Urinma, vatar, aylana va yoy uzunligi: matematika darsi

Radiusi $25$ bo'lgan aylanada uzunligi $48$ ga teng vatar markazdan roppa-rosa $7$ birlik uzoqlikda turadi: $7^2+24^2=25^2$ . Aylana masalalarining ko'pi shunday bitta to'g'ri burchakli uchburchakka keladi. Bu darsda o'sha uchburchakni qayerdan olishni, shuningdek aylana va yoy uzunligini, urinma va ikki aylana masalalarini o'rganamiz.

Asosiy tushunchalar

DE

diametr,

OF

radius,

AB

vatar,

MN

urinma,

T

urinish nuqtasi,

HW

esa

H

G

nuqtalardan o'tgan kesuvchi

Atama	Ma'nosi
Aylana	Markaz deb ataluvchi $O$ nuqtadan bir xil $R$ masofada yotgan barcha nuqtalar
Doira	Aylana va uning ichidagi barcha nuqtalar
Radius	Markazni aylana nuqtasi bilan tutashtiruvchi kesma, uzunligi $R$
Vatar	Aylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma
Diametr	Markazdan o'tuvchi vatar: $D=2R$ . U eng uzun vatar, chunki har qanday $AB$ vatar uchun $AB\le OA+OB=2R$
Yoy	Ikki nuqta ajratgan aylana bo'lagi. Ikki nuqta ikkita yoy beradi: kichik va katta
Kesuvchi	Aylanani ikki nuqtada kesuvchi to'g'ri chiziq
Urinma	Aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega to'g'ri chiziq, bu nuqta urinish nuqtasi deyiladi

Nuqtadan aylanagacha eng qisqa va eng uzun masofa

$P$ nuqta va $O$ markazdan o'tgan to'g'ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesadi. Eng qisqa va eng uzun masofa aynan shu ikki nuqtagacha bo'ladi.

PC

eng qisqa,

PD

eng uzun masofa,

CD

diametr

$P$ nuqta	Eng qisqa	Eng uzun	Radius
$P$ nuqtaAylana tashqarisida	Eng qisqa $OP-R$	Eng uzun $OP+R$	Radius $2R=\text{uzun}-\text{qisqa}$
$P$ nuqtaAylana ichida	Eng qisqa $R-OP$	Eng uzun $R+OP$	Radius $2R=\text{uzun}+\text{qisqa}$

Masalan, tashqi nuqtadan masofalar $18$ va $6$ bo'lsa, $D=18-6=12$ , $R=6$ , $C=12\pi$ . Ichki nuqtadan masofalar $3$ va $11$ bo'lsa, $D=3+11=14$ , $R=7$ . Nuqta markazning o'zida bo'lsa, ikkala masofa ham $R$ ga teng.

Aylana uzunligi

Aylana uzunligining diametrga nisbati har qanday aylanada bir xil son, u $\pi\approx 3{,}14$ deb belgilanadi.

C=2\pi R=\pi D

Masalan,

C=18\pi

bo'lsa,

R=9

D=18

Yoy uzunligi

Yoyning gradus o'lchovi unga mos markaziy burchakka teng. To'liq aylana $360^\circ$ , shuning uchun $\alpha$ gradusli yoy aylananing $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ qismi.

l=2\pi R\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}

\alpha

gradusda

l=R\alpha

\alpha

radianda

Masalan, $R=9$ va $\alpha=40^\circ$ bo'lsa, $l=\dfrac{\pi\cdot 9\cdot 40^\circ}{180^\circ}=2\pi$ . Aylana uzunligi $30\pi$ bo'lsa, uning $48^\circ$ li yoyi $30\pi\cdot\dfrac{48}{360}=4\pi$ ga teng.

Egilgan sim masalasi: yoy aylanaga aylantirilsa yoki aylana yoyga aylantirilsa, uzunlik o'zgarmaydi, radius va burchak o'zgaradi. Tenglama bitta: yoy uzunligi $=$ aylana uzunligi. Masalan, uzunligi $14\pi$ bo'lgan aylana radiusi $28$ ga teng yoyga aylantirilsa, $\dfrac{\pi\cdot 28\cdot\alpha}{180^\circ}=14\pi$ , ya'ni $\alpha=90^\circ$ .

\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}=2\pi r\quad\Rightarrow\quad r=\frac{R\alpha}{360^\circ}

Radiusi

R

, burchagi

\alpha

bo'lgan sektor yoyidan yasalgan aylana radiusi

Vatar va markazdan unga tushirilgan perpendikulyar

Markazdan vatarga tushirilgan perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo'ladi.

Sababi: $OA=OB=R$ , demak $OAB$ teng yonli uchburchak, uning balandligi medianasi ham bo'ladi. Teskarisi ham to'g'ri: markazni vatar o'rtasi bilan tutashtiruvchi kesma vatarga perpendikulyar (vatar diametr bo'lmasa). Vatarning o'rta perpendikulyari esa albatta markazdan o'tadi.

R=10

AB=16

: markazgacha

6

H

dan kichik yoygacha

HK=4

d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=R^2

a

vatar uzunligi,

d

markazdan vatargacha masofa,

0\le d<R

d=0

da vatar diametrga aylanadi

a=2\sqrt{R^2-d^2}

d=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}

R=\sqrt{d^2+\frac{a^2}{4}}

Uchtadan ikkitasi berilsa, uchinchisi topiladi

Vatar o'rtasidan aylanagacha: $OH$ davomi kichik yoyni $K$ nuqtada kesadi va $HK=R-d$ . Qarama-qarshi yo'nalishda, katta yoygacha masofa $R+d$ . Masalan, $R=10$ , $d=6$ bo'lsa, $HK=4$ va katta yoygacha $16$ .

Teskari masala: vatar $24$ , kichik yoyning eng baland nuqtasigacha $8$ bo'lsin. Unda $d=R-8$ va $(R-8)^2+12^2=R^2$ , bundan $16R=208$ , $R=13$ .

Bitta aylanada teng vatarlar markazdan teng uzoqlikda yotadi va teng yoylarni tortib turadi. Ikki vatardan uzunrog'i markazga yaqinroq.

Vatar va markaziy burchak

a=2R\sin\frac{\alpha}{2}

\alpha

vatarga mos markaziy burchak,

0^\circ<\alpha\le 180^\circ

Formula $OHB$ to'g'ri burchakli uchburchakdan chiqadi: $HB=R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ . Eng ko'p uchraydigan qiymatlar:

Markaziy burchak (yoy)	Vatar	Markazgacha masofa
Markaziy burchak (yoy) $60^\circ$	Vatar $R$	Markazgacha masofa $\dfrac{R\sqrt3}{2}$
Markaziy burchak (yoy) $90^\circ$	Vatar $R\sqrt2$	Markazgacha masofa $\dfrac{R\sqrt2}{2}$
Markaziy burchak (yoy) $120^\circ$	Vatar $R\sqrt3$	Markazgacha masofa $\dfrac{R}{2}$
Markaziy burchak (yoy) $180^\circ$	Vatar $2R$	Markazgacha masofa $0$

Masalan, $R=8$ da $90^\circ$ li yoyni tortib turgan vatar $8\sqrt2$ . Vatar $12$ ga teng va $90^\circ$ li yoyni tortib tursa, $R\sqrt2=12$ , ya'ni $R=6\sqrt2$ .

Bitta vatar ikkita yoyni tortib turadi: α va 360° − α. Masalada qaysi yoy aytilganiga qarang, vatar uzunligi ikkalasida bir xil.

Ikki vatar: markazdan bir tomonda va turli tomonda

Ikki parallel vatar orasidagi masofa ularning markazga nisbatan joylashuviga bog'liq. Bu ikki holatni aralashtirmaslik kerak.

Vatarlar

48

14

, markaz ular orasida: masofa

{d_1+d_2=7+24=31}

Vatarlar

48

14

, markaz ulardan bir tomonda: masofa

{d_2-d_1=24-7=17}

Bitta aylanadagi uzunliklari berilgan ikki parallel vatar uchun masofa $d_1+d_2$ yoki $|d_1-d_2|$ bo'ladi. Shart "turli tomonda" desa, birinchisini, "bir tomonda" desa, ikkinchisini olamiz.

Chorak doiraga chizilgan to'g'ri to'rtburchak

To'g'ri to'rtburchakning bir uchi markazda, qarama-qarshi uchi yoyda bo'lsa, uning diagonali radiusga teng. Shuning uchun ikkinchi diagonal ham radiusga teng.

OD=\sqrt{12^2+5^2}=13=R

, shuning uchun

BK=13-5=8

AC=13-12=1

Urinma

Urinma urinish nuqtasiga o'tkazilgan radiusga perpendikulyar. Teskarisi ham to'g'ri: aylana nuqtasidan radiusga perpendikulyar o'tkazilgan to'g'ri chiziq urinma bo'ladi.

Sababi: urinmaning urinish nuqtasidan boshqa hamma nuqtalari aylana tashqarisida, demak markazga eng yaqin nuqta aynan urinish nuqtasi. Eng qisqa masofa esa perpendikulyar bo'yicha o'lchanadi.

Ikki urinma:

PA=PB

OP

esa

AB

ga perpendikulyar va uni teng ikkiga bo'ladi

Bir nuqtadan o'tkazilgan ikki urinma haqida. $OAP$ va $OBP$ uchburchaklar teng (gipotenuza umumiy, $OA=OB$ ). Bundan quyidagilar kelib chiqadi:

$PA=PB$ : urinma kesmalari teng;
$OP$ to'g'ri chizig'i $\angle APB$ va $\angle AOB$ ni teng ikkiga bo'ladi;
$OP\perp AB$ va $OP$ vatar $AB$ ni teng ikkiga bo'ladi;
$PA^2=OP^2-R^2$ , chunki $OAP$ to'g'ri burchakli uchburchak.

Masalan, $R=5$ , $PA=12$ bo'lsa, $OP=13$ va $P$ dan aylanagacha eng qisqa masofa $13-5=8$ . Eng qisqa masofa $9$ va urinma $15$ berilsa, $OP=R+9$ deb yozamiz: $(R+9)^2=R^2+15^2$ , bundan $18R=144$ , $R=8$ .

$AB$ vatarning o'zi $AHO$ uchburchakdan topiladi, $AH$ esa $OAP$ to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi:

AH=\frac{R\cdot PA}{OP}

OH=\frac{R^2}{OP}

PH=\frac{PA^2}{OP}

R=5

PA=12

OP=13

uchun:

AH=\dfrac{60}{13}

OH=\dfrac{25}{13}

PH=\dfrac{144}{13}

AB=\dfrac{120}{13}

Urinmalar orasidagi burchak va yoylar

OAPB

to'rtburchakda ikkita to'g'ri burchak bor, qolgan ikkitasining yig'indisi

180^\circ

\alpha+\angle AOB=180^\circ

\alpha=\angle APB

urinmalar orasidagi burchak

Kichik yoy $\angle AOB=180^\circ-\alpha$ ga, katta yoy $180^\circ+\alpha$ ga teng. Masalan, $\alpha=50^\circ$ da yoylar $130^\circ$ va $230^\circ$ . Agar urinish nuqtalari aylanani $2:7$ nisbatda bo'lsa, bir ulush $\dfrac{360^\circ}{9}=40^\circ$ , yoylar $80^\circ$ va $280^\circ$ , urinmalar orasidagi burchak $180^\circ-80^\circ=100^\circ$ .

180° dan doim kichik yoy ayiriladi. Katta yoyni ayirsangiz, manfiy son chiqadi.

Diametr uchlaridan urinmagacha masofalar

$A$ va $B$ diametr uchlari, $CD$ urinma, $T$ urinish nuqtasi bo'lsin. $AC$ , $OT$ , $BD$ bir xil to'g'ri chiziqqa perpendikulyar, demak parallel. $O$ nuqta $AB$ ning o'rtasi bo'lgani uchun $OT$ trapetsiyaning o'rta chizig'i.

Diametr

{7+3=10}

, ya'ni

R=5

R=\frac{AC+BD}{2}

AB=AC+BD

Diametr uchlaridan urinmagacha masofalar yig'indisi diametrga teng

Bir nuqtadan chiqqan ikki vatar va yuz

$AB$ va $AC$ vatarlar va ular orasidagi burchak berilsa, $ABC$ uchburchak yuzi odatdagi formula bilan topiladi:

S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC

Masalan, $AB=8$ , $AC=5$ , $S=10\sqrt3$ bo'lsa:

20\sin\angle BAC=10\sqrt3

\sin\angle BAC=\frac{\sqrt3}{2}

Bu sinusga $60^\circ$ ham, $120^\circ$ ham mos keladi. Shart "o'tkir burchak" desa, javob $60^\circ$ .

Ikki aylananing o'zaro joylashuvi

$d$ markazlar orasidagi masofa, $R>r$ bo'lsin.

Masofa	Joylashuv	Umumiy urinmalar
Masofa $d>R+r$	JoylashuvBiri ikkinchisidan tashqarida	Umumiy urinmalar $4$
Masofa $d=R+r$	JoylashuvTashqi urinadi	Umumiy urinmalar $3$
Masofa $R-r<d<R+r$	JoylashuvIkki nuqtada kesishadi	Umumiy urinmalar $2$
Masofa $d=R-r$	JoylashuvIchki urinadi	Umumiy urinmalar $1$
Masofa $d<R-r$	JoylashuvKichigi kattasining ichida	Umumiy urinmalar $0$

Aylanalar urinsa, urinish nuqtasi markazlarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqda yotadi.

Kesishuvchi aylanalarning umumiy vatari

Markazlarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziq umumiy vatarga perpendikulyar va uni teng ikkiga bo'ladi.

Umumiy vatar

{AB=16}

, chunki

{AH^2=10^2-6^2=17^2-15^2=64}

AH^2=R^2-x^2=r^2-y^2

x

y

markazlardan umumiy vatargacha masofalar

Markazlar vatardan turli tomonda bo'lsa, $d=x+y$ . Bir tomonda bo'lsa, $d=|x-y|$ . Radiuslar nisbati berilsa, ularni $10k$ va $17k$ deb belgilaymiz: $100k^2-36=289k^2-225$ , bundan $k=1$ .

Ikki aylananing umumiy urinmalari

Tashqi urinma aylanalarni bir tomonda qoldiradi, ichki urinma ularning orasidan o'tadi. Ikkala holda ham markazlardan biridan urinmaga parallel chiziq o'tkazsak, to'g'ri burchakli uchburchak hosil bo'ladi.

Tashqi urinma: katet

R-r=7

AB=PH=\sqrt{25^2-7^2}=24

Ichki urinma: katet

R+r=15

AB=PH=\sqrt{25^2-15^2}=20

AB=\sqrt{d^2-(R-r)^2}

Tashqi urinma kesmasi,

d>R-r

AB=\sqrt{d^2-(R+r)^2}

Ichki urinma kesmasi,

d>R+r

Tashqi urinuvchi aylanalar

Aylanalar $K$ nuqtada tashqi urinsin, $d=R+r$ . Tashqi urinma formulasi soddalashadi:

MN=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}

=2\sqrt{Rr}

M

N

urinish nuqtalari

R=12

r=4

{MN=2\sqrt{48}=8\sqrt3}

{KT=\dfrac{2\cdot 12\cdot 4}{16}=6}

$K$ dan o'tuvchi umumiy urinma $MN$ ni $L$ nuqtada kessin. Bir nuqtadan o'tkazilgan urinmalar teng, shuning uchun $LM=LK=LN$ . Demak $KL$ mediana $MN$ ning yarmiga teng va $\angle MKN=90^\circ$ .

$K$ dan $MN$ gacha masofa uchun: $PM$ , $KT$ , $QN$ parallel, $K$ esa $PQ$ ni $R:r$ nisbatda bo'ladi. Trapetsiyadagi parallel kesma $\dfrac{R\cdot r+r\cdot R}{R+r}$ ga teng:

KT=\frac{2Rr}{R+r}

Urinish nuqtasidan umumiy tashqi urinmagacha masofa

Ishlangan misollar

1-misol

Radiusi $24$ , markaziy burchagi $75^\circ$ bo'lgan sektor yoyidan aylana yasaldi. Shu aylananing radiusini toping.

$l=\frac{\pi\cdot 24\cdot 75^\circ}{180^\circ}=10\pi$
Sektor yoyining uzunligi. Yangi aylananing uzunligi ham shunga teng.
$2\pi r=10\pi$
Yoy aylanaga aylandi, uzunlik o'zgarmadi.
$r=5$
Ikkala tomonni 2π ga bo'lamiz.

Javob: $5$

2-misol

Aylananing markazdan turli tomonda yotgan ikki parallel vatari $48$ va $14$ ga, ular orasidagi masofa $31$ ga teng. Aylana diametrini toping.

$R^2=d_1^2+24^2=d_2^2+7^2$
Har bir vatar uchun radius, masofa va vatar yarmidan to'g'ri burchakli uchburchak tuziladi.
$d_2^2-d_1^2=576-49=527$
Ikki ifodani tenglab, kvadratlar ayirmasini olamiz.
$d_1+d_2=31$
Markaz vatarlar orasida, shuning uchun masofalar qo'shiladi.
$d_2-d_1=\frac{527}{31}=17$
Kvadratlar ayirmasini yig'indiga bo'lamiz.
$d_1=7,\quad d_2=24$
Yig'indi va ayirmadan har birini topamiz.
$R=\sqrt{7^2+24^2}=25$
Katta vatar bo'yicha hisoblaymiz.
$D=2\cdot 25=50$
Diametr radiusdan ikki marta katta.

Javob: $50$

3-misol: burchakka chizilgan aylana va vatarga parallel ikki urinma

3-misol

Burchakka radiusi $13$ ga teng aylana ichki chizilgan. Urinish nuqtalarini tutashtiruvchi vatar $24$ ga teng. Aylanaga shu vatarga parallel ikkita urinma o'tkazilgan. Hosil bo'lgan trapetsiyaning asoslarini toping.

$OH=\sqrt{13^2-12^2}=5$
Markazdan vatargacha masofa.
$OV=\frac{13^2}{5}=\frac{169}{5}$
OEV to'g'ri burchakli uchburchakda EH balandlik, shuning uchun OE² = OH · OV.
$VH=\frac{169}{5}-5=\frac{144}{5}$
Burchak uchidan vatargacha masofa.
$\frac{EH}{VH}=12:\frac{144}{5}=\frac{5}{12}$
Burchak tomonining qiyaligi: uchdan h masofada kenglikning yarmi 5h/12 ga teng.
$h_1=\frac{169}{5}-13=\frac{104}{5}$
V dan yaqin urinmagacha masofa. Urinmalar markazdan 13 ga teng masofada.
$h_2=\frac{169}{5}+13=\frac{234}{5}$
V dan uzoq urinmagacha masofa.
$2\cdot\frac{5}{12}\cdot\frac{104}{5}=\frac{52}{3}$
Kichik asos. V ga yaqin urinma bo'yicha.
$2\cdot\frac{5}{12}\cdot\frac{234}{5}=39$
Katta asos. Tekshiruv: trapetsiyaga aylana ichki chizilgan, yon tomonlar yig'indisi ham 169/3 ga teng chiqadi.

Javob: $\dfrac{52}{3}$ va $39$

4-misol

Radiuslari $12$ va $4$ bo'lgan aylanalar $K$ nuqtada tashqi urinadi. To'g'ri chiziq birinchi aylanaga $M$ , ikkinchisiga $N$ nuqtada urinadi. $MNK$ uchburchak yuzini toping.

$MN=2\sqrt{12\cdot 4}=8\sqrt3$
Tashqi urinuvchi aylanalarning umumiy urinma kesmasi.
$KT=\frac{2\cdot 12\cdot 4}{12+4}=6$
K dan MN gacha masofa, ya'ni uchburchak balandligi.
$S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt3\cdot 6=24\sqrt3$
Asos va balandlik ko'paytmasining yarmi.

Javob: $24\sqrt3$

5-misol:

AB

AD

BK

ga urinuvchi aylana

ABK

uchburchakning ichki aylanasi

5-misol

Tomoni $15$ bo'lgan $ABCD$ kvadratning $AB$ va $AD$ tomonlari radiusi $6$ bo'lgan aylanaga urinadi. $B$ nuqtadan aylanaga o'tkazilgan ikkinchi urinma $CD$ tomonni $E$ nuqtada kesadi. $DE$ ni toping.

$BK\cap AD=K,\quad AK=y$
Urinmani AD davomi bilan kesishguncha cho'zamiz. Aylana ABK to'g'ri burchakli uchburchakka ichki chizilgan bo'ladi.
$6=\frac{15+y-\sqrt{15^2+y^2}}{2}$
To'g'ri burchakli uchburchakda r = (a + b − c) : 2.
$\sqrt{225+y^2}=y+3$
Ildizni bir tomonda qoldiramiz.
$225+y^2=y^2+6y+9$
Kvadratga ko'taramiz.
$6y=216,\quad y=36$
Tomonlar 15, 36, 39.
$\frac{DE}{AB}=\frac{KD}{KA}=\frac{36-15}{36}=\frac{7}{12}$
DE va AB parallel, KDE va KAB uchburchaklar o'xshash.
$DE=15\cdot\frac{7}{12}=\frac{35}{4}$
Tekshiruv: 35/4 < 15, demak E haqiqatan CD tomonda.

Javob: $\dfrac{35}{4}$

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
$d^2+a^2=R^2$	$d^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=R^2$ : vatarning yarmi olinadi
Ikki vatar orasidagi masofa doim $d_1+d_2$	Markaz vatarlar orasida bo'lsagina $d_1+d_2$ , bir tomonda bo'lsa $\|d_1-d_2\|$
Urinmalar orasidagi burchak kichik yoyga teng	U $180^\circ$ dan kichik yoyni ayirganiga teng
Tashqi urinma: $\sqrt{d^2-(R+r)^2}$	Tashqi urinma: $\sqrt{d^2-(R-r)^2}$ , ichki urinmada plyus
Tashqi nuqtada eng uzun va eng qisqa masofa yig'indisi diametr	Tashqi nuqtada ayirmasi diametr, ichki nuqtada yig'indisi diametr
$l=\dfrac{\pi R\alpha}{360^\circ}$	$l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ}$ : $360^\circ$ sektor yuzida bo'ladi

Eslab qoling

$C=2\pi R$ , $l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ}$ .
Vatar va masofa: $d^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=R^2$ .
Vatar va burchak: $a=2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$ .
Urinma radiusga perpendikulyar, bir nuqtadan ikki urinma kesmasi teng, $PA^2=OP^2-R^2$ .
Urinmalar orasidagi burchak: $\alpha=180^\circ-$ kichik yoy.
Tashqi umumiy urinma: $\sqrt{d^2-(R-r)^2}$ .
Ichki umumiy urinma: $\sqrt{d^2-(R+r)^2}$ .
Urinuvchi aylanalarda tashqi urinma: $2\sqrt{Rr}$ .
Urinish nuqtasidan tashqi urinmagacha: $\dfrac{2Rr}{R+r}$ .
Birinchi qadam doim bitta: markazni urinish nuqtasi yoki vatar uchlari bilan tutashtiring.