Balandlik, bissektrisa va mediana xossalari: matematika darsi

Tomonlari $8$ , $10$ , $12$ bo'lgan uchburchakda $C$ burchak bissektrisasi $10$ ga teng tomonni $4$ va $6$ ga bo'ladi va uning uzunligi $6\sqrt2$ . Har bir kesmaning o'z xossasi va uzunlik formulasi bor. Bu darsda uchala kesma, ularning kesishish nuqtalari va bo'linish nisbatlari to'liq beriladi.

Mediana

Uchta mediana bir nuqtada, og'irlik markazida kesishadi. Bu nuqta har bir medianani uchdan boshlab hisoblaganda $2:1$ nisbatda bo'ladi. Uchala mediana uchburchakni yuzlari teng oltita uchburchakka ajratadi.

{AG:GK=2:1}

{BG:GL=2:1}

{CG:GM=2:1}

. Shtrixlangan uchburchak yuzi butun yuzning oltidan biri

Mediana $15$ bo'lsa, u $10$ va $5$ ga bo'linadi. Bitta mediana uchburchakni yuzlari teng ikkiga ajratadi, chunki asoslar teng va balandlik umumiy.

m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}

Mediana uzunligi

\frac{98+162-64}{4}=49

Tomonlar

7

8

9

8

ga tushirilgan mediana kvadrati, mediana

7

ga teng

m_a^2+m_b^2+m_c^2

=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)

Medianalar kvadratlari yig'indisi

S=\frac{4}{3}S_m

S_m

medianalardan tuzilgan uchburchak yuzi

a^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)

Medianalar uzunligidan tomon ham topiladi

GK=\frac{m_a}{3}

Mediana

AK

ning

G

dan keyingi bo'lagi

$a$ va $b$ tomonlarga tushirilgan medianalar perpendikulyar bo'lishi uchun $a^2+b^2=5c^2$ bo'lishi zarur va yetarli.

Sababi: $AGB$ to'g'ri burchakli, uning katetlari:

AG=\frac{2}{3}m_a

BG=\frac{2}{3}m_b

\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2)=c^2

Pifagor teoremasi

m_a^2+m_b^2=\frac{4c^2+a^2+b^2}{4}

Mediana formulasidan. Buni qo'yganda

{a^2+b^2=5c^2}

chiqadi

BC=6

AC=7

{AB^2=\dfrac{36+49}{5}=17}

Bissektrisa

Bissektrisa qarshi tomonni yopishgan tomonlarga proporsional kesmalarga bo'ladi: har bir kesma o'ziga yopishgan tomonga mos keladi.

\frac{x}{y}=\frac{b}{a}

x

kesma

b

tomonga,

y

kesma

a

tomonga yopishgan

Chizmada

{\dfrac{4}{6}=\dfrac{8}{12}}

x=\frac{bc}{a+b}

y=\frac{ac}{a+b}

Kesmalar.

c

bissektrisa tushgan tomon, chizmada

{c=10}

Isbot: bissektrisa nuqtasi burchak tomonlaridan teng uzoqlikda. Shuning uchun ikki uchburchak yuzlari nisbati $b:a$ ga ham, umumiy balandlik tufayli $x:y$ ga ham teng.

l^2=ab-xy

Bissektrisa uzunligi kesmalar orqali. Chizmada

96-24=72

l=6\sqrt2

l=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}

Burchak orqali. U ikki uchburchak yuzlarini qo'shishdan chiqadi

l=\frac{\sqrt{ab\,(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}

Faqat tomonlar orqali

Bissektrisalar bir nuqtada, ichki chizilgan aylana markazi $I$ da kesishadi. $I$ nuqta $CL$ bissektrisani $CI:IL=(a+b):c$ nisbatda bo'ladi.

Tomonlar

7

8

9

{CI:IL=15:9=5:3}

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish