Kesishuvchi vatarlar, urinma va kesuvchi

Ikki vatar aylana ichida kesishsa va $AP=2$, $PB=9$, $CP=3$ bo'lsa, $PD$ ni bitta amal bilan topamiz: $2\cdot 9=3\cdot PD$, $PD=6$. Aylana bilan kesishgan har qanday ikki chiziqda shunday ko'paytma saqlanadi. Bu darsda shu qoidani uch holatda, kelib chiqishi va shartlari bilan o'rganamiz.

Kesishuvchi vatarlar

Aylana ichida kesishgan ikki vatarda har bir vatar bo'laklarining ko'paytmasi bir xil.

Isboti: $APC$ va $DPB$ uchburchaklarda $P$ dagi burchaklar vertikal, $\angle CAB=\angle CDB$ esa bir yoyga tiralgan. Demak uchburchaklar o'xshash va $\dfrac{AP}{DP}=\dfrac{CP}{BP}$. Ko'paytirsak, qoida chiqadi.

Ishlatilishi uch xil:

• Bitta bo'lak noma'lum: $5\cdot 6=3\cdot x$, $x=10$.
• Bo'laklar nisbati berilgan: $AO=4$, $OB=12$, $CD$ bo'laklari $1:3$ bo'lsa, $x\cdot 3x=48$, $x=4$, $CD=4x=16$.
• Butun vatar va ko'paytma berilgan: vatar $29$, ko'paytma $100$ bo'lsa, $x(29-x)=100$, bo'laklar $4$ va $25$.

Diametr: ichki nuqta markazdan qancha uzoqda

$P$ nuqtadan o'tuvchi diametr ham vatar. U $P$ da $R-d$ va $R+d$ bo'laklarga bo'linadi, $d=OP$. Shuning uchun $P$ dan o'tuvchi har qanday vatar uchun ko'paytma bir xil son:

Masalan, $R=11$, $AC=8$, $CB=12$ bo'lsa, $121-OC^2=96$, $OC=5$. Bunday masalada vatar uzunligi $2\sqrt{R^2-d^2}$ dan kichik va $2R$ dan katta bo'la olmaydi: eng qisqa vatar $OP$ ga perpendikulyar, eng uzuni diametr.

Diametrga perpendikulyar vatar

Diametrga perpendikulyar vatar teng ikkiga bo'linadi, shuning uchun qoidaning ikki ko'paytuvchisi teng bo'ladi:

Nisbat berilsa, avval diametrni bo'lamiz: radius $13$, nisbat $4:9$ bo'lsa, $26:13=2$, bo'laklar $8$ va $18$.

Ikki kesuvchi

$P$ aylana tashqarisida bo'lsin. Kesuvchi aylanani $A$ va $B$ da kessin, $A$ yaqinroq. $PA$ tashqi qism, $AB$ ichki qism, $PB$ butun kesuvchi deyiladi.

Bir nuqtadan o'tkazilgan ikki kesuvchida butun kesuvchi va uning tashqi qismi ko'paytmasi bir xil.

Isboti: $PAD$ va $PCB$ uchburchaklarda $P$ burchagi umumiy, $\angle PDA=\angle PBC$ bir yoyga tiralgan. O'xshashlikdan $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$.