Kasrning asosiy xossasi va qisqartirish: matematika darsi

$\dfrac{168}{252}$ va $\dfrac{2}{3}$ yozuvi har xil, lekin bu bitta son. Bu darsdagi bitta xossa shuni tushuntiradi va imtihondagi uzun kasrlarni kalkulyatorsiz hisoblashga imkon beradi: $\dfrac{6^{5}\cdot 10^{3}}{15^{3}\cdot 4^{4}}$ kabi ifoda bir necha qatorda $9$ ga aylanadi. Shu yerda kasrlarni taqqoslash va ma'lum shartga mos kasrlarni sanash ham o'rganiladi.

Kasr nima

$\dfrac{a}{b}$ yozuvida $a$ surat, $b$ maxraj deyiladi. Maxraj butun nechta teng bo'lakka bo'linganini, surat shundan nechtasi olinganini bildiradi. Kasr chizig'i bo'lish belgisidir: $\dfrac{3}{4}=3:4=0{,}75$ .

Maxraj hech qachon nol bo'lmaydi: $b\neq 0$ , chunki nolga bo'lish ma'noga ega emas. Surat esa nol bo'lishi mumkin: $\dfrac{0}{5}=0$ .

Tur	Sharti	Misol	Qiymati
TurTo'g'ri kasr	Shartisurat maxrajdan kichik	Misol $\dfrac{3}{7}$	Qiymati $1$ dan kichik
TurNoto'g'ri kasr	Shartisurat maxrajdan katta yoki unga teng	Misol $\dfrac{9}{7}$ , $\dfrac{7}{7}$	Qiymati $1$ dan katta yoki $1$ ga teng
TurQisqarmas kasr	Shartisurat va maxraj o'zaro tub	Misol $\dfrac{35}{48}$	Qiymatiixtiyoriy

Kasrning ishorasi

Minus suratda, maxrajda yoki kasr oldida tursa, qiymat bir xil. Surat va maxrajdagi ikki minus o'zaro yo'qoladi.

\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}

\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}

b\neq 0

\frac{(14-50)(-9-6)}{-5}

=\frac{(-36)\cdot(-15)}{-5}=-108

Bu qiymat

20

dan

128

ga kam

«Qiymat 20 dan qanchaga kam?» degan savolda 20 dan qiymat ayiriladi: 20 − (−108) = 128. Qiymat manfiy bo'lsa, ayirish qo'shishga aylanadi.

Asosiy xossa

Surat va maxrajni bir xil noldan farqli songa ko'paytirsak yoki bo'lsak, kasrning qiymati o'zgarmaydi.

\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}=\frac{a:k}{b:k}

b\neq 0

k\neq 0

Sababi oddiy: $\dfrac{k}{k}=1$ , kasrni esa $1$ ga ko'paytirish uni o'zgartirmaydi. Masalan, bo'lakni $3$ marta maydalasak, bo'laklar soni ham $3$ marta ko'payadi, olingan qism esa o'sha-o'sha qoladi.

\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{15}{25}

Surat va maxraj

2

ga, keyin

5

ga ko'paytirildi

Xossa ikki tomonga ishlaydi. Ko'paytirsak, kasr boshqa maxrajga keltiriladi (qo'shish va taqqoslashda kerak). Bo'lsak, kasr qisqaradi.

Qisqartirish

Kasrni qisqartirish uchun surat va maxraj ularning umumiy bo'luvchisiga bo'linadi. Buni bosqichma-bosqich ham qilish mumkin, lekin EKUB ga bo'lsak, kasr birdaniga qisqarmas holga keladi.

\frac{48}{72}=\frac{24}{36}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}

Bosqichma-bosqich:

2

ga,

2

ga,

6

\frac{48:24}{72:24}=\frac{2}{3}

Birdaniga:

\text{EKUB}(48;\,72)=24

EKUB ko'rinmasa, sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajrating: $90=2\cdot 3^2\cdot 5$ va $150=2\cdot 3\cdot 5^2$ . Umumiy ko'paytuvchilarni kichik darajasi bilan olamiz: $\text{EKUB}=2\cdot 3\cdot 5=30$ , demak $\dfrac{90}{150}=\dfrac{3}{5}$ .

Faqat ko'paytuvchilar qisqaradi

Qisqartirish bu surat va maxrajni butunligicha bo'lish. Yig'indining bitta qo'shiluvchisini o'chirib bo'lmaydi.

\frac{6+4}{6+9}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}

6

larni o'chirib

\dfrac{4}{9}

deyish xato

\frac{6\cdot 4}{6\cdot 9}=\frac{4}{9}

Bu yerda

6

ko'paytuvchi, shuning uchun qisqaradi

Ko'paytmani oldin hisoblab o'tirmang. 6 · 35 · 4 ni 14 · 15 ga bo'lishda sonlarni yoyib qisqartiring, javob 4.

Qisqarmas kasr

Kasr qisqarmas bo'lishi uchun surat va maxraj o'zaro tub bo'lishi kerak: $\text{EKUB}(\text{surat};\,\text{maxraj})=1$ . Masalan, $35=5\cdot 7$ va $48=2^4\cdot 3$ da umumiy tub ko'paytuvchi yo'q, demak $\dfrac{35}{48}$ qisqarmaydi.

Tekshirishda foydali xossa: ikki sonning umumiy bo'luvchisi ularning ayirmasini ham bo'ladi. Haqiqatan, $a=dm$ va $b=dn$ bo'lsa, $a-b=d(m-n)$ . Shuning uchun faqat ayirmaning bo'luvchilarini sinash yetarli.

\frac{91}{104}=\frac{7\cdot 13}{8\cdot 13}=\frac{7}{8}

Ayirma

104-91=13

, sinab ko'ramiz: ikkalasi ham

13

ga bo'linadi

Qo'shni natural sonlarning ayirmasi $1$ , shuning uchun $\dfrac{n}{n+1}$ kasr har doim qisqarmas.

$\dfrac{n}{b}$ kasr qisqarmas bo'lishi uchun $n$ soni $b$ ning birorta ham tub ko'paytuvchisiga bo'linmasligi kerak.

Masalan, $18=2\cdot 3^2$ . $n<18$ bo'lganda $\dfrac{n}{18}$ kasr qisqarmas bo'lishi uchun $n$ na $2$ ga, na $3$ ga bo'linmasligi kerak: $n=1,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17$ , jami $6$ ta.

Darajali kasrlarni qisqartirish

Surat va maxraj ko'paytma yoki daraja bo'lsa, hisoblamasdan tub asoslarga yoyib qisqartiring. Buning uchun daraja qoidalari kerak:

Qoida	Misol
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$2^3\cdot 2^4=2^7$
$a^m:a^n=a^{m-n}$ , $a\neq 0$	$5^7:5^4=5^3$
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$	$(2^3)^4=2^{12}$
$(ab)^n=a^n\cdot b^n$	$6^5=2^5\cdot 3^5$
$a^0=1$ , $a\neq 0$	$7^0=1$

Tez-tez uchraydigan asoslar: $4=2^2$ , $8=2^3$ , $16=2^4$ , $9=3^2$ , $27=3^3$ , $25=5^2$ , $125=5^3$ , $6=2\cdot 3$ , $10=2\cdot 5$ , $12=2^2\cdot 3$ , $14=2\cdot 7$ , $15=3\cdot 5$ , $18=2\cdot 3^2$ , $24=2^3\cdot 3$ , $28=2^2\cdot 7$ , $36=2^2\cdot 3^2$ , $56=2^3\cdot 7$ .

\frac{12^3}{18^2}=\frac{2^6\cdot 3^3}{2^2\cdot 3^4}=\frac{2^4}{3}=\frac{16}{3}

Har bir asos bo'yicha ko'rsatkichlar ayiriladi

\frac{10^4\cdot 6^3}{15^3\cdot 4^2}=\frac{2^7\cdot 3^3\cdot 5^4}{2^4\cdot 3^3\cdot 5^3}

=2^3\cdot 5=40

Suratda

2^4\cdot 2^3=2^7

Manfiy asosda ishorani birinchi navbatda aniqlang: juft darajada minus yo'qoladi, toq darajada qoladi. $(-5)^8=5^8$ , $(-5)^9=-5^9$ .

\frac{(-2)\cdot(-5)^{9}-(-5)^{8}}{25^{4}\cdot 9}

=\frac{2\cdot 5^{9}-5^{8}}{5^{8}\cdot 9}=\frac{5^{8}\cdot 9}{5^{8}\cdot 9}=1

2\cdot 5^{9}-5^{8}=5^{8}(10-1)

Yig'indini qavsdan chiqarish

Suratda yoki maxrajda yig'indi yoki ayirma bo'lsa, qisqartirishdan oldin uni ko'paytmaga aylantirish shart. Har bir asosning eng kichik darajasi qavsdan chiqariladi, qavs ichida oddiy son qoladi.

\frac{3^{9}\cdot 5^{6}-3^{8}\cdot 5^{7}}{2\cdot 15^{7}}

=\frac{3^{8}\cdot 5^{6}(3-5)}{2\cdot 3^{7}\cdot 5^{7}}=-\frac{3}{5}

Qavsdan

3^{8}\cdot 5^{6}

chiqdi, qavs ichi

-2

\frac{5\cdot 3^{20}-2\cdot 3^{19}}{9^{10}}

=\frac{3^{19}(15-2)}{3^{20}}=\frac{13}{3}

5\cdot 3^{20}=15\cdot 3^{19}

: koeffitsiyent qavs ichida ko'payadi

Katta sonli ko'paytmalar

Surat va maxrajdagi sonlar bir-biriga yaqin bo'lsa, ko'paytirib o'tirmang. Qo'shni sonni $n-1$ yoki $n+1$ ko'rinishida yozing, shunda ikkala tomonda bir xil ifoda paydo bo'ladi.

217+354\cdot 216

=217+354\cdot 217-354

=354\cdot 217-137

216=217-1

deb yozdik

\frac{217\cdot 354-137}{217+354\cdot 216}=1

Maxraj suratning o'ziga teng chiqdi

Ba'zan surat maxrajning ikki baravari bo'ladi. $\dfrac{310\cdot 127+56}{155+127\cdot 154}$ da maxraj $127\cdot 155+28$ ga, surat esa $2(155\cdot 127+28)$ ga teng, javob $2$ .

Kasr butun son bo'lishi sharti

Surat ham, maxraj ham $n$ qatnashgan ifoda bo'lsa, butun qism ajratiladi: surat maxraj orqali yoziladi, keyin kasr ikkiga bo'linadi.

\frac{n+a}{n+b}=\frac{(n+b)+(a-b)}{n+b}

=1+\frac{a-b}{n+b}

n+b\neq 0

Kasr butun son bo'lishi uchun $n+b$ soni $a-b$ ning bo'luvchisi bo'lishi kerak.

$n$ natural bo'lsa, $n+b\ge b+1$ , kichik bo'luvchilar tashlanadi. Masalan:

\frac{n+11}{n+3}=1+\frac{8}{n+3}

$8$ ning bo'luvchilari $1,\ 2,\ 4,\ 8$ , lekin $n+3\ge 4$ , demak $n+3=4$ yoki $n+3=8$ , ya'ni $n=1$ yoki $n=5$ . $n$ butun bo'lsa, manfiy bo'luvchilar ham olinadi.

\frac{2n+7}{n+1}=\frac{2(n+1)+5}{n+1}

=2+\frac{5}{n+1}

n

oldida koeffitsiyent bo'lsa ham usul o'sha

Kasrlarni taqqoslash

Kasrlar musbat bo'lganda quyidagi usullar ishlaydi. Qaysi biri qulay bo'lsa, shunisini tanlang.

Holat	Qoida	Misol
HolatMaxrajlar teng	Qoidasurati katta kasr katta	Misol $\dfrac{5}{13}<\dfrac{8}{13}$
HolatSuratlar teng	Qoidamaxraji kichik kasr katta: bo'laklar yirikroq	Misol $\dfrac{7}{12}>\dfrac{7}{15}$
HolatHar xil	Qoidaumumiy maxrajga keltiramiz	Misol $\dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{18}>\dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$
HolatXochsimon	Qoida $\dfrac{a}{b}$ va $\dfrac{c}{d}$ uchun $ad$ va $bc$ solishtiriladi	Misol $\dfrac{11}{14}<\dfrac{15}{19}$ , chunki $209<210$
HolatBirga yaqin	Qoida $1$ gacha yetmagan qismi kichik kasr katta	Misol $\dfrac{17}{19}<\dfrac{29}{31}$
HolatOraliq son	Qoidaikkalasini bitta son bilan solishtiramiz	Misol $\dfrac{4}{17}<\dfrac{1}{4}<\dfrac{7}{25}$
HolatSuratni tenglash	Qoidasuratlarni bir xil qilamiz	Misol $\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{27}<\dfrac{12}{26}=\dfrac{6}{13}$
HolatO'nli kasr	Qoidao'nli kasrga aylantiramiz	Misol $\dfrac{3}{8}=0{,}375<0{,}4=\dfrac{2}{5}$

Xochsimon usul shundan kelib chiqadi: ikkala kasrni musbat $bd$ ga ko'paytirsak, $ad$ va $bc$ qoladi. Birga yaqin usul esa shunday ishlaydi:

\frac{17}{19}=1-\frac{2}{19}

\frac{29}{31}=1-\frac{2}{31}

$\dfrac{2}{19}>\dfrac{2}{31}$ , ya'ni birinchi kasrga $1$ gacha ko'proq yetmaydi, demak u kichik.

Avval qisqartiring! 904/908 = 452/454. Endi 451/453 = 1 − 2/453 va 452/454 = 1 − 2/454. 2/453 kattaroq, shuning uchun 451/453 kichik.

Uch yoki to'rt kasrni tartiblashda juftlab solishtiramiz. Masalan:

a=\frac{5}{18},\ \ b=\frac{7}{24}

c=\frac{5}{16},\ \ d=\frac{3}{8}

$a$ va $c$ da suratlar teng: $c>a$ .
$b$ va $a$ : $\dfrac{21}{72}>\dfrac{20}{72}$ , ya'ni $b>a$ .
$b$ va $c$ : $\dfrac{14}{48}<\dfrac{15}{48}$ , ya'ni $b<c$ .
$d=\dfrac{18}{48}$ eng katta.

Natija: $a<b<c<d$ .

Berilgan shartdagi kasrlarni sanash

« $\dfrac{p}{q}$ dan katta va $\dfrac{r}{s}$ dan kichik, maxraji $m$ ga teng kasrlar nechta?» degan savolda chegaralar $m$ maxrajga keltiriladi, keyin suratlar sanaladi.

k_1<k<k_2

\text{soni}=k_2-k_1-1

k

k_1

k_2

butun sonlar,

\dfrac{k_1}{m}

\dfrac{k_2}{m}

chegaralar, ular kirmaydi

\frac{2}{3}=\frac{24}{36}

\frac{5}{6}=\frac{30}{36}

24<k<30

Suratlar

25

26

27

28

29

, jami

5

Faqat qisqarmas kasrlar so'ralsa, maxrajning tub ko'paytuvchilariga bo'linadigan suratlar chiqarib tashlanadi. $36=2^2\cdot 3^2$ bo'lgani uchun yuqoridagi beshtadan faqat $k=25$ va $k=29$ qoladi.

Yig'indi so'ralsa, maxraj bir xil bo'lgani uchun suratlar qo'shiladi. $[1;\,3]$ oraliqdagi maxraji $5$ ga teng qisqarmas kasrlar:

\frac{6}{5},\ \frac{7}{5},\ \frac{8}{5},\ \frac{9}{5}

\frac{11}{5},\ \frac{12}{5},\ \frac{13}{5},\ \frac{14}{5}

Suratlari

5

10

15

bo'lganlari qisqaradi

Yig'indi $\dfrac{80}{5}=16$ .

Surat va maxraj bo'yicha kasrni topish

Surat va maxrajning yig'indisi $S$ , maxraj suratdan $D$ ta ortiq bo'lsin. Ikki tenglikni qo'shib va ayirib topamiz:

\text{surat}=\frac{S-D}{2}

\text{maxraj}=\frac{S+D}{2}

Masalan, $S=37$ , $D=13$ bo'lsa:

\text{surat}=\frac{37-13}{2}=12

\text{maxraj}=\frac{37+13}{2}=25

Kasr

\dfrac{12}{25}

Ishlangan misollar

1-misol

Kasrni qisqartiring: $\dfrac{156}{204}$

$156=2^2\cdot 3\cdot 13$
Suratni tub ko'paytuvchilarga ajratamiz.
$204=2^2\cdot 3\cdot 17$
Maxrajni ham.
$2^2\cdot 3=12$
EKUB umumiy ko'paytuvchilardan iborat: $2^2$ va $3$ .
$\frac{156:12}{204:12}=\frac{13}{17}$
Asosiy xossa: ikkalasini $12$ ga bo'lamiz. $13$ va $17$ o'zaro tub.

Javob: $\dfrac{13}{17}$

2-misol

Hisoblang: $\dfrac{6^{5}\cdot 10^{3}}{15^{3}\cdot 4^{4}}$

$\frac{6^{5}\cdot 10^{3}}{15^{3}\cdot 4^{4}}=\frac{2^{5}\cdot 3^{5}\cdot 2^{3}\cdot 5^{3}}{3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 2^{8}}$
Har bir asosni tub ko'paytuvchilarga yoyamiz.
$\frac{2^{5}\cdot 3^{5}\cdot 2^{3}\cdot 5^{3}}{3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 2^{8}}=\frac{2^{8}\cdot 3^{5}\cdot 5^{3}}{2^{8}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}}$
Suratda $2^{5}\cdot 2^{3}=2^{8}$ .
$\frac{2^{8}\cdot 3^{5}\cdot 5^{3}}{2^{8}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}}=3^{2}=9$
$2^{8}$ va $5^{3}$ butunlay qisqaradi, $3$ ning ko'rsatkichlari ayiriladi.

Javob: $9$

3-misol

Hisoblang: $\dfrac{2^{13}\cdot 9^{3}+24\cdot 4^{6}\cdot 3^{5}}{6^{6}\cdot 2^{7}+12^{7}}$

$2^{13}\cdot 9^{3}=2^{13}\cdot 3^{6}$
Suratning birinchi hadini tub asoslarga keltiramiz.
$24\cdot 4^{6}\cdot 3^{5}=2^{3}\cdot 3\cdot 2^{12}\cdot 3^{5}$
Ikkinchi hadni ham: $24=2^{3}\cdot 3$ , $4^{6}=2^{12}$ .
$2^{3}\cdot 3\cdot 2^{12}\cdot 3^{5}=2^{15}\cdot 3^{6}$
Bir xil asoslarni birlashtiramiz.
$2^{13}\cdot 3^{6}+2^{15}\cdot 3^{6}=2^{13}\cdot 3^{6}\cdot 5$
Surat: $2^{13}\cdot 3^{6}$ ni qavsdan chiqaramiz, qavs ichi $1+4=5$ .
$6^{6}\cdot 2^{7}+12^{7}=2^{13}\cdot 3^{6}+2^{14}\cdot 3^{7}$
Maxrajni ham tub asoslarga keltiramiz.
$2^{13}\cdot 3^{6}+2^{14}\cdot 3^{7}=2^{13}\cdot 3^{6}\cdot 7$
Qavs ichi $1+2\cdot 3=7$ .
$\frac{2^{13}\cdot 3^{6}\cdot 5}{2^{13}\cdot 3^{6}\cdot 7}=\frac{5}{7}$
Endi ko'paytmalar qoldi, qisqartiramiz.

Javob: $\dfrac{5}{7}$

4-misol

$\dfrac{n+19}{n+4}$ kasr butun son bo'ladigan barcha natural $n$ larning yig'indisini toping.

$\frac{n+19}{n+4}=\frac{(n+4)+15}{n+4}$
Suratni maxraj orqali yozamiz.
$\frac{(n+4)+15}{n+4}=1+\frac{15}{n+4}$
Butun qismni ajratamiz. Endi $n+4$ soni $15$ ning bo'luvchisi bo'lishi kerak.
$15:\quad 1,\ 3,\ 5,\ 15$
$15$ ning musbat bo'luvchilari.
$n+4\ge 5$
$n$ natural, ya'ni $n\ge 1$ , shuning uchun $1$ va $3$ to'g'ri kelmaydi.
$n+4=5\ \text{yoki}\ n+4=15$
Ikki bo'luvchi qoldi.
$n=1\ \text{yoki}\ n=11$
Tekshiruv: $\dfrac{20}{5}=4$ va $\dfrac{30}{15}=2$ .
$1+11=12$
So'ralgan yig'indi.

Javob: $12$

5-misol

Maxraji $40$ ga teng, $\dfrac{5}{8}$ dan katta va $\dfrac{9}{10}$ dan kichik nechta qisqarmas kasr bor?

$\frac{5}{8}=\frac{25}{40},\quad \frac{9}{10}=\frac{36}{40}$
Chegaralarni $40$ maxrajga keltiramiz.
$25<k<36$
Suratlar $26$ dan $35$ gacha. Chegaralar kirmaydi.
$40=2^3\cdot 5$
Qisqarmas bo'lishi uchun $k$ na $2$ ga, na $5$ ga bo'linmasligi kerak.
$k=27,\ 29,\ 31,\ 33$
Juft sonlar va $5$ ga bo'linadigan $35$ chiqib ketadi.

Javob: $4$ ta

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$\dfrac{6+4}{6+9}=\dfrac{4}{9}$	$\dfrac{6+4}{6+9}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{2^{5}+2^{4}}{2^{4}}=2^{5}$	$\dfrac{2^{4}(2+1)}{2^{4}}=3$
$\dfrac{5^{7}}{5^{4}}=5^{\frac{7}{4}}$	$\dfrac{5^{7}}{5^{4}}=5^{3}$
$\dfrac{7}{12}<\dfrac{7}{15}$	$\dfrac{7}{12}>\dfrac{7}{15}$ : maxraji kichigi katta
$(-5)^{9}=5^{9}$	$(-5)^{9}=-5^{9}$
$24<k<30$ da $6$ ta $k$ bor	$30-24-1=5$ ta

Eslab qoling

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$ , bunda $b\neq 0$ , $k\neq 0$ .
Faqat ko'paytuvchilar qisqaradi: yig'indini avval ko'paytmaga aylantiring.
EKUB ga bo'lsangiz, kasr birdaniga qisqarmas bo'ladi. Qisqarmas kasrda surat va maxraj o'zaro tub.
Darajalarda tub asoslarga yoying, eng kichik darajani qavsdan chiqaring.
$\dfrac{n+a}{n+b}=1+\dfrac{a-b}{n+b}$ : $n+b$ soni $a-b$ ning bo'luvchisi bo'lishi kerak.
Taqqoslash: suratlar teng bo'lsa maxraji kichigi katta, $\dfrac{a}{b}$ va $\dfrac{c}{d}$ da $ad$ va $bc$ solishtiriladi.