Ichki chizilgan va markaziy burchaklar: matematika darsi

Aylanadagi uch nuqta uni $2:3:4$ nisbatdagi yoylarga ajratsa, uchburchakning burchaklarini hisoblash uchun boshqa hech narsa kerak emas: yoylar $80^\circ$ , $120^\circ$ , $160^\circ$ , burchaklar esa ularning yarmi $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ . Aylanadagi burchak masalalarining kaliti shu: burchakni yoy orqali yozish. Bu darsda uchi turli joyda yotgan barcha burchaklarni shu usulda topamiz.

Markaziy burchak va yoyning gradus o'lchovi

Uchi aylana markazida yotgan burchak markaziy burchak deyiladi. Yoyning gradus o'lchovi unga mos markaziy burchakka teng. $A$ va $B$ nuqtalar ikkita yoy beradi, ularning yig'indisi $360^\circ$ : $\angle AOB=100^\circ$ bo'lsa, yoylar $100^\circ$ va $260^\circ$ .

Ichki chizilgan burchak

Uchi aylanada yotgan, tomonlari aylanani kesuvchi burchak ichki chizilgan burchak deyiladi. U tiralgan yoy burchak ichida yotadi va burchak uchini o'z ichiga olmaydi. Masalada avval shu yoyni aniq belgilang: boshqa yoy boshqa javob beradi.

\angle ACB

pastdagi

100^\circ

AB

yoyga tiralgan,

C

esa ustki yoyda

Ichki chizilgan burchak o'zi tiralgan yoyning yarmiga teng. Shu yoyga mos markaziy burchakdan ikki marta kichik.

\angle ACB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\frac{1}{2}\angle AOB

\overset{\frown}{AB}

burchak ichida yotgan yoy

Teoremaning isboti: markazning uch holati

1-hol. Burchakning bir tomoni diametr. $OC=OB$ , demak $OBC$ teng yonli va $\angle OCB=\angle OBC$ . $\angle AOB$ bu uchburchakning tashqi burchagi, u ikki teng burchak yig'indisiga teng. Bundan $\angle ACB=\dfrac{1}{2}\angle AOB$ .

Markaz burchak tomonida

2-hol. Markaz burchak ichida. $CD$ diametr o'tkazsak, burchak ikkita 1-hol burchagiga bo'linadi va ularni qo'shamiz.

Markaz burchak ichida: yig'indi

3-hol. Markaz burchak tashqarisida. Yana $CD$ diametr o'tkazamiz, lekin endi ikki burchakni ayiramiz: $\angle ACB=\angle DCB-\angle DCA$ . Quyidagi chizmada $\angle DCB=40^\circ$ , $\angle DCA=15^\circ$ , ayirmasi $25^\circ$ .

Markaz burchak tashqarisida: ayirma

Bir vatar ikki xil burchak ostida ko'rinadi

$AB$ vatar aylanani kichik va katta yoyga ajratadi. Burchak uchi qaysi yoyda yotishiga qarab, u boshqa yoyga tiraladi, shuning uchun ikkita qiymat bor.

Kichik yoy

100^\circ

C

katta yoyda:

50^\circ

D

kichik yoyda:

\dfrac{260^\circ}{2}=130^\circ

Burchak uchi	Tiraladigan yoy	Burchak
Burchak uchiKatta yoyda	Tiraladigan yoyKichik yoy $m$	BurchakO'tkir: $\dfrac{m}{2}$
Burchak uchiKichik yoyda	Tiraladigan yoyKatta yoy $360^\circ-m$	BurchakO'tmas: $180^\circ-\dfrac{m}{2}$
Burchak uchiVatar diametr, $m=180^\circ$	Tiraladigan yoyYarim aylana	BurchakTo'g'ri: $90^\circ$

Masalan, vatar aylanani $5:13$ nisbatdagi yoylarga ajratsa, yoylar $100^\circ$ va $260^\circ$ . Katta yoydan $50^\circ$ , kichik yoydan $130^\circ$ burchak ostida ko'rinadi. Teskari masala: vatar kichik yoy nuqtasidan $135^\circ$ ostida ko'rinsin, $R=8$ . Katta yoy $270^\circ$ , kichik yoy $90^\circ$ , vatar $8\sqrt2$ .

Masalada "ixtiyoriy nuqtadan" desa, avval qaysi yoy ekanini aniqlang. Ikki burchak yig'indisi doim 180°.

Teoremadan chiqadigan xulosalar

Bir yoyga tiralgan ichki chizilgan burchaklar teng.
Vatarning turli tomonidagi ichki chizilgan burchaklar yig'indisi $180^\circ$ . Shuning uchun aylanaga ichki chizilgan to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklar yig'indisi $180^\circ$ .
Diametrga tiralgan ichki chizilgan burchak to'g'ri burchak.
Teskarisi: to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi tashqi chizilgan aylananing diametri, $R=\dfrac{c}{2}$ .

Diametrga tiralgan burchak to'g'ri

Uchburchak va uning yoylari

Aylanadagi uch nuqta uchburchak yasaydi. Har bir burchak qarshisidagi yoyning yarmiga teng. Yoylar $180^\circ$ dan kichik bo'lsa, uchburchak o'tkir burchakli; bir yoy $180^\circ$ bo'lsa, to'g'ri burchakli; bir yoy $180^\circ$ dan katta bo'lsa, o'tmas burchakli.

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Sinuslar teoremasi:

a=2R\sin A

. O'tmas burchakda ham to'g'ri,

\sin(180^\circ-A)=\sin A

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish