O'xshash uchburchaklar: matematika darsi

Bir uchburchakning tomonlari ikkinchisinikidan $3$ marta katta bo'lsa, perimetri ham $3$ marta katta, lekin yuzi $9$ marta katta. O'xshashlikning butun kuchi shu: uzunliklar koeffitsiyent bilan, yuzlar uning kvadrati bilan o'zgaradi. Parallel chiziq chiqqan joyda deyarli har doim o'xshash uchburchak bor.

Ta'rif va koeffitsiyent

Burchaklari mos ravishda teng va mos tomonlari proporsional uchburchaklar o'xshash deyiladi: $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ . Yozuvda uchlar tartibi muhim: $A$ uchi $D$ ga, $B$ uchi $E$ ga, $C$ uchi $F$ ga mos.

\angle A=\angle D

\angle B=\angle E

\dfrac{DE}{AB}=2

. Barcha mos tomonlar nisbati

k=2

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k

O'xshashlik koeffitsiyenti

k>0

Quyidagi jadvalda misol uchun $k=\dfrac{2}{5}$ olingan.

Kattalik	Nisbati	Misol
Kattaliktomonlar	Nisbati $k$	Misol $\dfrac{2}{5}$
Kattalikperimetrlar	Nisbati $k$	Misol $\dfrac{2}{5}$
Kattalikbalandliklar, medianalar, bissektrisalar	Nisbati $k$	Misol $\dfrac{2}{5}$
Kattalik $r$ va $R$ radiuslar	Nisbati $k$	Misol $\dfrac{2}{5}$
Kattalikyuzlar	Nisbati $k^2$	Misol $\dfrac{4}{25}$

\frac{S_1}{S_2}=k^2

k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}

Yuzlar berilsa, avval ildiz olib

k

topiladi

Yuzlar $9$ va $25$ bo'lsa, $k=\dfrac{3}{5}$ va perimetrlar $3t$ , $5t$ . Yuzlar $8$ va $18$ bo'lsa, $k=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$ . Perimetr bir uchburchakda, yuz boshqasida berilsa ham, $k$ ikkalasini bog'laydi.

O'xshashlik alomatlari

Alomat	Sharti
1-alomat (ikki burchak)	ikki burchagi mos ravishda teng. Uchinchi burchak avtomatik teng
2-alomat (ikki tomon va burchak)	ikki tomoni proporsional va ular orasidagi burchaklar teng
3-alomat (uch tomon)	uchala tomoni proporsional
to'g'ri burchakli uchburchaklar	bitta o'tkir burchagi teng; yoki ikki kateti proporsional; yoki gipotenuza va katet proporsional

Ikki tomon proporsional bo'lsa-yu, teng burchak ular orasida bo'lmasa, 2-alomat qo'llanmaydi.

Tomonga parallel to'g'ri chiziq

Uchburchak tomoniga parallel to'g'ri chiziq berilgan uchburchakka o'xshash uchburchak ajratadi. Burchaklar: bittasi umumiy, qolganlari mos burchaklar.

DE\parallel AC

BD=4

DA=6

AC=15

k=\dfrac{4}{10}

DE=6

\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}=k

k

butun tomonga nisbat bilan olinadi, bo'lakka emas

\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}

Fales teoremasi: parallel chiziq ikki tomonni bir xil nisbatda bo'ladi. Teskarisi ham to'g'ri

Bu nisbat hisobga qanday kirishiga e'tibor bering. ${BM:MA=1:3}$ bo'lsa:

k=\frac{1}{4}

S_1=\frac{1}{16}S

S-S_1=\frac{15}{16}S

S

butun yuz,

S_1

kichik uchburchak yuzi, qolgani to'rtburchak yuzi

Nisbat asos tomondan aytilishi ham mumkin: yon tomon asos uchidan boshlab $2:5$ bo'linsa, uch tomondan boshlab $5:2$ , ya'ni $k=\dfrac{5}{7}$ .

Asosga parallel chiziq uchburchakni $S_1$ va $S-S_1$ qismlarga bo'ladi. Uchburchak yuzini teng ikkiga bo'lish uchun $k^2=\dfrac{1}{2}$ , ya'ni $k=\dfrac{\sqrt2}{2}$ kerak.

Yon tomon bir nechta nisbatga bo'linsa, uchdan boshlab jamlangan koeffitsiyentlar bilan ishlaymiz. $2:1:3$ bo'lsa, $k_1=\dfrac{2}{6}$ , $k_2=\dfrac{3}{6}$ : yuzlar $4:9:36$ , qismlar esa $4:5:27$ .

Har bir tomon $n$ teng bo'lakka bo'linib, bo'linish nuqtalari tomonlarga parallel kesmalar bilan tutashtirilsa, bitta tomonga parallel kesmalar yig'indisi:

a\cdot\frac{1+2+\ldots+(n-1)}{n}

=\frac{a(n-1)}{2}

\frac{(n-1)P}{2}

Hamma kesmalar yig'indisi.

{n=5}

{P=40}

uchun

80

Og'irlik markazidan o'tuvchi chiziq

Og'irlik markazi medianani uchdan boshlab $2:1$ bo'ladi, shuning uchun u orqali asosga parallel o'tkazilgan chiziq uchun $k=\dfrac{2}{3}$ va kichik uchburchak yuzi $\dfrac{4}{9}S$ , qolgan to'rtburchak yuzi $\dfrac{5}{9}S$ . Yuqori qism uchun esa mediana bo'ylab nisbat olinadi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish