Egri chiziqli trapetsiya yuzi va aylanish jismi hajmi

$y=x^3-x$ uchun $\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx=0$, ammo grafik va $Ox$ orasida yuza bor, u $\dfrac{1}{2}$ ga teng. Integral ishorali son, yuza esa doim musbat. Bu darsda to'g'ri chegara va to'g'ri ishorani tanlashni, keyin shu fikrni hajmga ko'chirishni o'rganamiz.

Egri chiziqli trapetsiya

Yuqoridan $y=f(x)$ grafigi, pastdan $Ox$ o'qi, yon tomonlardan $x=a$ va $x=b$ bilan chegaralangan shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi ($f$ uzluksiz, $f\ge 0$).

Funksiya kesmada ishora almashtirsa, yuza $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$: kesmani nollarda bo'lamiz, har bir qismning modulini olamiz va qo'shamiz.

Ikki chiziq orasidagi yuza

1. Chegaralarni toping: berilmagan bo'lsa, ular $f(x)=g(x)$ ning ildizlari.
2. Kesmada qaysi chiziq yuqorida ekanini bitta son qo'yib aniqlang.
3. Yuqoridagidan pastdagini ayirib, integrallang.
4. Chiziqlar kesma ichida kesishsa, yuqoridagisi almashadi: kesmani bo'ling. Umumiy holda $S=\int_a^b|f-g|\,dx$.

Tez formula: parabola va to'g'ri chiziq

$f-g$ ikkinchi darajali ko'phad, $x_1<x_2$ uning ildizlari bo'lsin. Unda:

Tekshirish:

• $x^2$ va $x+2$ da $A=1$, $x_2-x_1=3$, $S=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$;
• $y=8-x^2$ va $y=x^2$ da $A=2$, $x_2-x_1=4$, $S=\dfrac{2\cdot 64}{6}=\dfrac{64}{3}$.

Parametrli masalalarda juda qulay. $y=x^2$ va $y=ax$ ($a>0$) uchun $S=\dfrac{a^3}{6}$; $S=36$ bo'lsa, $a=6$. Soha $x=c$ to'g'ri chizig'i bilan teng ikkiga bo'linsa, $c$ ildizlar o'rtasida: $c=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.