To'g'ri to'rtburchak va kvadrat: matematika darsi

Xonaning eni $8$ metr, bo'yi $15$ metr bo'lsa, yuzi $120$ kvadrat metr, burchakdan burchakka masofa esa $17$ metr. Imtihonda bu sonlar deyarli hech qachon to'g'ridan-to'g'ri berilmaydi: perimetr bilan diagonal, bissektrisa kesib olgan kesmalar yoki diagonalga tushirilgan perpendikulyar beriladi. Bu darsda to'g'ri to'rtburchak va kvadratning barcha xossalari, ularning qaysi teskari tasdiqlari to'g'ri ekani va imtihondagi usullar beriladi.

Ta'riflar

To'g'ri to'rtburchak deb barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan to'rtburchakka aytiladi. Kvadrat deb barcha tomonlari teng bo'lgan to'g'ri to'rtburchakka aytiladi.

To'g'ri to'rtburchak parallelogrammning xususiy holi, kvadrat esa ham to'g'ri to'rtburchak, ham romb. Shuning uchun parallelogrammning barcha xossalari ularda ham o'rinli: qarama-qarshi tomonlar teng va parallel, diagonallar kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi.

To'g'ri to'rtburchak formulalari

OA=OB=OC=OD=5

: diagonal

10

ga teng va

O

nuqtada teng ikkiga bo'linadi

P=2(a+b)

S=ab

d^2=a^2+b^2

a

b

— qo'shni tomonlar,

d

— diagonal. Diagonal katetlari

a

b

bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi

To'g'ri to'rtburchakda diagonallar teng va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi. $O$ nuqta to'rtala uchdan $\dfrac{d}{2}$ masofada: bu tashqi chizilgan aylananing markazi va $R=\dfrac{d}{2}$ .

$O$ nuqtadan tomonlargacha masofalar tomonlarning yarmiga teng: $\dfrac{a}{2}$ va $\dfrac{b}{2}$ .

Ularning ayirmasi $\dfrac{|a-b|}{2}$ . Masalan, perimetr $40$ ga, shu masofalar ayirmasi $3$ ga teng bo'lsa, $a+b=20$ va $b-a=6$ , demak $a=7$ , $b=13$ .

Diagonallar to'g'ri to'rtburchakni to'rtta teng yonli uchburchakka ajratadi. Ularning yuzlari teng, har biri $\dfrac{S}{4}$ .

Tomonlarni topmasdan ishlash

Ko'p masalada yig'indi $a+b$ yoki kvadratlar yig'indisi beriladi. Tomonlarni alohida topish shart emas, chunki yig'indi kvadrati formulasi ularni bog'laydi:

(a+b)^2=d^2+2S

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

, bu yerda

a^2+b^2=d^2

ab=S

S=\frac{d^2\sin\varphi}{2}

\sin\varphi=\frac{2ab}{d^2}

\varphi

— diagonallar orasidagi burchak. Bu har qanday qavariq to'rtburchak uchun

S=\dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi

formulasining xususiy holi. Qo'shni burchaklarning sinuslari teng, shuning uchun o'tkir yoki o'tmas burchak olinishi farq qilmaydi

Kvadrat formulalari

Kvadrat diagonallari teng, perpendikulyar, teng ikkiga bo'linadi va burchaklarni

45^\circ

dan ikkiga bo'ladi

P=4a

S=a^2=\frac{d^2}{2}

d=a\sqrt{2}

S=\dfrac{d^2}{2}

diagonallari perpendikulyar to'rtburchak yuzi formulasidan ham chiqadi

R=\frac{a\sqrt{2}}{2}

r=\frac{a}{2}

Tashqi chizilgan aylana radiusi diagonalning yarmi, ichki chizilgan aylana radiusi tomonning yarmi

Teskari tasdiqlar: qaysi biri to'g'ri

Xossa to'g'ri bo'lgani bilan uning teskarisi har doim ham to'g'ri bo'lavermaydi. Ayniqsa "parallelogramm" so'zi tushib qolsa, tasdiq xato bo'lib qoladi.

Tasdiq	To'g'rimi	Izoh
TasdiqUchta burchagi to'g'ri to'rtburchak to'g'ri to'rtburchakdir	To'g'rimiha	Izohburchaklar yig'indisi $360^\circ$ , to'rtinchisi ham $90^\circ$
TasdiqBitta burchagi to'g'ri parallelogramm to'g'ri to'rtburchakdir	To'g'rimiha	Izohqolgan burchaklar qo'shni va qarama-qarshi burchak xossasidan $90^\circ$
TasdiqDiagonallari teng parallelogramm to'g'ri to'rtburchakdir	To'g'rimiha	Izoh $ABD$ va $DCA$ uchburchaklar teng, qo'shni burchaklar teng va yig'indisi $180^\circ$
TasdiqDiagonallari teng to'rtburchak to'g'ri to'rtburchakdir	To'g'rimiyo'q	Izohteng yonli trapetsiyaning ham diagonallari teng
TasdiqDiagonallari teng va kesishganda teng ikkiga bo'linadigan to'rtburchak to'g'ri to'rtburchakdir	To'g'rimiha	Izohteng ikkiga bo'linishi parallelogramm ekanini beradi
TasdiqDiagonallari perpendikulyar to'g'ri to'rtburchak kvadratdir	To'g'rimiha	Izohu ham romb, ham to'g'ri to'rtburchak
TasdiqBitta burchagi to'g'ri romb kvadratdir	To'g'rimiha	Izohu to'g'ri to'rtburchak bo'ladi, tomonlari esa teng
TasdiqDiagonallari teng va perpendikulyar to'rtburchak kvadratdir	To'g'rimiyo'q	Izohdiagonallar teng ikkiga bo'linishi ham shart

Burchak bissektrisasi

A

burchak bissektrisasi teng yonli to'g'ri burchakli

ABE

uchburchakni ajratadi:

AB=BE

To'g'ri to'rtburchakda burchak bissektrisasi tomon bilan $45^\circ$ burchak hosil qiladi, shuning uchun u teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak kesib oladi. Bissektrisa $A$ uchidan chiqib $BC$ tomonni $E$ nuqtada kessa, $AB=BE$ bo'ladi. Bu $AB\le BC$ bo'lganda sodir bo'ladi; $AB>BC$ bo'lsa, bissektrisa $CD$ tomonni kesadi. Faqat "tomon $7$ va $4$ ga bo'lindi" deyilib, tartib aytilmasa, $AB=7$ yoki $AB=4$ bo'lishi mumkin va ikki javob chiqadi.

Ikki parallel to'g'ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan bir tomonli burchaklar yig'indisi $180^\circ$ , shuning uchun ularning bissektrisalari perpendikulyar kesishadi. Bissektrisadagi har bir nuqta burchak tomonlaridan teng uzoqlikda bo'ladi. Bu ikki fakt 3-misolda birga ishlaydi.

Diagonalga tushirilgan perpendikulyar

Diagonal gipotenuza,

DH

esa

ADC

uchburchakning balandligi

h=\frac{ab}{d}

h^2=AH\cdot HC

AD^2=AH\cdot AC

DC^2=HC\cdot AC

To'g'ri burchakli uchburchakda balandlik va proyeksiyalar. Birinchi formula yuzni ikki xil yozishdan chiqadi:

ab=dh

$E$ nuqta $CD$ tomonda va $\angle AEB=90^\circ$ bo'lsa ham shu formulalar ishlaydi: $AEB$ to'g'ri burchakli uchburchak, $AB$ gipotenuza, $BC$ esa balandlik, ya'ni $BC=\dfrac{AE\cdot EB}{AB}$ . Qarama-qarshi uchdan ham perpendikulyar tushirsak, simmetriya tufayli $AK=HC$ bo'ladi ( $BK\perp AC$ ). Unda perpendikulyar asosini boshqa uch bilan tutashtiruvchi kesma Pifagordan topiladi: $BH^2=BK^2+KH^2$ , bu yerda $BK=DH$ va $KH=|AH-HC|$ .

Perpendikulyar va ikkinchi diagonal orasidagi burchak uchun teng yonli uchburchakdan foydalaniladi: diagonallar kesishish nuqtasi $O$ bo'lsa, $OA=OB$ , demak $\angle ABO=\angle BAO$ . 4-misolga qarang.

Tomonlar o'rtalarini tutashtirish

To'g'ri to'rtburchak tomonlari o'rtalari romb hosil qiladi, uning tomoni diagonalning yarmi

P_{\text{romb}}=2d

S_{\text{romb}}=\frac{ab}{2}

MN=\dfrac{AC}{2}

, chunki

MN

—

ABC

uchburchakning o'rta chizig'i. Rombning diagonallari

a

b

Kvadratda tomonlar o'rtalari kichikroq kvadrat hosil qiladi, uning yuzi berilgan kvadrat yuzining yarmiga teng. Tomonlari nisbati berilsa, masalan $4:3$ , $a=4k$ , $b=3k$ deb olamiz: $d=5k$ . Ichki rombning perimetri $2d$ ga teng bo'lgani uchun $k$ darhol topiladi.

Kvadrat ichidagi o'xshash uchburchaklar

k=\dfrac{BE}{DA}=\dfrac{1}{2}

BE\parallel AD

, shuning uchun

BOE

DOA

uchburchaklar o'xshash

Parallel tomonlar va ikkita kesuvchi har doim o'xshash uchburchaklar beradi. O'xshashlik koeffitsiyenti $k$ bo'lsa, mos kesmalar nisbati $k$ ga, yuzlar nisbati $k^2$ ga teng.

Kesma tomon davomigacha cho'zilsa ham shu usul ishlaydi. Bu yerda

EC=CF=2

EBA

ECF

o'xshash,

k=3

, yuzlari

18

2

. To'g'ri to'rtburchak yuzi

6\cdot 8=48

Kvadratda ikki perpendikulyar kesma bo'lsa, o'xshashlik yana yordam beradi. $E$ nuqta $BC$ da, $K$ nuqta $CD$ da va $AE\perp EK$ bo'lsa, $\angle BAE=\angle CEK$ , demak $ABE$ va $ECK$ o'xshash. To'g'ri burchak berilmagan bo'lsa, uni Pifagor teoremasiga teskari tasdiqdan aniqlaymiz: $AE^2+EK^2=AK^2$ bo'lsa, $\angle AEK=90^\circ$ . Bu teskari tasdiq to'g'ri.

Masalan, $AE=20$ , $EK=5$ , $AK=5\sqrt{17}$ . $400+25=425$ bo'lgani uchun burchak to'g'ri, $k=\dfrac{AE}{EK}=4$ , demak $AB=4EC$ . Tomon $s$ bo'lsa, $EC=\dfrac{s}{4}$ va $BE=\dfrac{3s}{4}$ . $ABE$ uchburchakda Pifagor teoremasi:

s^2+\frac{9s^2}{16}=400

Bundan

s=16

, yuz

256

Diagonalga parallel to'g'ri chiziq $AB$ va $BC$ ni $E$ , $F$ nuqtalarda kessa, $EBF$ va $ABC$ o'xshash: $EB=ak$ , $BF=bk$ , $EF=dk$ . Tomonlari $9$ , $12$ va $d=15$ bo'lsin, $AEFCD$ va $EBF$ perimetrlari nisbati $4:1$ bo'lsin. $AEFCD$ ning tomonlari $9-9k$ , $15k$ , $12-12k$ , $9$ , $12$ , ularning yig'indisi $42-6k$ . $EBF$ ning perimetri $36k$ . Demak:

42-6k=4\cdot 36k

Ya'ni

42-6k=144k

k=0{,}28

EF=4{,}2

Ichki nuqta va to'rt masofa

Qarama-qarshi uchlargacha masofalar kvadratlari yig'indisi teng

PA^2+PC^2=PB^2+PD^2

To'g'ri to'rtburchakda

P

istalgan nuqta bo'lganda o'rinli. Isbot:

P

dan tomonlargacha masofalarni yozib, Pifagor teoremasini to'rt marta qo'llaymiz

Kvadratda qo'shimcha fakt bor: $AC$ diagonal $BD$ ning o'rta perpendikulyari. Shuning uchun $PB=PD$ bo'lsa, $P$ nuqta $AC$ da yotadi, teskarisi ham to'g'ri. To'g'ri to'rtburchakda ( $a\ne b$ ) bu xulosa o'rinli emas.

Uchburchak va aylanalar bilan birga

Asosi uchburchak asosida yotgan ichki kvadrat

s=\frac{ah}{a+h}

a

— asos,

h

— balandlik. Kichik

ALK

uchburchak katta uchburchakka o'xshash, shuning uchun

\dfrac{s}{a}=\dfrac{h-s}{h}

s=\frac{15\cdot 10}{25}=6

Rasmdagi uchburchak uchun

Muntazam uchburchakdan qirqib olinadigan eng katta kvadrat masalasida ham shu formula ishlatiladi: kvadratning bir tomoni uchburchak tomonida yotadi. Bunda $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ qo'yiladi, javobda maxrajni ildizdan qutqarish kerak bo'ladi.

Diagonal to'g'ri to'rtburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Har biriga aylana ichki chizilsa, uning radiusi $r=\dfrac{a+b-d}{2}$ , uchdan urinish nuqtasigacha masofa esa yarim perimetrdan qarshi tomonni ayirganiga teng. $A$ uchidan diagonaldagi urinish nuqtalarigacha masofalar $\dfrac{d+a-b}{2}$ va $\dfrac{d+b-a}{2}$ , demak ikki urinish nuqtasi orasidagi masofa $|a-b|$ ga teng. Tomonlari $9$ va $40$ bo'lsa, bu masofa $31$ .

Nuqtadan aylanaga o'tkazilgan ikki urinma teng va ular orasidagi burchakni markazga tutashtiruvchi kesma teng ikkiga bo'ladi

Aylana ikki qo'shni tomonga ursa, markazi ikkala tomondan $r$ masofada bo'ladi. Rasmda $B$ dan ikkita urinma chiqadi: $BA$ va $BE$ . $\angle OBA=\alpha$ bo'lsa, $\tan\alpha=\dfrac{r}{MB}$ va $\angle ABE=2\alpha$ , bu yerda ikkilangan burchak tangensi kerak:

\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

Bunda

\tan\alpha\ne\pm 1

. 5-misolga qarang

Yuzni qismlarga ajratish va foizlar

Kvadrat ichidagi uchburchak yoki to'rtburchak yuzini topish uchun butun kvadrat yuzidan burchakdagi to'g'ri burchakli uchburchaklar ayriladi. Hovlidan ombor va ayvon egallagan joyni hisoblash ham xuddi shu: butun yuzdan qismlar yuzlari ayriladi.

Tomoni

2

bo'lgan ikki kvadrat markaz atrofida

45^\circ

burilgan

Rasmda birlashma kvadratdan va to'rtta uchli uchburchakdan iborat. Har bir uchning balandligi $h=\sqrt{2}-1$ (yarim diagonal minus yarim tomon), uning asosi $2h$ , yuzi esa $h^2=3-2\sqrt{2}$ . Butun figura yuzi $4+4(3-2\sqrt{2})=16-8\sqrt{2}$ .

Tomonlar $k$ marta oshsa, perimetr va diagonal ham $k$ marta, yuz esa $k^2$ marta oshadi. Kvadratning perimetri $20\%$ uzaytirilsa, tomoni ham $1{,}2$ marta oshadi, yuzi $1{,}44$ marta, ya'ni $44\%$ ga ko'payadi. Tomonlar har xil o'zgarsa, koeffitsiyentlar ko'paytiriladi: bo'yi $20\%$ uzaysa, eni $20\%$ qisqarsa, yuz $1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96$ marta bo'lib, $4\%$ ga kamayadi.

Yuz va perimetr sonlari bog'langan masalalarda bitta noma'lum kiritiladi va kvadrat tenglama yechiladi, keyin faqat musbat ildiz olinadi. Masalan, bir tomon ikkinchisidan $6$ ga uzun va yuz soni perimetr sonidan $2$ marta katta bo'lsa, $x(x+6)=4(2x+6)$ , ya'ni $x^2-2x-24=0$ . Musbat ildiz $x=6$ : tomonlar $6$ va $12$ , $S=72$ , $P=36$ .

Ishlangan misollar

1-misol

To'g'ri to'rtburchakning perimetri $46$ ga, diagonali $17$ ga teng. Yuzini va diagonallar orasidagi burchak sinusini toping.

$a+b=\frac{46}{2}=23$
Perimetr ikki qo'shni tomon yig'indisining ikki baravari.
$a^2+b^2=17^2=289$
Diagonal gipotenuza, tomonlar katetlar.
$2S=23^2-289=240$
$(a+b)^2=d^2+2S$ ayniyatidan. Tomonlarni topish shart emas.
$S=\frac{240}{2}=120$
Tekshiruv: $8+15=23$ va $8\cdot 15=120$ .
$\sin\varphi=\frac{2S}{d^2}=\frac{240}{289}$
$S=\dfrac{d^2\sin\varphi}{2}$ dan.

Javob: $S=120$ , $\sin\varphi=\dfrac{240}{289}$

2-misol

$ABCD$ to'g'ri to'rtburchakda $DH\perp AC$ , $AH=16$ , $HC=9$ . Perimetr va yuzni, shuningdek $BH$ ni toping.

$AC=16+9=25$
$H$ diagonalda yotadi.
$AD=\sqrt{16\cdot 25}=20$
Katet kvadrati gipotenuza va o'z proyeksiyasi ko'paytmasi.
$DC=\sqrt{9\cdot 25}=15$
Ikkinchi katet ham shunday, proyeksiyasi $HC$ .
$P=2(20+15)=70$
Qo'shni tomonlar $20$ va $15$ .
$S=20\cdot 15=300$
Tekshiruv: $DH=\sqrt{16\cdot 9}=12$ va $25\cdot 12=300$ .
$BH=\sqrt{12^2+7^2}=\sqrt{193}$
$BK\perp AC$ desak, $BK=DH=12$ , $AK=HC=9$ , $KH=16-9=7$ .

Javob: $P=70$ , $S=300$ , $BH=\sqrt{193}$

3-misolning chizmasi

3-misol

$ABCD$ to'g'ri to'rtburchakda $F$ nuqta $BC$ da, $E$ nuqta $AB$ da. $DE$ va $FE$ mos ravishda $ADF$ va $DFB$ burchaklarning bissektrisalari. $CF=9$ , $DC=40$ bo'lsa, $DEF$ uchburchak yuzini toping.

$DF=\sqrt{40^2+9^2}=41$
$DCF$ to'g'ri burchakli uchburchak.
$\angle ADF+\angle DFB=180^\circ$
$AD\parallel BC$ , bular $DF$ kesuvchidagi bir tomonli burchaklar.
$\angle DEF=90^\circ$
Bu burchaklar yarimlarining yig'indisi $90^\circ$ .
$EA=EH=EB=\frac{40}{2}=20$
$EH\perp DF$ . $E$ ikkala bissektrisada yotadi, demak $DA$ , $DF$ va $FB$ dan teng uzoqlikda.
$S_{DEF}=\frac{41\cdot 20}{2}=410$
Asos $DF$ , balandlik $EH$ .

Javob: $410$

4-misol

To'g'ri to'rtburchakning $B$ uchidan diagonalga tushirilgan perpendikulyar to'g'ri burchakni $2:1$ nisbatda bo'ladi, $\angle ABH$ katta qism. Shu perpendikulyar bilan ikkinchi diagonal orasidagi burchakni toping.

$\angle ABH=60^\circ,\quad \angle HBC=30^\circ$
$90^\circ$ ni $2:1$ nisbatda bo'lamiz.
$\angle BAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ$
$ABH$ to'g'ri burchakli uchburchak.
$\angle ABO=\angle BAO=30^\circ$
$O$ diagonallar kesishish nuqtasi, $OA=OB$ .
$\angle HBO=60^\circ-30^\circ=30^\circ$
$BO$ nur $BH$ va $BA$ orasidan o'tadi.

Javob: $30^\circ$

5-misol

Tomoni $36$ bo'lgan $ABCD$ kvadratning $AB$ va $AD$ tomonlariga radiusi $12$ bo'lgan aylana urinadi. $B$ dan aylanaga o'tkazilgan ikkinchi urinma $CD$ tomonni $E$ nuqtada kesadi. $DE$ ni toping.

$MB=36-12=24$
$M$ — $AB$ dagi urinish nuqtasi, $AM=r$ , chunki markaz $AB$ va $AD$ dan $r$ masofada.
$\tan\alpha=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
$\alpha=\angle OBM$ , $OM\perp AB$ .
$\tan 2\alpha=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$
$BO$ ikki urinma orasidagi burchakni teng ikkiga bo'ladi, shuning uchun $\angle ABE=2\alpha$ .
$CE=36\cdot\frac{3}{4}=27$
$BCE$ uchburchakda $\angle CBE=90^\circ-2\alpha$ , demak $\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{1}{\tan 2\alpha}$ .
$DE=36-27=9$
Urinma haqiqatan $CD$ tomonni kesadi, chunki $27<36$ .

Javob: $9$

6-misolning chizmasi

6-misol

$ABCD$ kvadrat tashqarisida muntazam $AFB$ uchburchak yasalgan. Kvadrat tomoni $4$ ga teng. $FC$ ni toping.

$\angle FBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ$
$F$ nuqta kvadrat tashqarisida, burchaklar qo'shiladi.
$FB=BC=4$
Muntazam uchburchak va kvadrat bitta $AB$ tomonga ega.
$FC^2=16+16-32\cos 150^\circ$
Kosinuslar teoremasi, $FB=BC=4$ va $2\cdot 4\cdot 4=32$ .
$FC^2=32+16\sqrt{3}$
$\cos 150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , demak $-32\cos 150^\circ=16\sqrt{3}$ .
$32+16\sqrt{3}=(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})^2$
Ikkilamchi ildiz: $24+8=32$ , $2\cdot 2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{3}$ .
$FC=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$
Musbat ildiz olinadi.

Javob: $2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$

7-misol

$ABCD$ kvadrat ichida $P$ nuqta olingan: $AP=7$ , $BP=17$ , $CP=23$ . Kvadrat yuzini toping.

$DP^2=49+529-289=289$
$AP^2+CP^2=BP^2+DP^2$ .
$DP=17$
Demak $PB=PD$ .
$AC=7+23=30$
$PB=PD$ bo'lgani uchun $P$ nuqta $AC$ diagonalda yotadi, kesmalar qo'shiladi.
$S=\frac{30^2}{2}=450$
Kvadrat yuzi diagonal kvadratining yarmi.

Javob: $450$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'ri
Perimetr $46$ bo'lsa, $a+b=46$	$a+b=23$ , chunki $P=2(a+b)$
Diagonallari teng to'rtburchak to'g'ri to'rtburchak	Parallelogramm bo'lsagina to'g'ri; teng yonli trapetsiya qarshi misol
Kvadrat tomoni $20\%$ oshsa, yuzi ham $20\%$ oshadi	Yuz $1{,}2^2=1{,}44$ marta, ya'ni $44\%$ ga oshadi
$BE=7$ , $EC=4$ bo'lsa, $AB=EC=4$	$AB=BE=7$ : uchburchakka $B$ ga yopishgan qism kiradi
$d=a\sqrt{2}$ istalgan to'g'ri to'rtburchakda	Faqat kvadratda; umuman $d^2=a^2+b^2$
$S=\dfrac{d^2}{2}$ istalgan to'g'ri to'rtburchakda	Faqat kvadratda; umuman $S=\dfrac{d^2\sin\varphi}{2}$
Burchakdagi aylanada $MB$ ni butun tomon deb olish	$AM=r$ , shuning uchun $MB$ tomon minus $r$

Eslab qoling

To'g'ri to'rtburchak: $P=2(a+b)$ , $S=ab$ , $d^2=a^2+b^2$ , $(a+b)^2=d^2+2S$ , $S=\dfrac{d^2\sin\varphi}{2}$ .
Kvadrat: $d=a\sqrt{2}$ , $S=a^2=\dfrac{d^2}{2}$ , $R=\dfrac{d}{2}$ , $r=\dfrac{a}{2}$ .
Diagonallari teng parallelogramm to'g'ri to'rtburchak; "parallelogramm" so'zisiz tasdiq xato.
Bissektrisa teng yonli uchburchak ajratadi: $AB=BE$ .
Diagonalga balandlik: $h=\dfrac{ab}{d}$ , $h^2=AH\cdot HC$ , $AD^2=AH\cdot AC$ .
Tomon o'rtalari romb beradi: $P=2d$ , $S=\dfrac{ab}{2}$ .
$PA^2+PC^2$ va $PB^2+PD^2$ teng, bu yerda $P$ — istalgan nuqta.
O'xshashlikda kesmalar $k$ marta, yuzlar $k^2$ marta.