Eng katta va eng kichik qiymat: tengsizliklar yordamida: matematika darsi

$40$ metr sim bilan to'g'ri to'rtburchak yer o'ralmoqda. Tomonlar $5$ va $15$ bo'lsa yuza $75$ , tomonlar $10$ va $10$ bo'lsa yuza $100$ . Eng katta yuza qaysi? Javobni hamma variantlarni sinamasdan, bitta tengsizlik bilan olish mumkin. Bu darsda ifodalarning eng katta va eng kichik qiymatini hosilasiz, to'liq kvadrat va o'rta qiymatlar tengsizligi yordamida topamiz.

Eng kichik qiymat nimani bildiradi

$m$ soni $f$ ifodaning eng kichik qiymati bo'lishi uchun ikki shart kerak: barcha ruxsat etilgan qiymatlarda $f\ge m$ va kamida bitta nuqtada $f=m$ . Eng katta qiymat uchun ham shunday, belgisi teskari.

Birinchi shartning o'zi yetmaydi. $x^2+1\ge 0$ to'g'ri, lekin $0$ eng kichik qiymat emas, chunki $x^2+1=0$ tenglama yechimga ega emas. Eng kichik qiymat $1$ . Shuning uchun har bir javobda «tenglik qachon bajariladi» degan savolga javob beramiz.

Eng katta yoki eng kichik qiymat umuman bo'lmasligi ham mumkin. $\dfrac{1}{x^2+1}$ ning eng katta qiymati $1$ , lekin eng kichik qiymati yo'q: ifoda musbat bo'lib qoladi va $x$ o'sgan sari $0$ ga yaqinlashadi, ammo unga teng bo'lmaydi.

Kvadrat uchhad

ax^2+bx+c

=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

a\ne 0

. Uchi

x_0=-\dfrac{b}{2a}

Holat	Natija	Misol
Holat $a>0$	NatijaEng kichik qiymat uchida, eng katta qiymat yo'q	Misol $x^2-8x+21=(x-4)^2+5$ , min $5$
Holat $a<0$	NatijaEng katta qiymat uchida, eng kichik qiymat yo'q	Misol $-t^2+22t-21=100-(t-11)^2$ , max $100$

Argument kesmada bo'lsa, uchi kesmaga tushishini tekshiramiz. $f(x)=x^2-4x+7$ ning uchi $x_0=2$ . $[3;\,5]$ kesmada uch yo'q, funksiya shu yerda o'sadi: eng kichik qiymat $f(3)=4$ , eng katta qiymat $f(5)=12$ . $[0;\,5]$ da uch bor: eng kichik qiymat $f(2)=3$ , eng katta qiymat chetlardan kattasi, $f(5)=12$ .

Argument natural son bo'lsa, uchga eng yaqin natural son olinadi, chunki parabola uchiga nisbatan simmetrik. $a_n=-3n^2+20n+1$ da $n_0=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33$ . Eng yaqini $n=3$ : $a_3=34$ , $a_4=33$ . Demak uchinchi had eng katta.

Uchning koordinatalari ham so'ralishi mumkin. $f(x)=x^2+4x+a^2-13$ ning uchi $(-2;\,a^2-17)$ . Bu nuqta uchinchi chorakda bo'lishi uchun $a^2-17<0$ . Butun $a$ : $-4,\ldots,4$ , ularning yig'indisi $0$ , soni $9$ .

Ikki noma'lumli kvadrat ifoda

To'liq kvadratlarga ajratamiz. Avval $xy$ li hadni bitta kvadratga olamiz.

2a^2-2ab+b^2-6a+11

=(a-b)^2+(a-3)^2+2

Eng kichik qiymat

2

a=b=3

4y(3x-y)-(3x-2)(3x+2)

=4-(3x-2y)^2

Qavslarni ochib, kvadrat ajratdik. Eng katta qiymat

4

, masalan

x=2

y=3

Kvadratlar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lsa, ular bir vaqtda nol bo'lishini tekshirish kerak:

2x^2+2xy+2y^2-6x+6y+23

=(x+y)^2+(x-3)^2

+(y+3)^2+5

Uchala qavs

x=3

y=-3

da nolga aylanadi, shuning uchun eng kichik qiymat

5

$(x+y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2$ da esa $x=y=1$ bo'lsa birinchi qavs $2$ . Uchala qavs bir vaqtda nol bo'lmaydi, shuning uchun bu ifodaning eng kichik qiymati $0$ emas, u $\dfrac{4}{3}$ ga teng, bunda $x=y=\dfrac{1}{3}$ .

O'rta arifmetik va o'rta geometrik

a+b\ge 2\sqrt{ab}

a,b\ge 0

Tenglik faqat

a=b

a+b-2\sqrt{ab}

=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0

Tengsizlikning isboti

Undan ikki xulosa chiqadi. Ko'paytma o'zgarmas bo'lsa, yig'indi $a=b$ da eng kichik. Yig'indi o'zgarmas bo'lsa, ko'paytma $a=b$ da eng katta.

x^2+\frac{25}{x^2}\ge 2\sqrt{25}=10

x\ne 0

. Tenglik

x^2=5

da, bunday

x

bor

Tengsizlikni qo'llashdan oldin uch narsani tekshiramiz: hadlar manfiy emasmi, ko'paytma (yoki yig'indi) o'zgarmasmi, tenglik nuqtasi mavjudmi. Biri buzilsa, usul noto'g'ri javob beradi:

Ifoda	Nima buziladi	To'g'ri javob
Ifoda $x+\dfrac{9}{x}$ , $x\ne 0$	Nima buziladi $x<0$ da hadlar manfiy	To'g'ri javob $x>0$ da $\ge 6$ , $x<0$ da $\le -6$ . Butun sohada eng kichik qiymat yo'q
Ifoda $\sin^2x+\dfrac{9}{\sin^2x}$	Nima buziladiTenglik uchun $\sin^2x=3$ kerak, bu mumkin emas	To'g'ri javobEng kichik qiymat $6$ emas, $10$ . U $\sin^2x=1$ da olinadi
Ifoda $\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$	Nima buziladiTenglik uchun $x^2+4=1$ kerak	To'g'ri javobEng kichik qiymat $2$ emas, $\dfrac{5}{2}$ . U $x=0$ da olinadi

Tenglik nuqtasi sohaga tushmasa, ayirmani ko'paytuvchilarga ajratamiz. $t=\sin^2x\in(0;\,1]$ uchun:

t+\frac{9}{t}-10=\frac{(t-1)(t-9)}{t}\ge 0

Ikkala qavs ham musbat emas. Tenglik

t=1

Ikkinchi holda $t=\sqrt{x^2+4}\ge 2$ deymiz:

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish