Romb va parallelogramm: matematika darsi

Parallelogrammning tomonlari $7$ va $11$ , bir diagonali $12$ bo'lsa, ikkinchi diagonal burchakni bilmasdan ham topiladi: u $14$ ga teng. Yuz masalalarida ham burchak yoki balandlik ko'pincha kerak bo'lmaydi: uchburchaklar yuzi orasidagi bog'lanish yetarli. Bu darsda parallelogramm va rombning barcha xossalari, belgilari, ixtiyoriy to'rtburchak uchun umumiy faktlar va imtihon usullari beriladi.

Parallelogramm va uning xossalari

Parallelogramm deb qarama-qarshi tomonlari juft-juft parallel bo'lgan to'rtburchakka aytiladi.

Diagonallar kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi

Qarama-qarshi tomonlar teng: $AB=CD$ , $BC=AD$ .
Qarama-qarshi burchaklar teng, qo'shni burchaklar yig'indisi $180^\circ$ . Masalan, bir burchak ikkinchisidan $4$ marta katta bo'lsa, $\alpha+4\alpha=180^\circ$ , kichigi $36^\circ$ .
Diagonallar kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi. Bu nuqta simmetriya markazi: undan o'tgan har qanday to'g'ri chiziq parallelogrammni ikkita teng yuzli qismga ajratadi.
Har bir diagonal parallelogrammni ikkita teng uchburchakka ajratadi, ikki diagonal esa to'rtta teng yuzli uchburchakka: har biri $\dfrac{S}{4}$ .

Parallelogramm belgilari

Quyidagi xossalar teskarisi bilan ham to'g'ri, ya'ni har biri to'rtburchakning parallelogramm ekanini isbotlaydi. Oxirgi ikki qatordagi shartlar esa yetarli emas. Deltoid deb ikki juft qo'shni tomonlari teng bo'lgan qavariq to'rtburchakka aytiladi.

To'rtburchakda	Parallelogrammmi	Izoh
To'rtburchakdaQarama-qarshi tomonlar juft-juft teng	Parallelogrammmiha	IzohDiagonal ikkita teng uchburchak beradi
To'rtburchakdaBir juft tomon teng va parallel	Parallelogrammmiha	IzohShu ikki tomon bir juft bo'lishi shart
To'rtburchakdaDiagonallar kesishganda teng ikkiga bo'linadi	Parallelogrammmiha	IzohEng ko'p ishlatiladigan belgi
To'rtburchakdaQarama-qarshi burchaklar juft-juft teng	Parallelogrammmiha	IzohQo'shni burchaklar yig'indisi $180^\circ$ chiqadi
To'rtburchakdaBir juft tomon parallel, ikkinchi juft tomon teng	Parallelogrammmiyo'q	IzohTeng yonli trapetsiya
To'rtburchakdaBir juft qarama-qarshi burchak teng	Parallelogrammmiyo'q	IzohDeltoid

Parallelogramm yuzi

Chapdagi uchburchakni o'ngga ko'chirsak, to'g'ri to'rtburchak hosil bo'ladi:

S=8\cdot 4=32

S=ah_a=bh_b

S=ab\sin\alpha

S=\frac{d_1d_2\sin\varphi}{2}

\alpha

— tomonlar orasidagi burchak,

\varphi

— diagonallar orasidagi burchak

$ah_a=bh_b$ dan balandliklar tomonlarga teskari proporsional: katta tomonga kichik balandlik tushadi. Rasmdagi parallelogrammda $h_a=4$ balandlik $8$ tomonga tushgan, $5$ tomonga tushgan balandlik esa $\dfrac{32}{5}=6{,}4$ . $\sin\alpha$ qo'shni burchaklarda bir xil: $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ$ .

Diagonallar va tomonlar

12^2+14^2=340=2(7^2+11^2)

: bu yerda

BD=12

AC=14

d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)

Diagonallar kvadratlari yig'indisi barcha tomonlar kvadratlari yig'indisiga teng

Isbot: kosinuslar teoremasi bo'yicha $BD^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$ , qo'shni burchak uchun $AC^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$ . Qo'shsak, kosinus yo'qoladi. Demak o'tmas burchak qarshisida katta diagonal yotadi. Burchak ma'lum bo'lsa, shu ikki formuladan har bir diagonalni alohida topamiz.

Diagonallar nisbati berilsa, $d_1=3k$ , $d_2=4k$ deb olamiz va formulaga qo'yamiz. Masalan, tomonlar $5$ va $5\sqrt{7}$ , nisbat $3:4$ : $25k^2=2(25+175)=400$ , $k=4$ , katta diagonal $16$ .

Burchak bissektrisasi

\angle BEA=\angle EAD

ichki almashinuvchi burchaklar,

\angle EAD=\angle BAE

bissektrisadan. Demak

AB=BE

Parallelogramm burchagining bissektrisasi qarshi tomon bilan teng yonli uchburchak hosil qiladi: $A$ burchak bissektrisasi $BC$ ni $E$ nuqtada kessa, $AB=BE$ . Bu $AB\le BC$ bo'lganda; aks holda bissektrisa $CD$ ni kesadi.

Bissektrisa qarshi tomonni $8$ va $3$ kabi qismlarga bo'lsa va tartib aytilmagan bo'lsa, ikki javob bor: $AB$ tomon $8$ yoki $3$ ga teng bo'lishi mumkin, chunki $E$ nuqta qaysi uchga yaqinligi berilmagan. Bunda qarshi tomon $11$ ga teng va perimetrlar $2(8+11)=38$ yoki $2(3+11)=28$ .

BE=CF=AB

A

D

burchaklarning bissektrisalari

Katta tomon $BC$ va $AB$	Bissektrisalar	$EF$
Katta tomon $BC$ va $AB$ $BC>2AB$	Bissektrisalarichkarida kesishmaydi, tomon uch qismga bo'linadi	$EF$ $BC-2AB$
Katta tomon $BC$ va $AB$ $BC=2AB$	Bissektrisalar $BC$ ning o'rtasida uchrashadi	$EF$ $0$
Katta tomon $BC$ va $AB$ $AB<BC<2AB$	Bissektrisalarparallelogramm ichida kesishib, $BC$ gacha davom etadi	$EF$ $2AB-BC$

Qo'shni burchaklar bissektrisalari

O

nuqtada perpendikulyar kesishadi va

O

o'rta chiziqda yotadi

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish