Burchaklar, masofalar va parallel to'g'ri chiziqlar: matematika darsi

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda to'rtta burchak hosil bo'ladi, lekin bittasini bilish yetarli: $65^\circ$ bo'lsa, qolganlari $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ . Parallel to'g'ri chiziqlarda ham shunday: sakkizta burchakda atigi ikki xil qiymat bor. Keyingi barcha geometriya shu sodda qoidalarga tayanadi.

Burchak turlari

Burchak	Kattaligi	Misol
Burchako'tkir	Kattaligi $0^\circ<\alpha<90^\circ$	Misol $35^\circ$
Burchakto'g'ri	Kattaligi $\alpha=90^\circ$	Misolkvadrat burchagi
Burchako'tmas	Kattaligi $90^\circ<\alpha<180^\circ$	Misol $130^\circ$
Burchakyoyiq	Kattaligi $\alpha=180^\circ$	Misolto'g'ri chiziqning bir nuqtasida

Burchakni nomlaganda uning uchi o'rtada yoziladi: $\angle ABC$ ning uchi $B$ nuqta, tomonlari $BA$ va $BC$ nurlar.

Masofalar

Istalgan uch nuqta uchun quyidagi tengsizlik o'rinli. Chegaraviy qiymatlar faqat nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotganda bajariladi.

|AB-BC|\le AC\le AB+BC

$AB=500$ va $BC=150$ bo'lsa, $AC$ aniq topilmaydi, faqat $350\le AC\le 650$ deyish mumkin. Nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotgani aytilsa ham ikki javob bor: $C$ nuqta $A$ va $B$ orasida bo'lsa $AC=350$ , $B$ nuqta $A$ va $C$ orasida bo'lsa $AC=650$ . Shart nuqtalarning joylashuvini aytmasa, javob "aniqlab bo'lmaydi" bo'ladi.

Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofa bu nuqtadan shu chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi. U shu nuqtadan chiziqqa o'tkazilgan har qanday og'madan qisqa.

PH

perpendikulyar,

PM

og'ma:

PH<PM

P

dan

AB

gacha masofa

PH

ga teng

Parallel to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa birining istalgan nuqtasidan ikkinchisiga tushirilgan perpendikulyar uzunligi. U nuqtani qayerdan olishga bog'liq emas.

Kesmaning o'rta perpendikulyaridagi har bir nuqta kesma uchlaridan teng uzoqlikda yotadi, va aksincha, kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi har bir nuqta shu perpendikulyarda yotadi.

PM

o'rta perpendikulyar:

{AM=MB}

{PA=PB}

Burchak bissektrisasidagi har bir nuqta burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotadi, va aksincha, burchak ichida tomonlaridan teng uzoqlikdagi nuqta bissektrisada yotadi.

OK

bissektrisa:

KM=KN

, bu masofalar perpendikulyar bo'yicha o'lchanadi

Qo'shni va vertikal burchaklar

Bir tomoni umumiy, qolgan ikki tomoni bitta to'g'ri chiziqni tashkil etgan burchaklar qo'shni burchaklar deyiladi. Ikkisi birgalikda yoyiq burchak hosil qiladi. Biri ikkinchisi tomonlarining davomidan iborat burchaklar vertikal burchaklar deyiladi.

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda: yonma-yon turganlari qo'shni, qarama-qarshi turganlari vertikal

\alpha+\beta=180^\circ

Qo'shni burchaklar yig'indisi

Vertikal burchaklar teng. Sababi: ikkalasi ham bitta burchakka qo'shni, ya'ni ikkalasi ham $180^\circ-\beta$ .

Kesishgan ikki to'g'ri chiziqda to'rt burchak: $\alpha$ , $\beta$ , $\alpha$ , $\beta$ . Ularning yig'indisi $360^\circ$ . Masalada qaysi burchaklar haqida gap ketayotganini shu dalillar aniqlaydi:

Shart	Xulosa	Misol
Shartikki burchak yig'indisi $180^\circ$ dan farqli	Xulosaular vertikal, ya'ni teng	Misolyig'indi $130^\circ$ : har biri $65^\circ$ , qo'shnisi $115^\circ$
Shartikki burchak ayirmasi noldan farqli yoki nisbati $1$ dan farqli	Xulosaular qo'shni	Misolayirma $40^\circ$ : $70^\circ$ va $110^\circ$
Shartuch burchak yig'indisi $S$	Xulosato'rtinchisi $360^\circ-S$	Misol $S=250^\circ$ : to'rtinchisi $110^\circ$ , qo'shnisi $70^\circ$

"Katta burchak kichigidan necha foiz ortiq" degani $\dfrac{\beta-\alpha}{\alpha}\cdot 100\%$ . Foizda asos kichik burchak bo'ladi, chunki u bilan solishtirilmoqda.

\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha

\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

Qo'shni burchaklarning sinuslari teng, kosinuslari ishorasi bilan farq qiladi

Masalan, o'tkir burchak uchun:

\sin\alpha=\frac{3}{5}

\cos\alpha=\frac{4}{5}

\cos(180^\circ-\alpha)=-\frac{4}{5}

O'tmas burchakning kosinusi doim manfiy

Bissektrisalar

Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo'ladi. Qo'shni burchaklar bissektrisalari o'zaro perpendikulyar. Vertikal burchaklar bissektrisalari bitta to'g'ri chiziqda yotadi.

\angle MON=\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}=\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ

Soat millari

Minut mili $60$ minutda $360^\circ$ aylanadi, soat mili $60$ minutda $30^\circ$ . Shuning uchun:

6^\circ\ \text{— minut mili bir minutda}

0{,}5^\circ\ \text{— soat mili bir minutda}

Minut mili soat milidan har minutda

5{,}5^\circ

ga ko'proq buriladi

\varphi=|30^\circ\cdot h-5{,}5^\circ\cdot m|

Soat

h

dan

m

minut o'tganda millar orasidagi burchak,

h

soat

0

dan

11

gacha. Natija

180^\circ

dan katta bo'lsa,

360^\circ

dan ayiramiz

Soat $3:40$ da $|90-220|=130^\circ$ . Soat $10:10$ da $|300-55|=245^\circ$ , demak kichik burchak $360^\circ-245^\circ=115^\circ$ . Millar ustma-ust tushishi uchun minut mili farqni yopishi kerak: soat $h$ da $t=\dfrac{30h}{5{,}5}=\dfrac{60h}{11}$ minut kerak.

Parallel to'g'ri chiziqlar va kesuvchi

Bir tekislikda yotib, kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar parallel deyiladi. Ikkita parallel chiziqni uchinchisi kesganda sakkizta burchak hosil bo'ladi.

AB\parallel CD

. Barcha sakkiz burchak

60^\circ

yoki

120^\circ

Juftlik	Joylashuvi	Xossasi	Chizmada
Juftlikichki almashinuvchi	Joylashuvichiziqlar orasida, kesuvchining ikki tomonida	Xossasiteng	Chizmada $\angle APQ=\angle PQD$
Juftlikmos	Joylashuvibir xil vaziyatda, kesuvchining bir tomonida	Xossasiteng	Chizmada $\angle EPB=\angle PQD$
Juftlikichki bir tomonli	Joylashuvichiziqlar orasida, kesuvchining bir tomonida	Xossasiyig'indisi $180^\circ$	Chizmada $\angle BPQ+\angle PQD=180^\circ$

Teskari teorema ham o'rinli: ichki almashinuvchi burchaklar teng bo'lsa yoki mos burchaklar teng bo'lsa yoki ichki bir tomonli burchaklar yig'indisi $180^\circ$ bo'lsa, chiziqlar parallel. Bitta to'g'ri chiziqqa perpendikulyar ikki chiziq o'zaro parallel.

To'rtta ichki burchak (ular ikki juft almashinuvchi burchak) ikkita $\alpha$ va ikkita $180^\circ-\alpha$ dan iborat, yig'indisi $360^\circ$ . Uchtasining yig'indisi $S$ bo'lsa, to'rtinchisi $360^\circ-S$ .

Tomonlari mos ravishda parallel yoki mos ravishda perpendikulyar bo'lgan ikki burchak yo teng, yo yig'indisi $180^\circ$ . Ikkalasi o'tkir bo'lsa, ular teng.

Sinuq chiziq usuli

Parallel chiziqlar orasida sinuq chiziq bo'lsa, burchak uchlarining har biridan berilgan chiziqlarga parallel yordamchi chiziq o'tkazamiz. Burchak ikki bo'lakka bo'linadi va har bir bo'lak parallel chiziqlar qoidasi bilan topiladi.

AB\parallel ED

CP\parallel AB

\angle BCP=180^\circ-125^\circ=55^\circ

\angle PCD=180^\circ-115^\circ=65^\circ

Ichki bir tomonli burchaklar. Demak,

{\angle BCD=120^\circ}

Bu holatda $BA$ va $DE$ nurlar bir tomonga qaragan, $C$ nuqta esa ularning teskari tomonida. Shunda $B$ , $C$ , $D$ uchlaridagi uchta burchak yig'indisi $360^\circ$ .

Agar $C$ nuqta shu nurlar tomonida, ular orasida yotsa, burchaklar ichki almashinuvchi bo'lib tushadi:

\angle BCD=\angle ABC+\angle CDE

Formulani yodlash shart emas: yordamchi chiziq har doim ishlaydi.

Bir nechta sinish bo'lsa, usul har bir uch uchun takrorlanadi. Bir uchda topilgan burchak keyingisiga almashinuvchi burchak orqali o'tadi. Bo'laklarni qo'shish yoki ayirish chizmaga qarab tanlanadi.

AB\parallel EF

CQ

DP

yordamchi parallel chiziqlar

Ishlangan misollar

1-misol

O'ziga qo'shni burchakning $20\%$ iga teng bo'lgan burchakni toping.

$x=0{,}2\,(180^\circ-x)$
Qo'shni burchak $180^\circ-x$ , uning $20\%$ i berilgan burchakka teng.
$1{,}2x=36^\circ$
Qavsni ochib, $x$ qatnashgan hadlarni bir tomonga yig'amiz.
$x=30^\circ$
Tekshiruv: qo'shnisi $150^\circ$ , uning $20\%$ i $30^\circ$ .

Javob: $30^\circ$

2-misol

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'lgan uch burchakning yig'indisi $252^\circ$ . Katta burchak kichigidan necha foiz ortiq?

$360^\circ-252^\circ=108^\circ$
To'rt burchak yig'indisi $360^\circ$ , tashqarida qolgan burchak shu.
$180^\circ-108^\circ=72^\circ$
Unga qo'shni burchak ikkinchi qiymatni beradi.
$\frac{108-72}{72}\cdot 100=50$
Foiz kichik burchakka nisbatan olinadi, chunki u bilan solishtirilmoqda.

Javob: $50\%$

3-misol

Soat $04:00$ ni ko'rsatmoqda. Necha minutdan so'ng millar ustma-ust tushadi?

$30\cdot 4=120$
Boshida millar orasi $120^\circ$ .
$6-0{,}5=5{,}5$
Minut mili har minutda $5{,}5^\circ$ ga yaqinlashadi.
$t=\frac{120}{5{,}5}=\frac{240}{11}=21\frac{9}{11}$
Yopish vaqti: masofa bo'lingan tezlik farqi.

Javob: $21\dfrac{9}{11}$ minut

4-misol

Ikki parallel chiziqni uchinchi chiziq kesganda hosil bo'lgan to'rt ichki burchakdan uchtasining yig'indisi $260^\circ$ . To'rtinchisini toping.

$360^\circ-260^\circ=100^\circ$
To'rt ichki burchak ikkita $\alpha$ va ikkita $180^\circ-\alpha$ dan iborat, yig'indisi $360^\circ$ .

Javob: $100^\circ$

5-misol

$FD\parallel CE$ , $A$ nuqta $FD$ to'g'ri chiziqda yotadi, $B$ nuqta chiziqlar orasida. $\angle BAD=2x-30^\circ$ , $\angle ABC=x+10^\circ$ , $\angle BCE=2x+10^\circ$ . $\angle FAB$ ni toping.

$\angle ABP=180^\circ-\angle BAD$
$B$ dan $BP\parallel FD$ o'tkazamiz. $\angle BAD$ va $\angle ABP$ ichki bir tomonli.
$\angle ABP=210^\circ-2x$
$\angle BAD=2x-30^\circ$ ni qo'yamiz.
$\angle CBP=180^\circ-\angle BCE$
$BP\parallel CE$ bo'lgani uchun shu qoida pastki chiziqda ham ishlaydi.
$\angle CBP=170^\circ-2x$
$\angle BCE=2x+10^\circ$ ni qo'yamiz.
$380^\circ-4x=x+10^\circ$
Chizmada $\angle ABC$ shu ikki bo'lakdan iborat: ikkalasini qo'shamiz.
$370^\circ=5x,\quad x=74^\circ$
Chiziqli tenglama.
$\angle BAD=2\cdot 74^\circ-30^\circ=118^\circ$
Topilgan $x$ ni o'rniga qo'yamiz.
$\angle FAB=180^\circ-118^\circ=62^\circ$
$\angle FAB$ va $\angle BAD$ qo'shni.

Javob: $62^\circ$

5-misol chizmasi.

\angle ABP=62^\circ

\angle CBP=22^\circ

, jami

84^\circ

6-misol

$AB\parallel EF$ . $\angle BCD=70^\circ$ , $\angle CDE=80^\circ$ , $\angle DEF=140^\circ$ . Yuqoridagi sinuq chiziq chizmasiga ko'ra $\angle ABC$ ni toping.

$\angle EDP=180^\circ-140^\circ=40^\circ$
$DP\parallel EF$ . $\angle DEF$ va $\angle EDP$ ichki bir tomonli.
$\angle CDP=80^\circ-40^\circ=40^\circ$
$\angle CDE$ ikki bo'lakka bo'lingan.
$\angle DCQ=\angle CDP=40^\circ$
$CQ\parallel DP$ , bular ichki almashinuvchi burchaklar.
$\angle BCQ=70^\circ-40^\circ=30^\circ$
$\angle BCD$ ning qolgan bo'lagi.
$\angle ABC=180^\circ-30^\circ=150^\circ$
$AB\parallel CQ$ , ichki bir tomonli burchaklar.

Javob: $150^\circ$

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
$AB=600$ , $BC=200$ bo'lsa, $AC=800$	Joylashuv aytilmagan: $400\le AC\le 800$ , javob aniqlanmaydi
Ikki burchak yig'indisi $130^\circ$ , qo'shnisi $130^\circ$ dan topiladi	Yig'indi $180^\circ$ emas, demak ular vertikal: har biri $65^\circ$ , qo'shnisi $115^\circ$
Ichki bir tomonli burchaklar teng	Ularning yig'indisi $180^\circ$ ; almashinuvchi va mos burchaklar teng
Soat mili turadi deb hisoblash: $3:40$ da $150^\circ$	Soat mili ham yuradi: $3:40$ da $130^\circ$
Qo'shni burchak kosinusi ham $\cos\alpha$	U $-\cos\alpha$ ga teng, sinus esa o'zgarmaydi

Eslab qoling

Qo'shni burchaklar yig'indisi $180^\circ$ , vertikal burchaklar teng, kesishgan chiziqlarda to'rt burchak yig'indisi $360^\circ$ .
Qo'shni burchaklar bissektrisalari perpendikulyar.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ , $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$ .
Parallel chiziqlarda: almashinuvchi va mos burchaklar teng, ichki bir tomonlilar yig'indisi $180^\circ$ .
Sinuq chiziqda har bir uchdan parallel yordamchi chiziq o'tkaziladi.
Soat: $\varphi=|30h-5{,}5m|$ , ustma-ust tushish $t=\dfrac{60h}{11}$ minutda.
O'rta perpendikulyar nuqtasi kesma uchlaridan, bissektrisa nuqtasi burchak tomonlaridan teng uzoqlikda.