Uchburchak yuzi: matematika darsi

Bitta uchburchak yuzini besh xil yozish mumkin. Tomonlari $13$ , $14$ , $15$ bo'lsa, Geron formulasi $S=84$ ni beradi, undan keyin balandliklar, $r=4$ va $R=\dfrac{65}{8}$ ham darhol chiqadi. Yuzlar nisbati esa uzunliklarni bilmasdan ham masalani yechishga imkon beradi.

Asosiy formulalar

S=\frac{1}{2}a\,h_a

Asos va unga tushirilgan balandlik ko'paytmasining yarmi

Balandlik uchburchak ichida yoki tashqarisida bo'lishidan qat'i nazar formula bir xil

S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma

Ikki tomon va ular orasidagi burchak

Balandlik

h=b\sin\gamma

. Shuning uchun

S=\dfrac{1}{2}a\cdot b\sin\gamma

$\sin\gamma\le 1$ bo'lgani uchun $S\le\dfrac{ab}{2}$ : ikki tomon berilganda eng katta yuz ular orasidagi burchak $90^\circ$ bo'lganda hosil bo'ladi. $\gamma$ va $180^\circ-\gamma$ burchaklarda yuz bir xil.

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

p=\frac{a+b+c}{2}

Geron formulasi: uch tomon ma'lum bo'lganda

Tomonlar $9$ , $10$ , $17$ da $p=18$ , $S=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=36$ . Tomonlar $13$ , $14$ , $15$ da $p=21$ , $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$ . Yuz topilgach, balandlik $h_a=\dfrac{2S}{a}$ dan chiqadi.

S=pr

r=\frac{S}{p}

Yarim perimetr va ichki chizilgan aylana radiusi

S=\frac{abc}{4R}

R=\frac{abc}{4S}

Tomonlar va tashqi chizilgan aylana radiusi

Uchburchak	Yuzi	Eslatma
Uchburchakto'g'ri burchakli	Yuzi $S=\dfrac{ab}{2}=\dfrac{ch}{2}$	Eslatma $a$ , $b$ katetlar
Uchburchakteng tomonli	Yuzi $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$	Eslatma $a$ tomon
Uchburchakteng yonli	Yuzi $S=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{1}{2}b^2\sin\gamma$	Eslatma $h=\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}}$ , $a$ asos, $b$ yon tomon

S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma

S=\frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}

Burchaklar orqali,

R

yoki bitta tomon berilganda

S=\frac{1}{2}\,|u-v|

u=(x_2-x_1)(y_3-y_1)

v=(x_3-x_1)(y_2-y_1)

Uchlar koordinatalari orqali

To'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakda uchlarni kesishish nuqtalari sifatida topamiz. Ko'pincha bir tomoni $Ox$ o'qida yotadi: asos o'qdagi ikki nuqta orasi, balandlik uchinchi nuqtaning ordinatasi.

y=x+3

y=-2x+6

Ox

: uchlar

A(-3;\,0)

B(3;\,0)

C(1;\,4)

S=\dfrac{6\cdot 4}{2}=12

Ichki chizilgan aylana

Ichki chizilgan aylana markazi bissektrisalar kesishgan nuqta, u har bir tomondan $r$ masofada. Aylana istalgan uchburchakka bitta ichki chiziladi.

13,\ 14,\ 15

p=21

r=4

. Urinish kesmalari

p-a=7

p-b=6

p-c=8

$S=pr$ ning isboti: $I$ markazni uchlar bilan tutashtirsak, balandliklari $r$ bo'lgan uchta uchburchak hosil bo'ladi: $S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)r$ .

Bir uchdan aylanaga o'tkazilgan ikki urinma kesma teng. $A$ uchidan urinish nuqtalarigacha masofa $p-a$ , $B$ dan $p-b$ , $C$ dan $p-c$ , bu yerda $a$ , $b$ , $c$ mos uchlar qarshisidagi tomonlar.

Tashqi chizilgan aylana

Tashqi chizilgan aylana markazi o'rta perpendikulyarlar kesishgan nuqta, u uchlardan $R$ masofada. Aylana istalgan uchburchakka bitta tashqi chiziladi.

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish