Butun va natural sonlarda yechish, shart orqali hisoblash

$xy+3x+2y=18$ tenglamada ikkita noma'lum bor va haqiqiy sonlarda uning yechimi cheksiz ko'p. Natural sonlarda esa uchta: $(1;\,5)$, $(2;\,3)$, $(4;\,1)$. Butunlik sharti tanlovni qisqartiradi. Bu darsda shunday tenglamalarni ko'paytuvchilarga ajratib yechishni, shuningdek noma'lumlarni alohida topmasdan ifoda qiymatini hisoblashni o'rganamiz.

Sonlar to'plamiga qarang

Natural sonlar $1,\ 2,\ 3,\ldots$ dan iborat, $0$ kirmaydi. Butun sonlarga manfiylar va $0$ ham kiradi. Bir tenglamaning yechimlari soni shunga qarab o'zgaradi, shuning uchun shartni birinchi navbatda o'qiymiz.

Chiziqli tenglama

$ax+by=c$ tenglamada $a$ va $b$ ning eng katta umumiy bo'luvchisi $d$ bo'lsin. Chap tomon doim $d$ ga bo'linadi, shuning uchun $c$ ham $d$ ga bo'linmasa, butun yechim yo'q. Masalan, $6x+9y=20$ da chap tomon $3$ ga bo'linadi, $20$ esa yo'q.

Natural yechimlarni topishda bo'linish va chegaradan foydalanamiz. $4x+7y=50$ da $x\ge 1$ bo'lgani uchun $7y\le 46$, ya'ni $y\le 6$. Bundan tashqari, $50-7y$ soni $4$ ga bo'linishi kerak. $y=2$ da $36$, $x=9$. $y=6$ da $8$, $x=2$. Boshqa $y$ mos kelmaydi. Ikkita yechim bor.

Umumiy yechim: bitta yechim $(x_0;\,y_0)$ topilgach va $a$, $b$ o'zaro tub bo'lsa, barcha butun yechimlar $x=x_0-bt$, $y=y_0+at$ ko'rinishida, $t$ butun. Yuqoridagi tenglama uchun $x=9-7t$, $y=2+4t$. Natural sonlar faqat $t=0$ va $t=1$ da chiqadi.

Ko'paytuvchilarga ajratish

Butun sonlardagi tenglamani ko'paytma $=$ son ko'rinishiga keltiramiz. Ko'paytuvchilar butun bo'lgani uchun ular o'ng tomondagi sonning bo'luvchilari. Har bir bo'luvchilar juftligi uchun oddiy sistema yechiladi.

Misol: $xy+3x+2y=18$. Ikki tomonga $6$ qo'shamiz: $(x+2)(y+3)=24$. Natural sonlarda $x+2\ge 3$, $y+3\ge 4$. Mos juftliklar:

Qolgan juftliklar shartga to'g'ri kelmaydi: $8\cdot 3$ da $y+3=3$, ya'ni $y=0$, natural emas. Butun sonlarda esa manfiy bo'luvchilar ham olinadi. $(x-2)(y+5)=10$ ning butun sonlardagi yechimi $8$ ta, chunki $10$ ning bo'luvchilari $\pm1,\ \pm2,\ \pm5,\ \pm10$ va har bir bo'luvchiga bitta juftlik mos keladi. Umuman, $N\ne 0$ bo'lsa, $(x+p)(y+q)=N$ ning butun yechimlari soni $N$ ning musbat bo'luvchilari sonining ikki hissasiga teng.

$xy$ oldida koeffitsiyent bo'lsa, tenglamani shu koeffitsiyentga ko'paytiramiz, aks holda to'g'ri ko'paytuvchilar chiqmaydi.

Misol: $2xy+3x+5y=25$. $2$ ga ko'paytiramiz va $15$ qo'shamiz: $(2x+5)(2y+3)=65$. Natural sonlarda $2x+5\ge 7$, $2y+3\ge 5$, shuning uchun faqat $13\cdot 5$ mos: $x=4$, $y=1$.

Yuqori darajali hadlar ham guruhlanadi. $xy^2-xy-y^2+y=86$ tenglamani natural sonlarda yechamiz. $y$ ni va $y-1$ ni chiqaramiz: $(x-1)y(y-1)=86$. $y(y-1)$ ketma-ket sonlar ko'paytmasi, u juft va $86=2\cdot 43$ ning bo'luvchisi. $2,\ 86$ dan faqat $2=2\cdot 1$ mos. Demak $y=2$, $x-1=43$, $x=44$. Butun sonlarda $y=-1$ ham $y(y-1)=2$ beradi, shuning uchun u yerda $(44;\,-1)$ yechim qo'shiladi.

Kvadratlar ayirmasi

Ikki qo'shimcha shart bor. Birinchisi, $x-y$ va $x+y$ ning juft-toqligi bir xil, chunki ularning ayirmasi $2y$. Ikkinchisi, $x-y<x+y$, shuning uchun har bir juftlik bir marta olinadi. Tekshiruv:

$n$ toq bo'lsa, istalgan bo'luvchilar juftligi mos keladi, faqat teng ko'paytuvchilar ($n$ to'liq kvadrat bo'lganda) $y=0$ beradi va tashlanadi. $n$ juft bo'lib, $4$ ga bo'linmasa ($n=30$ kabi), yechim umuman bo'lmaydi: ikkala ko'paytuvchi ham toq bo'lsa ko'paytma toq, ikkalasi juft bo'lsa ko'paytma $4$ ga bo'linadi.

Bo'linish orqali tanlash

Kasr butun bo'lishi uchun butun qismini ajratamiz. $\dfrac{n^2+5}{n+2}=n-2+\dfrac{9}{n+2}$, demak $n+2$ soni $9$ ning bo'luvchisi. Natural $n$ da $n+2\ge 3$, shuning uchun $n+2=3$ yoki $9$, ya'ni $n=1$ yoki $n=7$. Butun $n$ da $n+2\in\{\pm1,\ \pm3,\ \pm9\}$, oltita qiymat.

Noma'lumni maxrajdan chiqarish: $(x+4)^2=-\dfrac{9}{x}$ dan $x(x+4)^2=-9$. Butun $x$ soni $9$ ning bo'luvchisi va manfiy: $-1,\ -3,\ -9$. Faqat $x=-1$ mos: $-1\cdot 9=-9$. Tenglamaning haqiqiy ildizlari boshqa ham bor, lekin butunlari shu bitta.