Koordinatalar: masofa, to'g'ri chiziq va aylana tenglamasi: matematika darsi

$A(1;\,1)$ va $B(5;\,4)$ nuqtalar orasidagi masofani o'lchamasdan ham aytish mumkin: u $5$ ga teng. Koordinatalar geometriyani hisobga aylantiradi: masofa, burchak, urinish va yuz sonlar bilan topiladi. Bu darsda tekislikdagi va fazodagi har bir formula, to'g'ri chiziq va aylana tenglamalari, ularning o'zaro joylashuvi to'liq beriladi.

Koordinatalar tekisligi

O'zaro perpendikulyar $Ox$ va $Oy$ o'qlar kesishgan $O$ nuqta koordinata boshi deyiladi. Nuqtaning $A(x;\,y)$ yozuvida birinchi son abssissa, ikkinchi son ordinata. O'qlar tekislikni to'rt chorakka bo'ladi:

Joy	Abssissa	Ordinata	Misol
JoyI chorak	Abssissa $x>0$	Ordinata $y>0$	Misol $(2;\,3)$
JoyII chorak	Abssissa $x<0$	Ordinata $y>0$	Misol $(-2;\,3)$
JoyIII chorak	Abssissa $x<0$	Ordinata $y<0$	Misol $(-2;\,-3)$
JoyIV chorak	Abssissa $x>0$	Ordinata $y<0$	Misol $(2;\,-3)$
Joy $Ox$ o'qida	Abssissaistalgan	Ordinata $y=0$	Misol $(4;\,0)$
Joy $Oy$ o'qida	Abssissa $x=0$	Ordinataistalgan	Misol $(0;\,-5)$

Simmetrik nuqtalar: $(x;\,y)$ nuqtaga $Ox$ o'qiga nisbatan $(x;\,-y)$ , $Oy$ o'qiga nisbatan $(-x;\,y)$ , koordinata boshiga nisbatan $(-x;\,-y)$ , $y=x$ to'g'ri chiziqqa nisbatan $(y;\,x)$ nuqta simmetrik.

Ikki nuqta orasidagi masofa

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

A(x_1;\,y_1)

B(x_2;\,y_2)

. Har qanday ikki nuqta uchun o'rinli

Koordinatalar ayirmalari katetlar,

AB

gipotenuza:

{AB=\sqrt{4^2+3^2}=5}

Formula Pifagor teoremasining o'zi. Ayirmalar kvadratga oshgani uchun nuqtalarning tartibi va ayirma ishorasi ahamiyatsiz: $A(-2;\,3)$ , $B(1;\,-1)$ da $AB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$ .

Xususiy hol	Formula	Misol
Xususiy holkoordinata boshigacha	Formula $OA=\sqrt{x^2+y^2}$	Misol $A(5;\,-12)$ : $OA=13$
Xususiy holabssissalar teng	Formula $AB=\|y_2-y_1\|$	Misol $(3;\,-2)$ , $(3;\,5)$ : $AB=7$
Xususiy holordinatalar teng	Formula $AB=\|x_2-x_1\|$	Misol $(-4;\,1)$ , $(2;\,1)$ : $AB=6$

Noma'lum nuqta ikki nuqtadan teng uzoqlikda bo'lsa, masofalar kvadratlarini tenglaymiz, $x^2$ va $y^2$ qisqaradi. $A(1;\,3)$ va $B(5;\,1)$ dan teng uzoqlikdagi $Ox$ o'qi nuqtasi $X(x;\,0)$ uchun: $(x-1)^2+9=(x-5)^2+1$ , bundan $8x=16$ , $x=2$ . Tekshiruv: $XA^2=XB^2=10$ .

Uchburchak turi tomonlar kvadratlaridan bilinadi: eng katta tomon kvadrati qolgan ikkitasi kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, burchak to'g'ri; katta bo'lsa o'tmas, kichik bo'lsa o'tkir.

Kesma o'rtasi

M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

Koordinatalar yig'indisining yarmi, ayirmasi emas

Bir uchi va o'rtasi berilsa, ikkinchi uch shunday topiladi:

x_2=2x_M-x_1

y_2=2y_M-y_1

A(1;\,-4)

M(3;\,2)

bo'lsa,

{x_2=2\cdot 3-1=5}

{y_2=2\cdot 2+4=8}

, ya'ni

B(5;\,8)

Kesmani berilgan nisbatda bo'lish

x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}

y=\frac{ny_1+my_2}{m+n}

M

nuqta

AB

kesmada yotadi,

{AM:MB=m:n}

{m>0}

{n>0}

$A$ ning koordinatasi $n$ ga, $B$ niki $m$ ga ko'payadi: $M$ qaysi uchga yaqin bo'lsa, o'sha uchning ulushi katta. $m=n$ da kesma o'rtasi chiqadi.

M\left(\frac{1+14}{3};\ \frac{1+8}{3}\right)=M(5;\,3)

A(1;\,1)

B(7;\,4)

{AM:MB=2:1}

bo'lganda

$M$ kesmaning davomida yotsa, formula o'zgaradi:

x=\frac{mx_2-nx_1}{m-n}

y=\frac{my_2-ny_1}{m-n}

{AM:MB=m:n}

{m\ne n}

$A(1;\,1)$ , $B(3;\,2)$ va $B$ dan keyin ${AM:MB=2:1}$ bo'lsa, ${x=2\cdot 3-1=5}$ , ${y=2\cdot 2-1=3}$ , ya'ni $M(5;\,3)$ . Tekshiruv: ${AM=2\sqrt{5}}$ , ${MB=\sqrt{5}}$ .

AM:MB=2:1

M(5;\,3)

nuqta

B

ga yaqinroq

Bissektrisa asosi shu formula bilan topiladi, chunki bissektrisa qarama-qarshi tomonni qo'shni tomonlarga proporsional bo'laklarga bo'ladi: $ABC$ da $AL$ bissektrisa bo'lsa, $BL:LC=AB:AC$ .

Medianalar kesishgan nuqta

x_G=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}

y_G=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}

G

medianalar kesishgan nuqta. Medianalar

2:1

nisbatda bo'linadi, uchdan boshlab

Mediana uchni qarama-qarshi tomon o'rtasi bilan tutashtiradi, shuning uchun avval o'rta nuqta topiladi, keyin masofa formulasi qo'llanadi.

Uchburchak va ko'pburchak yuzi

S=\frac{1}{2}\left|p-q\right|

p=(x_2-x_1)(y_3-y_1)

q=(x_3-x_1)(y_2-y_1)

Uchlari

(x_1;\,y_1)

(x_2;\,y_2)

(x_3;\,y_3)

S=0

bo'lsa, nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotadi

Bir tomoni o'qda yotsa, oddiy $S=\dfrac{1}{2}ah$ tezroq: balandlik uchinchi uchning koordinatasi modulidir. Qavariq ko'pburchak diagonallar bilan uchburchaklarga bo'linadi.

Yuzni teng bo'lish masalasi: $A(0;\,0)$ , $B(2;\,4)$ , $C(6;\,4)$ , $D(8;\,0)$ trapetsiya yuzi $\dfrac{8+4}{2}\cdot 4=24$ . $CD$ da shunday $E$ olaylikki, $AE$ yuzni teng ikkiga bo'lsin. Unda $AED$ uchburchak yuzi $12$ :

\frac{1}{2}\cdot 8\cdot y_E=12

y_E=3

CD

to'g'ri chizig'i

{y=-2(x-8)}

, bundan

{x_E=6{,}5}

E(6{,}5;\,3)

To'g'ri chiziq tenglamasi

Ko'rinish	Tenglama	Sharti va ma'nosi
Ko'rinishburchak koeffitsiyentli	Tenglama $y=kx+b$	Sharti va ma'nosi $Oy$ ga parallel emas; $(0;\,b)$ dan o'tadi
Ko'rinishumumiy	Tenglama $ax+by+c=0$	Sharti va ma'nosi $a$ , $b$ bir vaqtda nol emas; $b\ne 0$ da $k=-\dfrac{a}{b}$
Ko'rinishnuqta va koeffitsiyent	Tenglama $y-y_0=k(x-x_0)$	Sharti va ma'nosi $(x_0;\,y_0)$ dan o'tadi
Ko'rinishkesmalarda	Tenglama $\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1$	Sharti va ma'nosi $p,q\ne 0$ ; o'qlarni $(p;\,0)$ , $(0;\,q)$ da kesadi
Ko'rinishvertikal	Tenglama $x=c$	Sharti va ma'nosi $Oy$ ga parallel ( $c=0$ da $Oy$ ning o'zi), $k$ mavjud emas
Ko'rinishgorizontal	Tenglama $y=c$	Sharti va ma'nosi $Ox$ ga parallel ( $c=0$ da $Ox$ ning o'zi), $k=0$

Nuqta to'g'ri chiziqda yotishi uchun uning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi kerak. O'qlar bilan kesishish: $Ox$ bilan $y=0$ deb, $Oy$ bilan $x=0$ deb topiladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasi ularning sistemasini yechish bilan topiladi.

Burchak koeffitsiyenti va og'ish burchagi

k=\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

x_1\ne x_2

\alpha

burchak

Ox

o'qining musbat yo'nalishidan chiziqqacha soat miliga teskari o'lchanadi,

{0^\circ\le\alpha<180^\circ}

{\alpha\ne 90^\circ}

{y=x+2}

{k=1}

{\alpha=45^\circ}

{y=-x+6}

{k=-1}

{\alpha=135^\circ}

{k_1k_2=-1}

, chiziqlar perpendikulyar

$\alpha$	$k$
$0^\circ$	$0$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$
$120^\circ$	$-\sqrt{3}$
$135^\circ$	$-1$
$150^\circ$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$k>0$ da chiziq o'sadi va $\alpha$ o'tkir, $k<0$ da kamayadi va $\alpha$ o'tmas, $k=0$ da chiziq gorizontal va $\alpha=0^\circ$ . $\alpha=90^\circ$ da chiziq vertikal, $k$ mavjud emas. Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq: $(1;\,2)$ , $(3;\,8)$ uchun $k=\dfrac{8-2}{3-1}=3$ , $y-2=3(x-1)$ , ya'ni $y=3x-1$ .

Chiziq o'qlar bilan uchburchak hosil qilsa, uning yuzi quyidagicha:

S=\frac{1}{2}|p||q|

S=\frac{b^2}{2|k|}

p

q

o'qlardan ajratilgan kesmalar. Ikkinchi formula

{y=kx+b}

uchun,

{k\ne 0}

{b\ne 0}

Masalan, ${2x-3y+12=0}$ o'qlarni $(-6;\,0)$ va $(0;\,4)$ da kesadi, ${S=12}$ .

Chiziq burchagi va bitta nuqtasi berilsa ham shunday. ${\alpha=30^\circ}$ va $K(-3\sqrt{3};\,2)$ uchun ${k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ , ${2=-3+b}$ , ${b=5}$ :

S=\frac{25}{2k}=\frac{25\sqrt{3}}{2}

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvi

Holat	$y=k_1x+b_1$ , $y=k_2x+b_2$	$a_1x+b_1y+c_1=0$ , $a_2x+b_2y+c_2=0$
Holatkesishadi	$y=k_1x+b_1$ , $y=k_2x+b_2$ $k_1\ne k_2$	$a_1x+b_1y+c_1=0$ , $a_2x+b_2y+c_2=0$ $a_1b_2-a_2b_1\ne 0$
Holatparallel	$y=k_1x+b_1$ , $y=k_2x+b_2$ $k_1=k_2$ , $b_1\ne b_2$	$a_1x+b_1y+c_1=0$ , $a_2x+b_2y+c_2=0$ $a_1b_2-a_2b_1=0$ , ustma-ust emas
Holatustma-ust	$y=k_1x+b_1$ , $y=k_2x+b_2$ $k_1=k_2$ , $b_1=b_2$	$a_1x+b_1y+c_1=0$ , $a_2x+b_2y+c_2=0$ barcha koeffitsiyentlar proporsional
Holatperpendikulyar	$y=k_1x+b_1$ , $y=k_2x+b_2$ $k_1k_2=-1$	$a_1x+b_1y+c_1=0$ , $a_2x+b_2y+c_2=0$ $a_1a_2+b_1b_2=0$

$k_1k_2=-1$ sharti faqat ikkala chiziqda ham $k$ mavjud bo'lganda ishlaydi. $x=2$ va $y=5$ chiziqlar perpendikulyar, lekin birida $k$ yo'q; umumiy ko'rinishdagi ${a_1a_2+b_1b_2=0}$ sharti esa bu holatni ham qamraydi: $1\cdot 0+0\cdot 1=0$ . Parallellik ham shunday: $x=1$ va $x=4$ parallel, lekin ularda $k$ yo'q, umumiy ko'rinishdagi ${a_1b_2-a_2b_1=0}$ esa bajariladi.

\mathrm{tg}\,\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|

1+k_1k_2\ne 0

Ikki chiziq orasidagi o'tkir burchak. Masalan,

k_1=3

k_2=\dfrac{1}{2}

\mathrm{tg}\,\varphi=1

\varphi=45^\circ

Formula ikkala $k$ mavjud bo'lganda ishlaydi: $k_1=k_2$ da $\varphi=0^\circ$ , $1+k_1k_2=0$ da $\varphi=90^\circ$ . Chiziqlardan biri vertikal, ikkinchisida $k\ne 0$ bo'lsa, $\mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{1}{|k|}$ : $x=2$ va $y=\sqrt{3}\,x$ uchun $\mathrm{tg}\,\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $\varphi=30^\circ$ .

${a_1x+b_1y+c_1=0}$ va ${a_2x+b_2y+c_2=0}$ chiziqlar uchun, barcha hollarda:

\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

{0^\circ\le\varphi\le 90^\circ}

, vektorlar orasidagi burchak esa

180^\circ

gacha, shuning uchun bu yerda modul turadi

Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofa

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(x_0;\,y_0)

nuqta, chiziq albatta

ax+by+c=0

ko'rinishida yoziladi

{3x+4y-12=0}

{d=\dfrac{|{-12}|}{\sqrt{9+16}}=2{,}4}

. Xuddi shu balandlik:

{\dfrac{3\cdot 4}{5}=2{,}4}

Nuqtadan chiziqqacha eng qisqa masofa perpendikulyar bo'ylab o'lchanadi. Koordinata boshidan masofa $d=\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Chiziq ikkala o'qni kesib, koordinata boshidan o'tmasa, $d$ o'qlar va chiziq hosil qilgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga balandligi, ya'ni katetlar ko'paytmasi taqsim gipotenuza.

d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Parallel chiziqlar

{ax+by+c_1=0}

{ax+by+c_2=0}

orasidagi masofa:

a

b

ikkalasida bir xil bo'lishi shart

$3x+4y-5=0$ va $6x+8y+15=0$ chiziqlarda avval ikkinchisini $2$ ga bo'lamiz: $3x+4y+7{,}5=0$ . Unda $d=\dfrac{12{,}5}{5}=2{,}5$ .

Aylana va doira tenglamasi

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

R>0

Markazi

(a;\,b)

, radiusi

R

: aylananing har bir nuqtasi markazdan

R

masofada

Qavs ichidagi ishora markaz koordinatasiga teskari: $(x+3)^2+(y-2)^2=16$ aylananing markazi $(-3;\,2)$ , radiusi $4$ . Markaz koordinata boshida bo'lsa, $x^2+y^2=R^2$ . Aylana uzunligi $C=2\pi R$ , doira yuzi $S=\pi R^2$ .

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

Ochilgan ko'rinish:

x^2

y^2

oldidagi koeffitsiyentlar teng,

xy

qatnashmaydi

\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2

=\frac{D^2+E^2}{4}-F

To'liq kvadrat ajratilgach markaz

\left(-\dfrac{D}{2};\,-\dfrac{E}{2}\right)

O'ng tomon	Tenglama nimani beradi	Misol
O'ng tomonmusbat	Tenglama nimani beradiaylana	Misol $x^2+y^2+8x-6y-11=0$ : $(x+4)^2+(y-3)^2=36$ , $R=6$
O'ng tomonnol	Tenglama nimani beradibitta nuqta	Misol $x^2+y^2-4x+2y+5=0$ : faqat $(2;\,-1)$
O'ng tomonmanfiy	Tenglama nimani beradibo'sh to'plam	Misol $x^2+y^2-4x+2y+6=0$ : $(x-2)^2+(y+1)^2=-1$

Koeffitsiyentlar $1$ dan farqli bo'lsa, avval bo'linadi: $2x^2+2y^2-4x-16=0$ tenglama $x^2+y^2-2x-8=0$ ga, ya'ni $(x-1)^2+y^2=9$ ga aylanadi.

Tengsizlik doirani beradi: $(x-a)^2+(y-b)^2\le R^2$ yopiq doira. $x^2+y^2\le 2x+4y+4$ bo'lsa, $(x-1)^2+(y-2)^2\le 9$ , yuzi $9\pi$ .

Konsentrik aylanalarning markazi bir xil. $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ aylana bilan konsentrik va $(4;\,2)$ nuqtadan o'tuvchi aylana: markaz $(1;\,-2)$ , $R^2=3^2+4^2=25$ , tenglama $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ .

Tengsizlikda modul bo'lsa, ishora bo'yicha holatlarga ajratamiz. ${x^2+y^2\le 4|x|}$ uchun:

x\ge 0:\ \ (x-2)^2+y^2\le 4

x\le 0:\ \ (x+2)^2+y^2\le 4

Ikki doira faqat koordinata boshida uchrashadi, yuz

{2\cdot\pi\cdot 4=8\pi}

{x^2+y^2\le 4|x|}

: markazlari

(\pm 2;\,0)

, radiusi

2

bo'lgan ikki doira,

{S=8\pi}

${|x|+|y|\le 3}$ esa uchlari $(\pm 3;\,0)$ , $(0;\,\pm 3)$ bo'lgan kvadrat, diagonali $6$ , yuzi ${\dfrac{6\cdot 6}{2}=18}$ .

Nuqta va aylana

$M$ nuqtadan markazgacha masofa $d$ bo'lsin. Nuqtaning o'rni $d$ ni $R$ bilan solishtirishdan bilinadi:

Shart	Nuqtaning o'rni	Aylanagacha eng qisqa masofa
Shart $d<R$	Nuqtaning o'rniaylana ichida	Aylanagacha eng qisqa masofa $R-d$
Shart $d=R$	Nuqtaning o'rniaylanada	Aylanagacha eng qisqa masofa $0$
Shart $d>R$	Nuqtaning o'rniaylana tashqarisida	Aylanagacha eng qisqa masofa $d-R$

Qisqasi, eng qisqa masofa $|d-R|$ , eng uzun masofa $d+R$ . Tashqi nuqtadan o'tkazilgan urinma uzunligi Pifagor teoremasidan chiqadi: urinish nuqtasiga borgan radius urinmaga perpendikulyar.

MT=\sqrt{d^2-R^2}

d>R

M

dan

T

urinish nuqtasigacha. Bir nuqtadan o'tkazilgan ikki urinma teng

R=3

d=5

: urinma

MT=4

, aylanagacha eng qisqa masofa

MN=2

To'g'ri chiziq va aylana

$d$ markazdan chiziqqacha masofa bo'lsin:

Shart	Umumiy nuqtalar	Nomi
Shart $d<R$	Umumiy nuqtalar $2$ ta	Nomikesuvchi, vatar ajratadi
Shart $d=R$	Umumiy nuqtalar $1$ ta	Nomiurinma
Shart $d>R$	Umumiy nuqtalaryo'q	Nomiumumiy nuqtasi yo'q

AB=2\sqrt{R^2-d^2}

d<R

Vatar uzunligi. Perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo'ladi;

d=0

da vatar diametr

Markazi

(2;\,-1)

R=13

, chiziq

3x+4y+23=0

d=5

, vatar yarmi

12

, vatar

24

O'qdan ajratilgan kesma uchun tenglamaga $y=0$ yoki $x=0$ qo'yamiz. $x^2+y^2-7x-4y+6=0$ da $y=0$ : $x^2-7x+6=0$ , $x_1=1$ , $x_2=6$ , kesma $6-1=5$ . Aylana $Ox$ ga urinadi, agar $|b|=R$ bo'lsa, $Oy$ ga urinadi, agar $|a|=R$ bo'lsa.

Urinish sharti $d=R$ . $4x-3y+k=0$ chiziq $x^2+y^2=25$ ga urinsa, $\dfrac{|k|}{5}=5$ , demak $k=25$ yoki $k=-25$ : bir yo'nalishda doim ikkita urinma bor.

Aylanadagi nuqtadan o'tkazilgan urinma

$T(x_0;\,y_0)$ nuqta aylanada yotsa, urinma $CT$ radiusga perpendikulyar. Radiusning koeffitsiyenti $k_r$ bo'lsa, urinmaniki $k=-\dfrac{1}{k_r}$ . Radius vertikal bo'lsa urinma gorizontal, radius gorizontal bo'lsa urinma vertikal, bunda $k$ formulasi ishlamaydi. Barcha hollar uchun bitta formula bor:

(x_0-a)(x-a)

+(y_0-b)(y-b)=R^2

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

aylanaga

T(x_0;\,y_0)

nuqtada urinma

Avval nuqta aylanada yotishini tekshiring: u tashqarida bo'lsa, shu nuqtadan ikkita urinma o'tadi va bu formula yaramaydi.

Tashqi nuqtadan urinma uchun ${y-y_0=k(x-x_0)}$ deb yozamiz va ${d=R}$ shartidan $k$ ni topamiz. $k$ uchun bitta qiymat chiqsa, ikkinchi urinma vertikal: ${x=x_0}$ . Masalan, ${x^2+y^2=9}$ va $M(3;\,5)$ uchun:

kx-y+5-3k=0

\frac{|5-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=3

Kvadratga oshirsak,

{25-30k=9}

{k=\dfrac{8}{15}}

. Ikkinchi urinma

{x=3}

: markazdan masofa

{3=R}

Ikki aylananing o'zaro joylashuvi

Radiuslar $r_1$ , $r_2$ , markazlar orasidagi masofa $d$ bo'lsin:

Shart	Joylashuv	Umumiy nuqtalar
Shart $d>r_1+r_2$	Joylashuvbir-biridan tashqarida	Umumiy nuqtalaryo'q
Shart $d=r_1+r_2$	Joylashuvtashqi urinish	Umumiy nuqtalar $1$ ta
Shart $\|r_1-r_2\|<d<r_1+r_2$	Joylashuvkesishadi	Umumiy nuqtalar $2$ ta
Shart $d=\|r_1-r_2\|$ , $r_1\ne r_2$	Joylashuvichki urinish	Umumiy nuqtalar $1$ ta
Shart $d<\|r_1-r_2\|$	Joylashuvbiri ikkinchisi ichida	Umumiy nuqtalaryo'q
Shart $d=0$ , $r_1=r_2$	Joylashuvustma-ust	Umumiy nuqtalarcheksiz ko'p

Tashqi urinish:

d=2+3=5

Ichki urinish:

d=5-3=2

"Urinadi" deyilib, turi aytilmasa, ikkala holat ham tekshiriladi. Radius parametr bilan berilsa, $x^2+y^2=k^2$ da radius $k$ emas, $|k|$ , bunda ${k\ne 0}$ .

Uchburchakka tashqi chizilgan aylana

Markaz $P(x;\,y)$ uchta uchdan teng uzoqlikda. $PA^2=PB^2$ va $PA^2=PC^2$ tengliklarida kvadratlar qisqaradi, ikkita chiziqli tenglama qoladi. $A(5;\,5)$ , $B(-1;\,5)$ , $C(6;\,-2)$ uchun birinchisi $x=2$ , ikkinchisi $x-7y+5=0$ ni beradi, demak $P(2;\,1)$ va $R=5$ . To'g'ri burchakli uchburchakda markaz gipotenuzaning o'rtasi.

Fazoda koordinatalar

Fazoda nuqta uchta koordinata bilan beriladi: $A(x;\,y;\,z)$ . Formulalar tekislikdagi bilan bir xil, faqat uchinchi qo'shiluvchi qo'shiladi:

AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2

+(z_2-z_1)^2

Masofa kvadrati,

AB

undan ildiz chiqarib topiladi

z_M=\frac{z_1+z_2}{2}

z_G=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}

Kesma o'rtasi

M

va medianalar kesishgan nuqta

G

ning uchinchi koordinatasi.

x

y

tekislikdagidek

(x-a)^2+(y-b)^2

+(z-c)^2=R^2

Sfera: markazi

(a;\,b;\,c)

, radiusi

R

$A(1;\,-2;\,3)$ , $B(3;\,2;\,-1)$ uchun $AB=\sqrt{4+16+16}=6$ , o'rtasi $(2;\,0;\,1)$ . O'qlar va tekisliklar: $Ox$ o'qida $y=z=0$ ; $XOY$ tekisligida $z=0$ , $XOZ$ da $y=0$ , $YOZ$ da $x=0$ . $(x;\,y;\,z)$ nuqtadan $XOY$ tekisligigacha masofa $|z|$ , $Oz$ o'qigacha masofa $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Ishlangan misollar

1-misol

$A(-2;\,1)$ , $B(4;\,3)$ , $C(2;\,-3)$ uchburchak uchlari. Uchburchak turini, $B$ dan chiqqan mediana uzunligini va yuzini toping.

$AB^2=36+4=40$
Tomonlar kvadratlarini hisoblaymiz: ildiz kerak bo'lmaydi va solishtirish oson.
$BC^2=4+36=40$
$AB=BC$ , uchburchak teng yonli.
$AC^2=16+16=32$
Uchinchi tomon, ya'ni asos.
$M\left(\frac{-2+2}{2};\,\frac{1-3}{2}\right)=M(0;\,-1)$
$B$ dan chiqqan mediana $AC$ ning o'rtasiga boradi.
$BM=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$
Masofa formulasi: ayirmalar $4$ va $4$ . Teng yonli uchburchakda bu mediana balandlik ham.
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=16$
$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ asos, $BM$ balandlik. Formula ham shuni beradi: $\dfrac{1}{2}|6\cdot(-4)-4\cdot 2|=16$ .

Javob: teng yonli; $BM=4\sqrt{2}$ ; $S=16$

2-misol

$P(6;\,0)$ nuqtadan $2x-y+3=0$ to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosini va uzunligini toping.

$y=2x+3,\quad k=2$
Chiziqning koeffitsiyentini aniqlaymiz.
$k_1=-\frac{1}{2},\quad y=-\frac{1}{2}(x-6)$
Perpendikulyar uchun $k_1\cdot 2=-1$ . U $P$ nuqtadan o'tadi.
$2x+3=-\frac{1}{2}x+3$
Ikki chiziqni kesishtiramiz. Bundan ${x=0}$ , ${y=3}$ : asos $H(0;\,3)$ .
$PH=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$
Tekshiruv: masofa formulasi $\dfrac{|12-0+3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$ .

Javob: $H(0;\,3)$ , $PH=3\sqrt{5}$

3-misol

Quyidagi aylana ${3x+4y+23=0}$ to'g'ri chiziqdan ajratgan vatar uzunligini toping:

x^2+y^2-4x+2y-164=0

$(x-2)^2+(y+1)^2=169$
To'liq kvadrat ajratamiz, ${4+1+164=169}$ : markaz $(2;\,-1)$ , ${R=13}$ .
$d=\frac{|6-4+23|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5$
Markazdan chiziqqacha masofa, $(2;\,-1)$ ni qo'yamiz. $d<R$ , demak chiziq aylanani kesadi.
$AB=2\sqrt{169-25}=2\cdot 12=24$
Radius, masofa va vatar yarmi to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi.

Javob: $24$

4-misol

$x^2+y^2-6x-2y-15=0$ aylanaga $T(6;\,5)$ nuqtada o'tkazilgan urinma tenglamasini toping.

$(x-3)^2+(y-1)^2=25$
To'liq kvadrat ajratamiz, ${9+1+15=25}$ : markaz $C(3;\,1)$ , ${R=5}$ .
$(6-3)^2+(5-1)^2=9+16=25$
$T$ haqiqatan aylanada yotadi, urinma bitta.
$k_r=\frac{5-1}{6-3}=\frac{4}{3},\quad k=-\frac{3}{4}$
Urinma $CT$ radiusga perpendikulyar, koeffitsiyentlar ko'paytmasi $-1$ .
$y-5=-\frac{3}{4}(x-6)$
Nuqta va koeffitsiyent bo'yicha tenglama.
$3x+4y-38=0$
Qavsni ochib, $4$ ga ko'paytiramiz. Tekshiruv: markazdan masofa $\dfrac{|9+4-38|}{5}=5=R$ .

Javob: $3x+4y-38=0$

4-misol:

3x+4y-38=0

urinma

T(6;\,5)

nuqtada

CT

radiusga perpendikulyar

5-misol

$a$ ning qanday qiymatlarida $x^2+y^2=9$ va $(x-a)^2+(y-4)^2=4$ aylanalar urinadi?

$O_1(0;\,0),\ r_1=3$
Birinchi aylananing markazi va radiusi.
$O_2(a;\,4),\ r_2=2$
Ikkinchi aylananing markazi va radiusi.
$d^2=a^2+16$
Markazlar orasidagi masofa kvadrati.
$a^2+16=(3+2)^2$
Tashqi urinish: ${d=r_1+r_2}$ .
$a^2=9,\quad a=\pm 3$
Ikkala qiymatda ham ${d=5}$ .
$a^2+16=(3-2)^2,\quad a^2=-15$
Ichki urinish: $d=|r_1-r_2|$ . Yechim yo'q, chunki $d\ge 4$ .

Javob: $a=\pm 3$

6-misol

$A(0;\,0)$ , $B(6;\,8)$ , $C(5;\,0)$ uchburchakda $AL$ bissektrisa uzunligini toping.

$AB=\sqrt{36+64}=10,\quad AC=5$
Bissektrisaga qo'shni tomonlar.
$BL:LC=10:5=2:1$
Bissektrisa qarama-qarshi tomonni qo'shni tomonlarga proporsional bo'ladi.
$x_L=\frac{6+2\cdot 5}{3}=\frac{16}{3}$
Nisbatda bo'lish: ${m=2}$ , ${n=1}$ , shuning uchun $B$ koordinatasi $1$ ga, $C$ niki $2$ ga ko'payadi.
$y_L=\frac{8+2\cdot 0}{3}=\frac{8}{3}$
Ordinata ham shunday.
$AL^2=\frac{256+64}{9}=\frac{320}{9}$
$A$ koordinata boshida, shuning uchun masofa oddiy.
$AL=\sqrt{\frac{320}{9}}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$
${320=64\cdot 5}$ , shuning uchun ildizdan $8\sqrt{5}$ chiqadi.

Javob: $\dfrac{8\sqrt{5}}{3}$

6-misol:

BL:LC=2:1

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
$(x-3)^2$ va $(y+2)^2$ bo'lsa, markaz $(3;\,2)$	markaz $(3;\,-2)$
${R^2=16}$ bo'lsa, radius $16$	radius ${\sqrt{16}=4}$
kesma o'rtasi $\dfrac{x_2-x_1}{2}$	$\dfrac{x_1+x_2}{2}$
$AM:MB=2:1$ da $x=\dfrac{2x_1+x_2}{3}$	$x=\dfrac{x_1+2x_2}{3}$
$2x+3y=6$ da $d=\dfrac{\|2x_0+3y_0\|}{\sqrt{13}}$	$d=\dfrac{\|2x_0+3y_0-6\|}{\sqrt{13}}$
$y=2x+1$ ga perpendikulyar chiziqda $k=\dfrac{1}{2}$	$k=-\dfrac{1}{2}$
vatar $\sqrt{R^2-d^2}$	vatar $2\sqrt{R^2-d^2}$
tashqi nuqtadan aylanagacha masofa $d$	$d-R$
$x^2+y^2=k^2$ da radius $k$	radius $\|k\|$
aylanalar urinadi: faqat $d=r_1+r_2$	ichki urinish $d=\|r_1-r_2\|$ ham tekshiriladi
$3x+4y-5=0$ , $6x+8y+15=0$ : $d=\dfrac{20}{5}$	avval $a$ , $b$ tenglanadi: $d=\dfrac{12{,}5}{5}$

Eslab qoling

Masofa: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ; fazoda $(z_2-z_1)^2$ ham qo'shiladi.
O'rtasi: $\dfrac{x_1+x_2}{2}$ .
Nisbatda: $\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n}$ .
Medianalar nuqtasi: $\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$ .
${k=\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ .
$k$ mavjud bo'lsa, parallel: ${k_1=k_2}$ ; perpendikulyar: ${k_1k_2=-1}$ .
Nuqtadan chiziqqacha: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .
Aylana: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; ochilgan bo'lsa, to'liq kvadrat ajrating.
Vatar: $2\sqrt{R^2-d^2}$ ; urinma uzunligi: $\sqrt{d^2-R^2}$ ; urinish: $d=R$ .
Aylanalar urinishi: $d=r_1+r_2$ yoki $d=|r_1-r_2|$ .