Vektorning koordinatalari va uzunligi: matematika darsi

$A$ nuqtadan $B$ ga borish uchun $3$ birlik o'ngga va $4$ birlik yuqoriga yurish kerak: bu ko'chish $(3;\,4)$ vektor, uzunligi esa $5$ . Vektor ham son, ham yo'nalish haqida xabar beradi. Shuning uchun parallelogramm uchini, mediana uzunligini va murakkab yig'indilarni vektorlar bilan bir necha qatorda topish mumkin. Bu darsda koordinatalar, amallar, uzunlik va ularning geometrik ma'nosi to'liq beriladi.

Vektor nima

Vektor yo'nalgan kesma. $\overrightarrow{AB}$ da $A$ boshi, $B$ oxiri. Uni bitta harf bilan ham yozamiz: $\vec a$ .

Tushuncha	Ma'nosi	Misol
Tushunchauzunlik (modul)	Ma'nosikesmaning uzunligi, $\|\vec a\|\ge 0$	Misol $\|(3;\,4)\|=5$
Tushunchanol vektor	Ma'nosiboshi va oxiri ustma-ust, $\vec 0=(0;\,0)$	Misol $\overrightarrow{AA}=\vec 0$
Tushunchateng vektorlar	Ma'nosiyo'nalishi va uzunligi bir xil; koordinatalari teng	Misol $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ parallelogrammda
Tushunchaqarama-qarshi vektor	Ma'nosiuzunligi teng, yo'nalishi teskari	Misol $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
Tushunchabirlik vektor	Ma'nosiuzunligi $1$	Misol $\left(\dfrac{3}{5};\,\dfrac{4}{5}\right)$

Faqat nol vektorning uzunligi $0$ ga teng. Vektorni parallel ko'chirsak, u o'zgarmaydi: muhimi boshi qayerdaligi emas, yo'nalishi va uzunligi.

Vektorning koordinatalari

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1)

Oxiridan boshi ayiriladi. Fazoda uchinchi koordinata

z_2-z_1

qo'shiladi

A(2;\,-1)

B(5;\,3)

\overrightarrow{AB}=(3;\,4)

|\overrightarrow{AB}|=5

Tartib muhim: $\overrightarrow{BA}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2)$ koordinatalari teskari ishorali. Koordinata boshidan chiqqan vektorning koordinatalari oxirining koordinatalariga teng: $\overrightarrow{OA}=(x;\,y)$ .

Vektor va boshi berilsa, oxiri qo'shish bilan, oxiri berilsa, boshi ayirish bilan topiladi: $B=A+\overrightarrow{AB}$ , $A=B-\overrightarrow{AB}$ . Masalan, $\overrightarrow{QP}=(-3;\,2)$ va $P(1;\,5)$ bo'lsa, $Q(1+3;\ 5-2)=Q(4;\,3)$ .

$\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$ o'qlar bo'ylab yo'nalgan birlik vektorlar: $\vec i=(1;\,0;\,0)$ , $\vec j=(0;\,1;\,0)$ , $\vec k=(0;\,0;\,1)$ . $\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ yozuvi $\vec a=(x;\,y;\,z)$ degani. Yo'q qo'shiluvchi nol koordinata beradi: $3\vec i-\vec k=(3;\,0;\,-1)$ .

Vektor uzunligi

|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}

|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Tekislikda va fazoda. Bu Pifagor teoremasi

$\overrightarrow{AB}$ ning uzunligi $A$ va $B$ orasidagi masofa. Uzunlik parametr bilan berilsa, tenglama yoki tengsizlik chiqadi. Ikkala tomon ham manfiy emas, shuning uchun kvadratga oshirish mumkin:

${|(2;\,z;\,6)|=7}$ : ${4+z^2+36=49}$ , ${z=\pm 3}$ .
${|(m;\,m+1;\,2)|<3}$ : ${2m^2+2m+5<9}$ , ${(m+2)(m-1)<0}$ , ${-2<m<1}$ .
${|(m;\,\sqrt{5};\,2)|>3}$ : ${m^2+9>9}$ , ${m\ne 0}$ .

Noldan farqli $\vec a$ yo'nalishidagi birlik vektor:

\frac{\vec a}{|\vec a|}

{\vec a=(6;\,-8)}

uchun

{\left(\dfrac{3}{5};\,-\dfrac{4}{5}\right)}

Amallar koordinatalarda

\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2)

k\vec a=(kx;\ ky)

Har bir koordinata alohida hisoblanadi. Fazoda ham shunday

|k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|

Songa ko'paytirganda uzunlik

|k|

marta o'zgaradi.

k<0

da yo'nalish teskari bo'ladi

Qo'shish o'rin almashtiriladi va guruhlanadi, qavslar sonlardagidek ochiladi: $k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$ . Vektorlar bilan tenglamalar sistemasi ham sonlardagidek yechiladi. ${2\vec c+\vec d=\vec a}$ , ${\vec c+2\vec d=\vec b}$ bo'lsa:

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish