Aniq integral: matematika darsi

$y=x$ to'g'ri chizig'i, $Ox$ o'qi va $x=2$ orasidagi uchburchak yuzi $2$ . Boshlang'ich funksiya $\dfrac{x^2}{2}$ bilan ham shu son chiqadi: $\dfrac{2^2}{2}-0=2$ . Bu tasodif emas: aniq integral yuzani va o'zgarish yig'indisini boshlang'ich funksiya orqali hisoblaydi.

Aniq integral nima

$f$ funksiya $[a;\,b]$ da uzluksiz bo'lsin. Kesmani kichik bo'laklarga bo'lib, har bir bo'lakda $f(x_i)\Delta x_i$ ko'paytmalarni qo'shamiz. Bo'laklar kichrayganda yig'indining limiti aniq integral deyiladi: $\int_a^b f(x)\,dx$ . Bu yerda $a$ quyi, $b$ yuqori chegara.

Geometrik ma'nosi: integral ishorali yuza. $Ox$ dan yuqoridagi yuzalar musbat, pastdagilar manfiy hisoblanadi.

\int_{-1}^2 x\,dx=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}

. Yuqoridagi uchburchak

2

, pastdagisi

\dfrac{1}{2}

bilan ayiriladi

Nyuton-Leybnis formulasi

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)

f

kesmada uzluksiz,

F

uning istalgan boshlang'ich funksiyasi

Qaysi $F$ olinsa ham natija bir xil:

(F(b)+C)-(F(a)+C)

=F(b)-F(a)

Shuning uchun aniq integralda

C

yozilmaydi

Shart muhim: kesmada funksiya uzluksiz bo'lishi kerak. $\int_{-1}^1\dfrac{dx}{x^2}$ ga formulani qo'llab bo'lmaydi, chunki $x=0$ da funksiya aniqlanmagan. "Natija" $-2$ chiqishi xato, musbat funksiyaning yuzasi manfiy bo'lmaydi.

Xossalar

Xossa	Formula
Teng chegaralar	$\int_a^a f\,dx=0$
Chegaralar almashsa	$\int_b^a f\,dx=-\int_a^b f\,dx$
O'zgarmas ko'paytuvchi	$\int_a^b kf\,dx=k\int_a^b f\,dx$
Tengsizlik, $a<b$	$f\ge g$ bo'lsa, $\int_a^b f\,dx\ge\int_a^b g\,dx$
Juft funksiya	$\int_{-a}^a f\,dx=2\int_0^a f\,dx$
Toq funksiya	$\int_{-a}^a f\,dx=0$

\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx

Kesmani bo'lish

\int_a^b(f\pm g)\,dx

=\int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx

Yig'indi va ayirma

Chiziqlilikdan foydalanish misoli: $\int_0^2 f\,dx=2$ , $\int_0^2 xf\,dx=a$ , $\int_0^2 x^2f\,dx=a^2$ bo'lsin. $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ , va $a$ son bo'lgani uchun tashqariga chiqadi:

\int_0^2(x+a)^2f\,dx

=a^2+2a\cdot a+a^2\cdot 2

=5a^2

Toq funksiya simmetrik qismda yo'qoladi. $\int_{-2}^5 x|x|\,dx$ da $x|x|$ toq, $[-2;\,2]$ qismi nol, qoladi $\int_2^5 x^2dx=\dfrac{125-8}{3}=39$ .

Yuqori chegara o'zgaruvchi

\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)'=f(x)

f

uzluksiz bo'lsa. Shu integral eng katta qiymat masalalarida funksiya bo'ladi

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish