Davriy o'nli kasrlar: matematika darsi

$\dfrac{1}{3}$ ni chekli o'nli kasr qilib yozib bo'lmaydi: $1:3=0{,}333\ldots$ cheksiz davom etadi. Bunday sonlarni qisqa yozish va oddiy kasrga aylantirish kerak. Davriy kasr qatnashgan ifoda aylantirilgach, oddiy kasrlar misoliga aylanadi. Imtihonda verguldan keyingi $2026$ -raqam kabi savollar ham uchraydi.

Davriy kasr nima

Cheksiz o'nli kasrda bir xil raqamlar guruhi to'xtovsiz takrorlansa, u davriy kasr deyiladi. Takrorlanuvchi guruh davr deb ataladi va qavsga olinadi: $0{,}333\ldots=0{,}(3)$ .

Tur	Ta'rif	Misol	Davri
TurSof davriy	Ta'rifdavr vergulning o'zidan boshlanadi	Misol $0{,}(36)$ , $2{,}(6)$	Davri $36$ ; $6$
TurAralash davriy	Ta'rifvergul bilan davr orasida boshqa raqamlar bor	Misol $0{,}1(6)$ , $0{,}08(3)$	Davri $6$ ; $3$

Yoyib yozsak: $0{,}1(6)=0{,}1666\ldots$ va $0{,}(16)=0{,}161616\ldots$ . Bu har xil sonlar, qavsning joyi muhim.

Davriy kasr qayerdan paydo bo'ladi

Suratni maxrajga burchak bilan bo'lganda qoldiqlar maxrajdan kichik bo'ladi. Qoldiqlar soni chekli, shuning uchun qandaydir qoldiq takrorlanadi va undan keyin raqamlar ham takrorlanadi. $7$ ga bo'lganda qoldiqlar faqat $1,\dots,6$ , shuning uchun davr uzunligi $6$ dan oshmaydi.

\frac{1}{7}=0{,}(142857)

Davr uzunligi

6

\frac{5}{6}=0{,}8(3)

5:6=0{,}8333\ldots

Chekli yoki davriy: qanday bilish mumkin

Qisqarmas kasr maxrajida faqat $2$ va $5$ ko'paytuvchilar bo'lsa, chekli o'nli kasr chiqadi. Boshqa tub ko'paytuvchi bo'lsa, davriy kasr chiqadi.

Sababi: chekli o'nli kasr $\dfrac{m}{10^n}$ ko'rinishida yoziladi, $10^n=2^n\cdot 5^n$ esa faqat shu ikki tub ko'paytuvchidan iborat.

Kasr	Maxraj	Natija
Kasr $\dfrac{5}{16}$	Maxraj $2^4$	Natijachekli: $0{,}3125$
Kasr $\dfrac{7}{40}$	Maxraj $2^3\cdot 5$	Natijachekli: $0{,}175$
Kasr $\dfrac{7}{12}$	Maxraj $2^2\cdot 3$	Natijadavriy: $0{,}58(3)$
Kasr $\dfrac{2}{15}$	Maxraj $3\cdot 5$	Natijadavriy: $0{,}1(3)$
Kasr $\dfrac{4}{11}$	Maxraj $11$	Natijadavriy: $0{,}(36)$

Avval qisqartiring! 3/15 ning maxrajida 3 bor, lekin 3/15 = 1/5 = 0,2. Bu chekli kasr.

Qisqarmas kasr maxrajida $2$ va $5$ umuman bo'lmasa, kasr sof davriy, boshqa tub ko'paytuvchi bilan birga bo'lsa, aralash davriy bo'ladi. Davrgacha raqamlar soni $2$ va $5$ ning eng katta ko'rsatkichiga teng: $12=2^2\cdot 3$ , shuning uchun $\dfrac{1}{12}=0{,}08(3)$ da davrgacha $2$ ta raqam bor.

Sof davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish

Usulni bitta misolda ko'ramiz. $x=0{,}(27)$ bo'lsin. Davrda $2$ raqam, shuning uchun $100$ ga ko'paytiramiz: $100x=27{,}(27)$ . Ayirsak, cheksiz dum yo'qoladi: $100x-x=27$ , ya'ni $99x=27$ va $x=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$ .

Butun qismi $0$ bo'lgan sof davriy kasr: suratga davr, maxrajga davrdagi raqamlar soni qadar $9$ yoziladi.

Davriy kasr	Hisob	Oddiy kasr
Davriy kasr $0{,}(7)$	Hisob $\dfrac{7}{9}$	Oddiy kasr $\dfrac{7}{9}$
Davriy kasr $0{,}(45)$	Hisob $\dfrac{45}{99}$	Oddiy kasr $\dfrac{5}{11}$
Davriy kasr $0{,}(09)$	Hisob $\dfrac{9}{99}$	Oddiy kasr $\dfrac{1}{11}$
Davriy kasr $0{,}(027)$	Hisob $\dfrac{27}{999}$	Oddiy kasr $\dfrac{1}{37}$

Aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish

$x=0{,}2(45)$ bo'lsin. Vergulni davr boshiga olib kelamiz: $10x=2{,}(45)$ . Vergulni bitta davrdan o'tkazamiz: $1000x=245{,}(45)$ . Ayirsak, $990x=245-2=243$ , ya'ni $x=\dfrac{243}{990}=\dfrac{27}{110}$ .

Butun qismi $0$ bo'lgan aralash davriy kasr: suratga verguldan keyingi son (davr bilan birga) minus davrgacha bo'lgan son yoziladi. Maxrajga davrdagi raqamlar soni qadar $9$ , keyin davrgacha raqamlar soni qadar $0$ yoziladi.

0{,}a(b)=\frac{ab-a}{90}

0{,}a(bc)=\frac{abc-a}{990}

0{,}ab(c)=\frac{abc-ab}{900}

Bu yerda $ab$ va $abc$ ko'paytma emas, shu raqamlardan yozilgan son. Masalan, $0{,}05(3)$ da $abc=053=53$ va $ab=05=5$ .

Davriy kasr	Hisob	Oddiy kasr
Davriy kasr $0{,}1(6)$	Hisob $\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{15}{90}$	Oddiy kasr $\dfrac{1}{6}$
Davriy kasr $0{,}4(5)$	Hisob $\dfrac{45-4}{90}$	Oddiy kasr $\dfrac{41}{90}$
Davriy kasr $0{,}3(18)$	Hisob $\dfrac{318-3}{990}=\dfrac{315}{990}$	Oddiy kasr $\dfrac{7}{22}$
Davriy kasr $0{,}12(3)$	Hisob $\dfrac{123-12}{900}=\dfrac{111}{900}$	Oddiy kasr $\dfrac{37}{300}$
Davriy kasr $0{,}05(3)$	Hisob $\dfrac{53-5}{900}=\dfrac{48}{900}$	Oddiy kasr $\dfrac{4}{75}$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish