Ko'phadlar: koeffitsiyentlar yig'indisi, Bezu teoremasi, uchinchi darajali tenglamalar: matematika darsi

$(x^2-x-1)^{5}$ ning qavslarini ochish uzoq ish, natijada o'ninchi darajali ko'phad chiqadi. Lekin koeffitsiyentlar yig'indisi bir qatorda topiladi: $x=1$ qo'yamiz, $(1-1-1)^5=-1$ . Bu darsda ko'phadga qiymat qo'yib, qavs ochmasdan va bo'lmasdan javob olishni o'rganamiz: koeffitsiyentlar yig'indisi, bo'lishdagi qoldiq, uchinchi darajali tenglamalar.

Ko'phad nima

Ko'phad quyidagi ko'rinishdagi ifoda:

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}

+\ldots+a_1x+a_0

Bunda

a_n\ne 0

n

uning darajasi,

a_n

bosh koeffitsiyent,

a_0

ozod had

Masalan, $P(x)=2x^3-5x+1$ uchinchi darajali, bosh koeffitsiyenti $2$ , ozod hadi $1$ , $x^2$ oldidagi koeffitsiyenti $0$ . Agar $P(a)=0$ bo'lsa, $a$ soni ko'phadning ildizi deyiladi.

Qiymat	Nimani beradi	$P(x)=2x^3-5x+1$ uchun
Qiymat $P(0)$	Nimani beradiOzod had	$P(x)=2x^3-5x+1$ uchun $1$
Qiymat $P(1)$	Nimani beradiBarcha koeffitsiyentlar yig'indisi	$P(x)=2x^3-5x+1$ uchun $2-5+1=-2$
Qiymat $P(-1)$	Nimani beradiJuft darajalar yig'indisidan toq darajalar yig'indisi ayirilgani	$P(x)=2x^3-5x+1$ uchun $-2+5+1=4$

Koeffitsiyentlar yig'indisi

P(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_0

x=1

da har bir daraja

1

ga teng, koeffitsiyentlargina qoladi

$P(-1)$ da juft darajalar $+1$ , toq darajalar $-1$ beradi. Shundan ikkita formula chiqadi:

S_{\text{juft}}=\frac{P(1)+P(-1)}{2}

S_{\text{toq}}=\frac{P(1)-P(-1)}{2}

Ozod had

x^0

oldidagi koeffitsiyent bo'lgani uchun juft yig'indiga kiradi

Misol: $P(x)=(2x^2-x-2)^3$ . $P(1)=(-1)^3=-1$ , $P(-1)=1^3=1$ . Demak $S_{\text{juft}}=0$ , $S_{\text{toq}}=-1$ . Ozod had $P(0)=-8$ . Ozod hadsiz koeffitsiyentlar yig'indisi $P(1)-P(0)=-1+8=7$ . Savolda «ozod hadsiz» deyilsa, $P(0)$ ni ayirishni unutmang.

Ifodaga qo'shimcha had qo'shilgan bo'lsa ham usul o'zgarmaydi: $f(x)=(x^2+x-1)^2+3x$ da $f(1)=4$ , $f(-1)=1-3=-2$ , shuning uchun $S_{\text{toq}}=\dfrac{4+2}{2}=3$ .

Ikki o'zgaruvchili ko'phadda ikkala o'zgaruvchiga ham $1$ qo'yiladi: $(x+2y)^4$ ning koeffitsiyentlari yig'indisi $3^4=81$ , $(2x-y)^6$ niki esa $1^6=1$ .

Bo'lish va Bezu teoremasi

Ko'phadni ko'phadga qoldiqli bo'lish: $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ , bunda qoldiq $R$ ning darajasi bo'luvchi $D$ ning darajasidan kichik. Chiziqli ko'phadga bo'lganda qoldiq son, kvadrat ko'phadga bo'lganda $mx+n$ ko'rinishida bo'ladi.

Bezu teoremasi: $P(x)$ ni $x-a$ ga bo'lgandagi qoldiq $P(a)$ ga teng. Xususan, $P(x)$ ko'phad $x-a$ ga qoldiqsiz bo'linishi uchun $P(a)=0$ bo'lishi zarur va yetarli.

Isboti: $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ tengligiga $x=a$ qo'yamiz, birinchi qo'shiluvchi nolga aylanadi va $P(a)=r$ qoladi.

Bo'luvchi	Qoldiq	Misol: $P(x)=x^3-2x+3$
Bo'luvchi $x-a$	Qoldiq $P(a)$	Misol: $P(x)=x^3-2x+3$ $x-2$ : $P(2)=7$
Bo'luvchi $x+a$	Qoldiq $P(-a)$	Misol: $P(x)=x^3-2x+3$ $x+1$ : $P(-1)=4$
Bo'luvchi $ax+b$ , $a\ne 0$	Qoldiq $P\left(-\dfrac{b}{a}\right)$	Misol: $P(x)=x^3-2x+3$ $2x-1$ : $P\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{17}{8}$

Daraja katta bo'lsa, $x=a$ qo'yganda ko'pincha hadlar qisqaradi: $x^{105}+3x^{104}+4x+9$ ni $x+3$ ga bo'lamiz. $x^{105}+3x^{104}=x^{104}(x+3)$ , bu $x=-3$ da nol. Qoldiq $4\cdot(-3)+9=-3$ .

Horner sxemasi: tez bo'lish

$x-a$ ga bo'lishni jadvalda bajaramiz. Chap ustunga koeffitsiyentlarni yozamiz (yo'q daraja uchun $0$ ). O'ng ustunning birinchi soni bosh koeffitsiyent. Keyingi har bir son: oldingi natijani $a$ ga ko'paytirib, shu qatordagi koeffitsiyentni qo'shamiz. Oxirgi son qoldiq, oldingilari bo'linma koeffitsiyentlari.

$x^3-4x^2+x+6$ ni $x-3$ ga bo'lamiz:

Koeffitsiyent	Natija, $a=3$
$x^3$ : $1$	$1$
$x^2$ : $-4$	$1\cdot 3-4=-1$
$x$ : $1$	$-1\cdot 3+1=-2$
Ozod: $6$	$-2\cdot 3+6=0$

Qoldiq $0$ , bo'linma $x^2-x-2$ . Demak:

x^3-4x^2+x+6

=(x-3)(x^2-x-2)

=(x-3)(x-2)(x+1)

Siljigan argument

$P(x+2)$ ni $x-2$ ga bo'lganda Bezu bo'yicha $x=2$ qo'yiladi va qoldiq $P(4)$ chiqadi. $Q(x-1)$ ni $x-2$ ga bo'lganda qoldiq $Q(1)$ . Avval bo'luvchining nolini topamiz, keyin ifodaga qo'yamiz. Ifoda bir nechta ko'phaddan tuzilgan bo'lsa ham shunday: $(3x-1)P(x)+x^2Q(x+2)$ ni $x-3$ ga bo'lgandagi qoldiq $8P(3)+9Q(5)$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish