Boshlang'ich funksiya: matematika darsi

Tezlik $v(t)=2t$ ma'lum bo'lsa, yo'l qonuni qanday? Hosilasi $2t$ bo'lgan funksiyani qidiramiz: $t^2$ , lekin $t^2+5$ ham to'g'ri keladi. Hosila bo'yicha funksiyani tiklash boshlang'ich funksiyani topish deyiladi. Bu amal hosilaga teskari va aniq integral, yuza, hajmning asosi.

Ta'rif va +C

Oraliqdagi barcha $x$ uchun $F'(x)=f(x)$ bo'lsa, $F$ funksiya $f$ ning shu oraliqdagi boshlang'ich funksiyasi deyiladi.

$F$ boshlang'ich funksiya bo'lsa, $F+C$ ham boshlang'ich funksiya, chunki $(F+C)'=F'+0=f$ . Teskarisi ham to'g'ri: bitta oraliqda ikki boshlang'ich funksiya faqat o'zgarmas songa farq qiladi, chunki ayirmasining hosilasi nol. Grafik tilida: barcha boshlang'ich funksiyalar grafiklari bir-biridan $Oy$ bo'ylab siljish bilan olinadi.

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Aniqmas integral: barcha boshlang'ich funksiyalar.

C

istalgan o'zgarmas son

f(x)=2x

ning boshlang'ich funksiyalari:

x^2+1

x^2

x^2-1

A(1;\,2)

nuqtadan faqat

C=1

dagisi o'tadi

Savolda "umumiy ko'rinish" yoki $\int$ so'ralsa, $+C$ yoziladi. "Boshlang'ich funksiyalardan birini toping" deyilsa, istalgan aniq $C$ to'g'ri, odatda $C=0$ . Nuqta berilsa, $C$ shu nuqtadan aniq topiladi.

Natijani har doim hosila bilan tekshirish mumkin: topilgan $F$ ning hosilasi $f$ ga teng bo'lishi kerak.

Boshlang'ich funksiyalar jadvali

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	Shart
$f(x)$ $0$	$\int f(x)\,dx$ $C$	Shart
$f(x)$ $k$ (son)	$\int f(x)\,dx$ $kx+C$	Shart
$f(x)$ $x^n$	$\int f(x)\,dx$ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	Shart $n\ne -1$
$f(x)$ $\dfrac{1}{x}$	$\int f(x)\,dx$ $\ln\|x\|+C$	Shart $x\ne 0$
$f(x)$ $\dfrac{1}{x^2}$	$\int f(x)\,dx$ $-\dfrac{1}{x}+C$	Shart $x\ne 0$
$f(x)$ $\sqrt{x}$	$\int f(x)\,dx$ $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$	Shart $x\ge 0$
$f(x)$ $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$\int f(x)\,dx$ $2\sqrt{x}+C$	Shart $x>0$
$f(x)$ $e^x$	$\int f(x)\,dx$ $e^x+C$	Shart
$f(x)$ $a^x$	$\int f(x)\,dx$ $\dfrac{a^x}{\ln a}+C$	Shart $a>0$ , $a\ne 1$
$f(x)$ $\sin x$	$\int f(x)\,dx$ $-\cos x+C$	Shart
$f(x)$ $\cos x$	$\int f(x)\,dx$ $\sin x+C$	Shart
$f(x)$ $\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\int f(x)\,dx$ $\mathrm{tg}\,x+C$	Shart $\cos x\ne 0$
$f(x)$ $\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$\int f(x)\,dx$ $-\mathrm{ctg}\,x+C$	Shart $\sin x\ne 0$
$f(x)$ $\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\int f(x)\,dx$ $\arcsin\dfrac{x}{a}+C$	Shart $a>0$ , $\|x\|<a$
$f(x)$ $\dfrac{1}{a^2+x^2}$	$\int f(x)\,dx$ $\dfrac{1}{a}\mathrm{arctg}\dfrac{x}{a}+C$	Shart $a\ne 0$
$f(x)$ $\dfrac{1}{x^2-a^2}$	$\int f(x)\,dx$ $\dfrac{1}{2a}\ln\left\|\dfrac{x-a}{x+a}\right\|+C$	Shart $a\ne 0$ , $\|x\|\ne \|a\|$

Darajaga keltirish ildiz va kasrlarni bitta satrga tushiradi:

$\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ , ya'ni $\int x^{-3}dx=-\dfrac{1}{2x^2}+C$ ;
$\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ , ya'ni $\int x^{1/3}dx=\dfrac{3}{4}x^{4/3}+C$ , $x>0$ ;
$\dfrac{1}{x\ln 10}$ ning boshlang'ich funksiyasi $\lg x+C$ , $x>0$ .

ln|x| bo'lgan joyda C ni x > 0 va x < 0 oraliqlari uchun alohida olish mumkin, chunki bu ikki alohida oraliq. Imtihonda nuqta qaysi oraliqda bo'lsa, o'sha oraliq olinadi.

Integrallash qoidalari

\int(f\pm g)dx=\int f\,dx\pm\int g\,dx

\int kf\,dx=k\int f\,dx

Yig'indi va o'zgarmas ko'paytuvchi,

k

son

\int f(kx+b)\,dx

=\frac{1}{k}F(kx+b)+C

Argumenti chiziqli,

k\ne 0

k

ga bo'linadi.

F

boshlang'ich funksiya

Funksiya	Boshlang'ich funksiya
$\sin 4x$	$-\dfrac{1}{4}\cos 4x+C$
$e^{-2x}$	$-\dfrac{1}{2}e^{-2x}+C$
$(3x-1)^5$	$\dfrac{(3x-1)^6}{18}+C$
$\dfrac{1}{2x+5}$	$\dfrac{1}{2}\ln\|2x+5\|+C$
$\dfrac{1}{(2x+1)^2}$	$-\dfrac{1}{2(2x+1)}+C$
$3^{2x}$	$\dfrac{3^{2x}}{2\ln 3}+C$

Ko'paytma va bo'linma uchun umumiy qoida yo'q: $\int fg\,dx\ne\int f\,dx\cdot\int g\,dx$ . Avval ifodani yig'indiga keltiramiz yoki almashtirish qilamiz.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish