Funksiya $\arcsin x$	Hosila $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Qayerda to'g'ri $-1<x<1$
Funksiya $\arccos x$	Hosila $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Qayerda to'g'ri $-1<x<1$
Funksiya $\mathrm{arctg}\,x$	Hosila $\dfrac{1}{1+x^2}$	Qayerda to'g'ribarcha $x$
Funksiya $\mathrm{arcctg}\,x$	Hosila $-\dfrac{1}{1+x^2}$	Qayerda to'g'ribarcha $x$

Ildiz va kasrni daraja qilib yozsak, hammasi bitta $x^r$ formulasiga tushadi: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , $x\sqrt{x}=x^{3/2}$ , $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ , $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ . Masalan, $x>0$ da $(x\sqrt{x})'=\dfrac{3}{2}x^{1/2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$ .

$\sqrt[3]{x^2}$ manfiy $x$ da ham aniqlangan, u yerda jadvaldagi kasr ko'rinishidan foydalanamiz. $y=5-\sqrt[3]{x^2}$ bo'lsa, $y'=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ va $y'(-8)=-\dfrac{2}{3\cdot(-2)}=\dfrac{1}{3}$ .

Yig'indi, ayirma va o'zgarmas ko'paytuvchi

(u\pm v)'=u'\pm v'

(Cu)'=Cu'

u

v

shu nuqtada differensiallanuvchi,

C

o'zgarmas son

Shuning uchun ko'phadning hosilasi hadma-had olinadi:

(4x^3-5x^2+7x-1)'

=12x^2-10x+7

Yig'indi uzun bo'lsa ham shunday: $f(x)=x+x^2+\ldots+x^n$ uchun $f'(x)=1+2x+\ldots+nx^{n-1}$ , demak:

f'(1)=1+2+\ldots+n

=\frac{n(n+1)}{2}

Ko'paytmaning hosilasi

(uv)'=u'v+uv'

u

v

shu nuqtada differensiallanuvchi

Sababi: ko'paytmaning orttirmasi uch qo'shiluvchidan iborat.

\Delta(uv)=v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v

$\Delta x$ ga bo'lib, limitga o'tamiz; oxirgi had $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\Delta v$ nolga intiladi, chunki $\Delta v\to 0$ .

(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x

(x^3\ln x)'=3x^2\ln x+x^2

Ikkinchisida

x>0

, ko'paytma qoidasidan keyin soddalashtirildi

(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

Uch ko'paytuvchi: har gal bittasining hosilasi olinadi

Bo'linmaning hosilasi

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

v\ne 0

Suratda ayirma tartibi muhim: avval

u'v

\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}

\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}

Tez-tez uchraydigan xususiy holatlar,

v\ne 0

cx+d\ne 0

Misol: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ uchun $a=2,\ b=1,\ c=1,\ d=-3$ , demak:

f'(x)=\frac{2\cdot(-3)-1\cdot 1}{(x-3)^2}

=-\frac{7}{(x-3)^2}

x=4

f'(4)=-7

Ko'paytuvchi ichida ifoda bo'lsa

Ildiz yoki logarifm ichida $x$ emas, ifoda tursa, murakkab funksiya qoidasi kerak (2-dars): $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ .

Masalan, $f(x)=x^2\ln(4-x)$ uchun $f'(x)=2x\ln(4-x)-\dfrac{x^2}{4-x}$ va $f'(3)=0-9=-9$ .

$g(x)=(x^2+1)\sqrt{x^2-3}$ uchun:

g'(x)=2x\sqrt{x^2-3}+\frac{(x^2+1)x}{\sqrt{x^2-3}}

g'(2)=4+10=14

Avval soddalashtirish

Kasrni qoida bilan hosilalash shart emas, agar uni qo'shiluvchilarga ajratish mumkin bo'lsa. $f(x)=\dfrac{6x\sqrt{x}-4}{x}$ , $x>0$ . Bo'lamiz: $f(x)=6\sqrt{x}-\dfrac{4}{x}$ . Endi:

f'(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2}

f'(4)=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}

Nuqtadagi qiymat so'ralsa, avval hosila funksiyasini topamiz, keyin nuqtani qo'yamiz. Avval son qo'yib, keyin hosila olinsa, o'zgarmas sonning hosilasi $0$ chiqib qoladi.

Yuqori tartibli hosilalar

Hosilaning hosilasi ikkinchi tartibli hosila deyiladi: $f''(x)=(f'(x))'$ . Shu tarzda $f'''(x)$ va $k$ -tartibli $f^{(k)}(x)$ topiladi. Darajada har gal ko'rsatkich tushib, ko'paytuvchi bo'ladi:

A=n(n-1)\cdots(n-k+1)

(x^n)^{(k)}=A\,x^{n-k}

n

natural,

k\le n

. Agar

k>n

bo'lsa, hosila nolga teng.

x=1

da daraja qismi

1

ga teng

Misol: $f(x)=x^5$ uchun $f'=5x^4$ , $f''=20x^3$ , $f'''=60x^2$ , $f^{(5)}=120$ , $f^{(6)}=0$ .

Bitta qavsi nolga aylanadigan ko'paytma

$f(x)=(x-a)\cdot g(x)$ bo'lsin. Ko'paytma qoidasi $f'(x)=g(x)+(x-a)g'(x)$ beradi. $x=a$ da ikkinchi qo'shiluvchi yo'qoladi:

f=(x-a)\,g\ \Rightarrow\ f'(a)=g(a)

g

nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa. Uzun ko'paytmalar shunday yechiladi

Ayniyatdan hosila olish

Tenglik barcha $x$ da to'g'ri bo'lsa (ayniyat), ikki tomonning hosilalari ham teng. Noma'lum funksiya ham, $k$ son ham shundan topiladi: avval qulay $x$ ni qo'yamiz, keyin hosila olamiz. Buni 4-misolda ko'ramiz.

Noma'lum ko'phad berilsa, avval darajasini aniqlaymiz. $P(x)-P'(x)=x^2-4x+5$ bo'lsin. Hosila darajani bittaga tushiradi, demak $P$ ikkinchi darajali va bosh koeffitsiyenti $1$ : $P(x)=x^2+bx+c$ . Unda:

P-P'=x^2+(b-2)x+c-b

Koeffitsiyentlarni tenglaymiz: $b-2=-4$ , ya'ni $b=-2$ ; $c-b=5$ , ya'ni $c=3$ . Ozod had $P(0)=3$ .

Urinma va parabola orqali berilgan ma'lumot

Urinma $x_0$ nuqtada grafikka tegsa, undan ikki son olinadi: urinmaning $x_0$ dagi qiymati $f(x_0)$ ga, burchak koeffitsiyenti $f'(x_0)$ ga teng. Masalan, $f$ ning $x=2$ dagi urinmasi $(-4;\,0)$ va $(0;\,2)$ dan o'tsin. Bu urinma $y=0{,}5x+2$ , demak $f'(2)=0{,}5$ , $f(2)=3$ . Agar $h(x)=\dfrac{f(x)}{x+2}$ bo'lsa:

h'(2)=\frac{f'(2)\cdot 4-f(2)\cdot 1}{4^2}

=\frac{2-3}{16}=-\frac{1}{16}

Parabola o'qlarni kesish nuqtalari bilan berilsa, uni ildizlar orqali yozamiz: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , $a$ esa $Oy$ dagi nuqtadan topiladi.

Hosila qatnashgan tenglama va tengsizlik

Avval hosilani ko'paytuvchilarga ajratamiz, keyin oddiy tenglama yoki oraliqlar usulini qo'llaymiz. Aniqlanish sohasini unutmang: logarifm bo'lsa $x>0$ , maxrajda $x$ bo'lsa $x\ne 0$ .

Misol: $f(x)=x^4\ln x$ uchun $xf'(x)=6f(x)$ ni yechamiz. $f'(x)=4x^3\ln x+x^3$ , tenglama $4x^4\ln x+x^4=6x^4\ln x$ bo'ladi. $x>0$ bo'lgani uchun $x^4$ ga bo'lamiz: $1=2\ln x$ , ya'ni $x=\sqrt{e}$ .

Misol: $f(x)=x^3-3x+1$ uchun $\dfrac{f'(x)}{x-2}\ge 0$ ni yechamiz. $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ . Oraliqlar usuli: nollar $-1,\ 1$ kiradi, $2$ kirmaydi, eng o'ngda ishora musbat. Yechim $[-1;\,1]\cup(2;\,+\infty)$ , eng kichik butun yechimi $-1$ .

Ishlangan misollar

1-misol

$f(x)=(2x^2-1)(x+3)$ bo'lsa, $f'(1)$ ni toping.

$f'(x)=4x(x+3)+(2x^2-1)\cdot 1$
Ko'paytma qoidasi: $u=2x^2-1$ , $v=x+3$ .
$f'(1)=4\cdot 4+1=17$
Hosila topilgandan keyin $x=1$ ni qo'yamiz.

Javob: $17$

2-misol

$f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ bo'lsa, $f'(x)=0$ tenglama ildizlari yig'indisini toping.

$f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}$
Bo'linma qoidasi.
$f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$
Suratni ochib soddalashtiramiz.
$x^2-2x-3=0$
Kasr nolga teng bo'lishi uchun surat nol, maxraj nol emas.
$x_1=-1,\quad x_2=3$
Kvadrat tenglamaning ildizlari.
$x_1+x_2=2$
Ikkala ildiz ham $x\ne 1$ shartini qanoatlantiradi.

Javob: $2$

3-misol

$y=f(x)$ parabola $Ox$ o'qini $(2;\,0)$ va $(6;\,0)$ da, $Oy$ o'qini $(0;\,12)$ da kesadi. $f'(4)+f'(0)$ ni toping.

$f(x)=a(x-2)(x-6)$
Ildizlar ma'lum bo'lgani uchun parabola shunday yoziladi.
$f(0)=12a=12,\quad a=1$
$(0;\,12)$ nuqtani qo'yamiz.
$f(x)=x^2-8x+12$
Qavslarni ochamiz.
$f'(x)=2x-8$
Hosila olamiz.
$f'(4)+f'(0)=0+(-8)=-8$
$x=4$ parabola uchi: u yerda hosila nol.

Javob: $-8$

4-misol

$f$ ko'phad va quyidagi tenglik ayniyat. $f'(1)$ ni toping.

(x+1)(x-1)^4=xf(x)+k

$x=0:\quad 1\cdot 1=k,\quad k=1$
$x=0$ da $f$ qatnashgan had yo'qoladi.
$x=1:\quad f(1)=-1$
Chap tomonda $(x-1)^4$ nolga aylanadi: $0=f(1)+1$ .
$(x-1)^4+4(x+1)(x-1)^3$
Chap tomonning hosilasi: ko'paytma qoidasi.
$f(x)+xf'(x)$
O'ng tomonning hosilasi: yana ko'paytma qoidasi, $k$ yo'qoladi. Ikki hosila o'zaro teng.
$x=1:\quad 0=f(1)+f'(1)$
Chap tomonning ikkala hadida ham $x-1$ bor.
$f'(1)=-f(1)=1$
$f(1)=-1$ ni qo'yamiz.

Javob: $1$

5-misol

Quyidagi funksiya uchun $f'(7)$ ni toping.

f(x)=x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-20)

$f(x)=(x-7)\,g(x)$
$g(x)$ ga $x-7$ dan boshqa barcha qavslar kiradi. Unda $f'(7)=g(7)$ .
$7\cdot 6\cdot\ldots\cdot 1=7!$
$x,\ x-1,\ \ldots,\ x-6$ qavslar $x=7$ da shu sonlarni beradi.
$(-1)(-2)\cdot\ldots\cdot(-13)=-13!$
$x-8,\ \ldots,\ x-20$ qavslar $13$ ta manfiy son, toq sonda bo'lgani uchun ishora minus.
$f'(7)=-7!\cdot 13!$
Ikki qismni ko'paytiramiz.

Javob: $-7!\cdot 13!$

6-misol

$f(x)=x^{100}$ bo'lsa, quyidagi yig'indini $3$ ga bo'lgandagi qoldiqni toping.

f'(1)+f''(1)+\ldots+f^{(100)}(1)

$f'(1)=100,\quad f''(1)=100\cdot 99$
$k$ -tartibli hosila formulasi, $x=1$ da daraja qismi $1$ .
$f^{(k)}(1)=100\cdot 99\cdot\ldots\cdot(101-k)$
$k\ge 2$ da har bir qo'shiluvchida $99$ ko'paytuvchisi bor, u $3$ ga bo'linadi.
$100=3\cdot 33+1$
Demak qoldiqni faqat birinchi qo'shiluvchi beradi.

Javob: $1$

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
$(uv)'=u'v'$	$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'}{v'}$	$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=\ln x$	$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$
$(\cos x)'=\sin x$	$(\cos x)'=-\sin x$
$(2^x)'=x\cdot 2^{x-1}$	$(2^x)'=2^x\ln 2$
$(\pi^2)'=2\pi$	$(\pi^2)'=0$ , chunki $\pi^2$ o'zgarmas son
$f(2)=5$ bo'lsa, $f'(2)=(5)'=0$	Avval $f'(x)$ topiladi, keyin $x=2$ qo'yiladi

Eslab qoling

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ , urinmaning burchak koeffitsiyenti.
$(x^n)'=nx^{n-1}$ , $(e^x)'=e^x$ , $(a^x)'=a^x\ln a$ .
$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ , $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ .
$(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ .
$(\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$ .
$(\mathrm{ctg}\,x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ .
$(uv)'=u'v+uv'$ , $(Cu)'=Cu'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ .
$f(x)=(x-a)g(x)$ bo'lsa, $f'(a)=g(a)$ .
Avval soddalashtiring, keyin hosila oling, oxirida son qo'ying. Aniqlanish sohasini tekshiring.