Skalyar ko'paytma va vektorlar orasidagi burchak: matematika darsi

$\vec a(2;\,1)$ va $\vec b(1;\,3)$ vektorlar orasidagi burchak $45^\circ$ : buni chizmasdan, bir qator hisob bilan topamiz. Skalyar ko'paytma uzunlik va burchakni bitta songa bog'laydi. Uning yordamida burchak, perpendikulyarlik va uzunlik koordinatalarsiz ham hisoblanadi.

Vektorlar orasidagi burchak

Noldan farqli ikki vektor orasidagi burchak ularni bir nuqtadan chiqargach hosil bo'lgan burchakdir, $0^\circ\le\varphi\le 180^\circ$ . Yo'nalishdosh vektorlarda $\varphi=0^\circ$ , qarama-qarshi yo'nalganlarda $\varphi=180^\circ$ .

\vec a(2;\,1)

\vec b(1;\,3)

: ikkalasi

O

dan chiqqan, orasidagi burchak

45^\circ

Burchak $(\vec a\wedge\vec b)$ deb ham yoziladi va radianda ham beriladi: $(\vec c\wedge\vec a)=\dfrac{\pi}{3}$ degani $60^\circ$ .

Vektorlar bir nuqtadan chiqmasa, avval ko'chiriladi. Shuning uchun $\overrightarrow{AB}$ va $\overrightarrow{BC}$ orasidagi burchak uchburchakning $B$ burchagi emas, unga qo'shni burchakdir:

\angle ABC=120^\circ

, lekin

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{BC}

orasidagi burchak

60^\circ

\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{BC}

orasidagi burchak esa

120^\circ

Skalyar ko'paytma

\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi

Ta'rif. Natija vektor emas, son. Vektorlardan biri nol bo'lsa,

{\vec a\cdot\vec b=0}

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

Koordinatalarda: tekislikda va fazoda

Ikki formula bir narsani beradi. Kosinuslar teoremasidan boshlaymiz:

|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2

-2|\vec a||\vec b|\cos\varphi

Chap tomonni koordinatalarda ochsak, shu chiqadi:

x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2

-2(x_1x_2+y_1y_2)

Demak

{|\vec a||\vec b|\cos\varphi=x_1x_2+y_1y_2}

Misollar:

(3;\,-2)\cdot(4;\,5)=12-10=2

Tekislikda

(1;\,2;\,-3)\cdot(4;\,0;\,1)

=4+0-3=1

Fazoda

\vec a\cdot\vec b=4\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=6

{|\vec a|=4}

{|\vec b|=3}

{\varphi=60^\circ}

bo'lganda

Skalyar ko'paytma ishorasi

Noldan farqli vektorlarda $|\vec a||\vec b|$ musbat, shuning uchun ishorani $\cos\varphi$ belgilaydi:

Ko'paytma	Burchak	Misol
Ko'paytma $\vec a\cdot\vec b>0$	Burchak $0^\circ\le\varphi<90^\circ$	Misol $(1;\,2)\cdot(3;\,1)=5$
Ko'paytma $\vec a\cdot\vec b=0$	Burchak $\varphi=90^\circ$	Misol $(3;\,1)\cdot(-1;\,3)=0$
Ko'paytma $\vec a\cdot\vec b<0$	Burchak $90^\circ<\varphi\le 180^\circ$	Misol $(1;\,2)\cdot(-3;\,1)=-1$

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish