Limit va uzluksizlik: matematika darsi

$f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ funksiya $x=3$ da aniqlanmagan: son qo'ysak, $\dfrac{0}{0}$ chiqadi. Ammo $x=3{,}01$ da qiymat $6{,}01$ , $x=2{,}99$ da $5{,}99$ . $x$ soni $3$ ga yaqinlashganda $f(x)$ soni $6$ ga yaqinlashadi. Mana shu $6$ limit. Hosilaning o'zi ham limit, shuning uchun bu mavzu hamma narsaning asosi.

Limit tushunchasi

$x$ soni $a$ ga ( $a$ dan farqli qolib) yaqinlashganda $f(x)$ ning qiymati $L$ ga istalgancha yaqinlashsa, $L$ soni $f$ ning $a$ dagi limiti deyiladi: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ .

Limit $f(a)$ ga bog'liq emas: funksiya nuqtada aniqlanmagan yoki boshqa qiymat olgan bo'lishi mumkin. Bir tomonlama limitlar: $x\to a^-$ chapdan, $x\to a^+$ o'ngdan yaqinlashish.

Limit mavjud bo'lishi uchun chap va o'ng limitlar mavjud va teng bo'lishi kerak, shunda umumiy limit shu songa teng.

Misol: $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ uchun chapda $-1$ , o'ngda $1$ , demak $x=0$ da limit yo'q.

Limit qoidalari

\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g

\lim(fg)=\lim f\cdot\lim g

Ikkala limit mavjud bo'lsa

\lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}

\lim g\ne 0

Maxraj limiti nol bo'lsa, bu qoida ishlamaydi

Ko'phad, kasr, ildiz, ko'rsatkichli, logarifmik, trigonometrik funksiyalar aniqlanish sohasida uzluksiz, shuning uchun nuqta sohada bo'lsa, limit shunchaki son qo'yish bilan topiladi: $\lim\limits_{x\to 2}(x^2+3x-1)=9$ . Maxraj nol bo'lmasa ham shunday: $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x^2-9}{x+3}=\dfrac{16}{8}=2$ .

Son qo'yganda	Natija
$\dfrac{c}{d}$ , $d\ne 0$	Limit $\dfrac{c}{d}$
$\dfrac{c}{0}$ , $c\ne 0$	Chekli limit yo'q, kasr moduli cheksiz o'sadi
$\dfrac{0}{0}$	Noaniqlik: ifodani almashtirish kerak
$\dfrac{\infty}{\infty}$	Noaniqlik: eng katta darajaga bo'lish

0/0 noaniqlik: qisqartirish

Ko'phadlar kasrida son qo'yganda $\dfrac{0}{0}$ chiqsa, surat ham, maxraj ham $x-a$ ga bo'linadi. Ko'paytuvchilarga ajratib qisqartiramiz; $x\to a$ da $x\ne a$ , shuning uchun qisqartirish qonuniy.

Misol:

\lim_{x\to 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+8}

=\lim_{x\to 4}\frac{(x-4)(x-1)}{(x-4)(x-2)}

=\lim_{x\to 4}\frac{x-1}{x-2}=\frac{3}{2}

0/0 noaniqlik: qo'shmaga ko'paytirish

Ildiz bo'lsa, suratni ham, maxrajni ham qo'shma ifodaga ko'paytiramiz: $(\sqrt{A}-b)(\sqrt{A}+b)=A-b^2$ .

Misol:

\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}

=\lim_{x\to 5}\frac{x+4-9}{(x-5)(\sqrt{x+4}+3)}

=\lim_{x\to 5}\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}=\frac{1}{6}

0/0 noaniqlik: hosila bilan

Ta'rifga ko'ra $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ . Bundan tez usul kelib chiqadi:

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}

Agar

f(a)=g(a)=0

g'(a)\ne 0

f

g

nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa

Tekshirish: $f=x^2-5x+4$ , $g=x^2-6x+8$ , $a=4$ . $f'(4)=3$ , $g'(4)=2$ , natija $\dfrac{3}{2}$ . Oldingi hisob bilan bir xil. Shu usul yechimni tekshirish uchun ham qulay.

Asosiy limitlar

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}\,x}{x}=1

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

x

radianlarda

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish