Fazoda to'g'ri chiziq va tekisliklar, og'ma va perpendikulyar: matematika darsi

Stereometriyaning deyarli har bir masalasi bitta to'g'ri burchakli uchburchakka keladi. Nuqta tekislikdan $12$ masofada turib, undan chiqqan og'ma $13$ ga teng bo'lsa, proyeksiya darhol $\sqrt{13^2-12^2}=5$ bo'ladi. Bu darsda fazodagi chiziq va tekisliklarning o'zaro joylashuvi, masofalar, burchaklar, uch perpendikulyar teoremasi va ular ustida quriladigan imtihon usullari to'liq beriladi.

Tekislik qanday aniqlanadi

Bir to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta orqali bitta va faqat bitta tekislik o'tadi.
To'g'ri chiziq va unda yotmagan nuqta orqali bitta tekislik o'tadi.
Kesishuvchi ikki to'g'ri chiziq orqali bitta tekislik o'tadi.
Parallel ikki to'g'ri chiziq orqali bitta tekislik o'tadi.

To'g'ri chiziqning ikki nuqtasi tekislikda yotsa, butun chiziq shu tekislikda yotadi. Ikki har xil tekislik umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

O'zaro joylashuv

Nimalar	Holat	Belgisi
NimalarIkki to'g'ri chiziq	Holatkesishadi	Belgisibitta umumiy nuqta bor
NimalarIkki to'g'ri chiziq	Holatparallel	Belgisibir tekislikda yotadi, umumiy nuqtasi yo'q
NimalarIkki to'g'ri chiziq	Holatayqash	Belgisibir tekislikda yotmaydi, umumiy nuqtasi yo'q
NimalarChiziq va tekislik	Holatchiziq tekislikda yotadi	Belgisibarcha nuqtalari umumiy
NimalarChiziq va tekislik	Holatkesishadi	Belgisibitta umumiy nuqta
NimalarChiziq va tekislik	Holatparallel	Belgisiumumiy nuqtasi yo'q
NimalarIkki tekislik	Holatkesishadi	Belgisiumumiy to'g'ri chiziq bor
NimalarIkki tekislik	Holatparallel	Belgisiumumiy nuqtasi yo'q

Kubda $AB$ va $CC_1$ qirralar ayqash: ular kesishmaydi va parallel ham emas. Umumiy nuqtasi yo'qligi parallellik uchun yetarli emas, chiziqlar yana bir tekislikda yotishi kerak.

Chiziq tekislikdagi biror chiziqqa parallel bo'lib, o'zi shu tekislikda yotmasa, u tekislikka parallel.
Bir tekislikning kesishuvchi ikki chizig'i ikkinchi tekislikning ikki chizig'iga mos ravishda parallel bo'lsa, tekisliklar parallel.
Parallel tekisliklarni uchinchi tekislik parallel chiziqlar bo'ylab kesadi.
Parallel tekisliklar orasidagi barcha perpendikulyarlar teng. Parallel chiziqlarning shu tekisliklar orasidagi kesmalari ham teng.

Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi

To'g'ri chiziq tekislikdagi kesishuvchi ikki chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar, ya'ni tekislikdagi har bir chiziqqa perpendikulyar.

Bitta chiziqqa perpendikulyarlik yetmaydi, kesishuvchi ikkitasi kerak. Bir tekislikka perpendikulyar ikki chiziq o'zaro parallel. Bir chiziqqa perpendikulyar ikki tekislik o'zaro parallel. Ikki tekislikdan biri ikkinchisiga perpendikulyar chiziq orqali o'tsa, tekisliklar perpendikulyar.

Perpendikulyar, og'ma va proyeksiya

$M$ nuqtadan $\alpha$ tekislikka tushirilgan $MH$ perpendikulyarning uzunligi nuqtadan tekislikkacha masofa deyiladi. $M$ ni tekislikning $H$ dan boshqa $A$ nuqtasi bilan tutashtiruvchi $MA$ kesma og'ma, $HA$ kesma esa og'maning proyeksiyasi. $MHA$ uchburchakda $H$ burchak to'g'ri.

MH

perpendikulyar,

MA

MB

og'malar,

HA

HB

ularning proyeksiyalari,

\varphi

og'ma va tekislik orasidagi burchak

l^2=h^2+p^2

l

og'ma,

h

perpendikulyar,

p

proyeksiya

Perpendikulyar har qanday og'madan qisqa.
Bir nuqtadan o'tkazilgan teng og'malarning proyeksiyalari teng va aksincha.
Bir nuqtadan o'tkazilgan ikki og'madan proyeksiyasi katta bo'lgani uzunroq va aksincha.

Bir nuqtadan ikkita og'ma tushirilganda ikkala uchburchakda $h$ bir xil. Noma'lumlar shu tenglikdan topiladi. Uchlari ikki parallel tekislikda yotgan kesmalar uchun ham $h$ bir xil, chunki u tekisliklar orasidagi masofa:

h^2=l_1^2-p_1^2=l_2^2-p_2^2

Ikki og'ma: proyeksiyalar ayirmasi yoki nisbati berilgan masalalarning asosi

Chiziq va tekislik orasidagi burchak

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb chiziq bilan uning shu tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi. U $0^\circ$ dan $90^\circ$ gacha: chiziq tekislikka parallel bo'lsa yoki unda yotsa $0^\circ$ , perpendikulyar bo'lsa $90^\circ$ .

h=l\sin\varphi

p=l\cos\varphi

\operatorname{tg}\varphi=\frac{h}{p}

\varphi

og'ma bilan tekislik orasidagi burchak

Tekislikdan ikki uch masofasi ma'lum kesma uchun tangens shunday topiladi. $a$ va $b$ uchlarning masofalari, $p$ proyeksiya uzunligi bo'lsin:

Holat	Burchak	Kesma uzunligi
HolatUchlari bir tomonda	Burchak $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\|a-b\|}{p}$	Kesma uzunligi $\sqrt{p^2+(a-b)^2}$
HolatKesma tekislikni kesib o'tadi	Burchak $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{a+b}{p}$	Kesma uzunligi $\sqrt{p^2+(a+b)^2}$

Masalan, uchlari bir tomonda, $a=4$ , $b=11$ , $p=24$ bo'lsa, kesma ${\sqrt{24^2+7^2}=25}$ . Kesma tekislikni kesib o'tsa va $a=4$ , $b=11$ , $p=20$ bo'lsa:

\operatorname{tg}\varphi=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}

\sqrt{20^2+15^2}=25

Burchak tangensi va kesma uzunligi

Kesma nuqtasidan tekislikkacha masofa

$A$ va $B$ nuqtalar tekislikdan bir tomonda, masofalari $a$ va $b$ . $AB$ dagi $C$ nuqta uchun $AC:CB=m:n$ bo'lsin. Perpendikulyarlar parallel bo'lgani uchun masofa kesma bo'ylab chiziqli o'zgaradi:

d_C=\frac{na+mb}{m+n}

Uchlari bir tomonda. O'rtasi uchun

d=\dfrac{a+b}{2}

E'tibor bering: $a$ yonida $n$ , $b$ yonida $m$ turadi, chunki $C$ qaysi uchga yaqin bo'lsa, o'sha uchning ta'siri katta. $a=3$ , $b=9$ , ${AC:CB=1:2}$ bo'lsa:

d_C=\frac{2\cdot 3+1\cdot 9}{3}=5

Kesma tekislikni kesib o'tsa, uchlardan biri manfiy ishora bilan olinadi:

d_C=\frac{|na-mb|}{m+n}

Kesma tekislikni kesib o'tadi. O'rtasi uchun

{d=\dfrac{|a-b|}{2}}

Trapetsiyaga qo'llanishi. Asoslari $\alpha$ tekislikka parallel va undan bir tomonda bo'lsin. O'rta chiziq masofasi asoslar masofalarining o'rta arifmetigi. Diagonallar $O$ nuqtada asoslar nisbatida bo'linadi: $AO:OC=AD:BC$ . Shuning uchun katta asos kichigidan ikki marta uzun bo'lsa, $O$ nuqta kichik asosga ikki marta yaqin va $d_O=\dfrac{x+2y}{3}$ , bu yerda $x$ katta asos, $y$ kichik asos masofasi. Shu nisbat diagonal bo'laklarini ham beradi: $AO=\dfrac{2}{3}AC$ .

Uch perpendikulyar teoremasi

$a$ chiziq tekislikda yotsin, $MA$ og'ma, $HA$ uning proyeksiyasi. Agar $HA\perp a$ bo'lsa, $MA\perp a$ . Aksincha, $MA\perp a$ bo'lsa, $HA\perp a$ .

HA\perp a

bo'lsa,

MA\perp a

. Shuning uchun nuqtadan chiziqqacha masofa

MA

bo'ladi

Sababi: $a$ chiziq $HA$ ga ham, $MH$ ga ham perpendikulyar, chunki $MH$ butun tekislikka perpendikulyar. Demak, $a$ chiziq $MHA$ tekisligiga perpendikulyar va shu tekislikdagi $MA$ ga ham perpendikulyar.

MA^2=MH^2+HA^2

Tekislikdan tashqaridagi nuqtadan tekislikdagi chiziqqacha masofa

Usul shunday: uchburchak tekisligiga uning uchidan $AD$ perpendikulyar chiqarilsa, $D$ dan qarshi tomongacha masofani topish uchun avval $A$ dan shu tomonga $AH$ balandlik tushiriladi, keyin $DH=\sqrt{AD^2+AH^2}$ . Teorema $DH$ ham tomonga perpendikulyar ekanini kafolatlaydi.

Teng uzoqlikdagi nuqta

Shart	Perpendikulyar asosi	Formula	Qachon mumkin
Shart $M$ ko'pburchakning barcha uchlaridan teng uzoqlikda	Perpendikulyar asositashqi aylana markazi	Formula $h^2=l^2-R^2$	Qachon mumkinaylanaga ichki chizilgan ko'pburchak
Shart $M$ ko'pburchakning barcha tomonlaridan teng uzoqlikda	Perpendikulyar asosiichki aylana markazi	Formula $h^2=m^2-r^2$	Qachon mumkinaylanaga tashqi chizilgan ko'pburchak

Birinchi holat proyeksiyalarning tengligidan kelib chiqadi: $HA=HB=HC$ . Ikkinchi holatda uch perpendikulyar teoremasi bo'yicha $H$ dan tomonlarga tushirilgan perpendikulyarlar teng. Bu yerda $H$ ko'pburchak ichida deb olinadi. Agar tomonlar emas, ularning davomlari ham hisobga olinsa, uchburchakda $H$ tashqi urinuvchi aylana markaziga ham tushishi mumkin.

{MA=MB=MC}

bo'lsa,

O

tashqi aylana markazi:

{OA=OB=OC=R}

Asos shakli	Tashqi aylana radiusi	Ichki aylana radiusi
Asos shakliIstalgan uchburchak	Tashqi aylana radiusi $R=\dfrac{abc}{4S}$	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{S}{p}$ , $p$ yarim perimetr
Asos shakliTo'g'ri burchakli uchburchak	Tashqi aylana radiusi $R=\dfrac{c}{2}$ , markaz gipotenuza o'rtasi	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{a+b-c}{2}$
Asos shakliMuntazam uchburchak	Tashqi aylana radiusi $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{a}{2\sqrt3}$
Asos shakliKvadrat	Tashqi aylana radiusi $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{a}{2}$
Asos shakliRomb	Tashqi aylana radiusifaqat kvadrat bo'lsa bor	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{h}{2}=\dfrac{d_1d_2}{4a}$
Asos shakliAylanaga tashqi chizilgan teng yonli trapetsiya	Tashqi aylana radiusihar doim bor	Ichki aylana radiusi $r=\dfrac{h}{2}$ , $h=\sqrt{ab}$ , $a,b$ asoslar

Ikki yoqli burchak va tekisliklar orasidagi burchak

Umumiy $l$ qirrali ikki yarim tekislik ikki yoqli burchak hosil qiladi. Qirraning bir nuqtasidan har bir yoqda qirraga perpendikulyar chiqaramiz: ular orasidagi burchak chiziqli burchak, u ikki yoqli burchakning o'lchovi. Kesishuvchi tekisliklar orasidagi burchak deb hosil bo'lgan ikki yoqli burchaklardan $90^\circ$ dan oshmaganiga aytiladi.

\angle AKB=\varphi

chiziqli burchak:

KA\perp l

KB\perp l

BD

esa

B

dan pastki tekislikkacha masofa

d=m\sin\varphi

Bir tekislikdagi nuqtaning qirradan masofasi

m

, ikkinchi tekislikkacha masofasi

d

, tekisliklar orasidagi burchak

\varphi

Amalda chiziqli burchak uch perpendikulyar teoremasi bilan chiziladi: yuqoridagi nuqtadan $H$ asosga perpendikulyar, $H$ dan esa qirraga perpendikulyar $HK$ tushiriladi. U holda $\angle MKH$ izlangan burchak va $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{MH}{HK}$ .

Ortogonal proyeksiyaning yuzi

S_{\text{pr}}=S\cos\varphi

0^\circ\le\varphi\le 90^\circ

S

tekis shakl yuzi,

\varphi

shakl tekisligi bilan proyeksiya tekisligi orasidagi burchak

Qirraga parallel o'lchamlar o'zgarmaydi, unga perpendikulyar o'lchamlar $\cos\varphi$ marta qisqaradi. Formula har qanday tekis shaklga, doiraga ham, to'g'ri keladi. $\varphi=90^\circ$ da proyeksiya kesmaga aylanadi, yuzi $0$ . Radiusi $6$ doira uchun $\varphi=60^\circ$ da $S_{\text{pr}}=36\pi\cdot\dfrac{1}{2}=18\pi$ .

Masofalar jadvali

Nimadan nimagacha	Qanday olinadi
Nuqtadan tekislikkacha	perpendikulyar uzunligi
Tekislikka parallel chiziqdan tekislikkacha	chiziqning istalgan nuqtasidan perpendikulyar
Parallel tekisliklar orasida	birining istalgan nuqtasidan ikkinchisiga perpendikulyar
Ayqash chiziqlar orasida	ikkalasiga perpendikulyar umumiy kesma
$a\perp\alpha$ chiziq $C$ nuqtada kesadi, $b$ esa $\alpha$ da yotadi	$C$ dan $b$ gacha masofa

Oxirgi qatorga misol: $C$ to'g'ri burchak uchi, $AC=9$ , $BC=12$ , $a$ chiziq uchburchak tekisligiga $C$ da perpendikulyar. $a$ va $AB$ orasidagi masofa $C$ dan $AB$ gacha balandlik: $\dfrac{9\cdot 12}{15}=\dfrac{36}{5}$ .

Ayqash chiziqlar orasidagi burchak: ulardan birini ikkinchisini kesadigan qilib parallel ko'chiramiz, hosil bo'lgan o'tkir yoki to'g'ri burchak olinadi.

Bir nuqtadan chiqqan ikki og'ma uchlari orasidagi masofa $BC$ proyeksiyalar orasidagi burchakka bog'liq. Uchburchak tengsizligi bo'yicha $|p_1-p_2|\le BC\le p_1+p_2$ : eng kichigi og'malar proyeksiyalari bir nurda, eng kattasi qarama-qarshi nurlarda yotganda.

Ishlangan misollar

1-misol

Nuqtadan tekislikka uzunliklari $13$ va $20$ bo'lgan ikki og'ma o'tkazilgan. Proyeksiyalar ayirmasi $11$ ga teng. Nuqtadan tekislikkacha masofani toping.

$h^2=13^2-x^2$
Qisqa og'madan, $x$ uning proyeksiyasi.
$h^2=20^2-(x+11)^2$
Uzun og'maning proyeksiyasi uzun, shuning uchun u $x+11$ .
$169-x^2=400-x^2-22x-121$
$h^2$ larni tenglaymiz, $x^2$ qisqaradi.
$22x=110,\quad x=5$
Proyeksiya topildi.
$h=\sqrt{169-25}=12$
Birinchi uchburchakdan.

Javob: $12$

2-misol

Uchburchakning tomonlari $AB=13$ , $BC=14$ , $AC=15$ . $A$ uchidan uchburchak tekisligiga uzunligi $5$ bo'lgan $AD$ perpendikulyar o'tkazilgan. $D$ dan $BC$ gacha masofani toping.

$S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$
Geron formulasi, $p=21$ .
$AH=\frac{2\cdot 84}{14}=12$
$A$ dan $BC$ ga balandlik.
$DH=\sqrt{5^2+12^2}=13$
$AH\perp BC$ , demak uch perpendikulyar teoremasi bo'yicha $DH\perp BC$ .

Javob: $13$

3-misol

Uchburchakning tomonlari $15$ , $20$ va $25$ . Uchburchak tekisligidan tashqaridagi nuqta uning barcha tomonlaridan $13$ masofada va ichki sohasiga proyeksiyalanadi. Nuqtadan tekislikkacha masofani toping.

$15^2+20^2=25^2$
Uchburchak to'g'ri burchakli.
$r=\frac{15+20-25}{2}=5$
Perpendikulyar asosi ichki aylana markazi.
$h=\sqrt{13^2-5^2}=12$
Tomongacha masofa gipotenuza, $r$ katet.

Javob: $12$

4-misol

$\alpha$ va $\beta$ tekisliklar $l$ chiziq bo'ylab $30^\circ$ burchak ostida kesishadi. $\alpha$ da katetlari $AC=5$ , $BC=12$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak yotadi, $AC$ kateti $l$ da. $B$ dan $\beta$ gacha masofani toping.

$BC\perp AC$
Demak, $BC$ qirraga perpendikulyar va $B$ ning qirradan masofasi $12$ .
$BH=12\sin 30^\circ=6$
$d=m\sin\varphi$ formulasi.

Javob: $6$

5-misol

$60^\circ$ li burchak $\alpha$ tekislikda yotadi, uchi $O$ . $M$ nuqta $O$ dan $25$ , burchak tomonlaridan $20$ va $7$ masofada. $M$ dan $\alpha$ gacha masofani toping.

$OA=\sqrt{25^2-20^2}=15$
$MA=20$ va $MB=7$ tomonlarga perpendikulyar. $O$ dan $A$ asosgacha kesmani topamiz.
$OB=\sqrt{25^2-7^2}=24$
Xuddi shunday $O$ dan $B$ asosgacha.
$AB^2=15^2+24^2-15\cdot 24=441$
Kosinuslar teoremasi, $\cos 60^\circ$ yarimga teng.
$AB=\sqrt{441}=21$
Kvadrat ildiz.
$OH=\frac{21}{\sin 60^\circ}=14\sqrt3$
Uch perpendikulyar teoremasi: $HA\perp OA$ , $HB\perp OB$ . Demak $O,A,H,B$ diametri $OH$ bo'lgan aylanada yotadi va sinuslar teoremasi $AB=OH\sin 60^\circ$ ni beradi.
$h^2=25^2-(14\sqrt3)^2$
$MOH$ to'g'ri burchakli uchburchak.
$h^2=625-588=37$
Kvadratlarni hisoblaymiz.

Javob: $\sqrt{37}$

6-misol

Kvadratning tomoni $12$ , $O$ uning markazi. $OF$ kvadrat tekisligiga perpendikulyar va $OF=8$ . $BCF$ va kvadrat tekisliklari orasidagi burchak kosinusini toping.

$OM=\frac{12}{2}=6$
$M$ tomon o'rtasi, $OM\perp BC$ .
$FM=\sqrt{8^2+6^2}=10$
Uch perpendikulyar teoremasi bo'yicha $FM\perp BC$ , demak $\angle FMO$ chiziqli burchak.
$\cos\varphi=\frac{6}{10}=\frac35$
Yopishgan katetning gipotenuzaga nisbati.

Javob: $\dfrac{3}{5}$

Ko'p uchraydigan xatolar

Noto'g'ri	To'g'ri
Umumiy nuqtasi yo'q chiziqlar parallel	Yana bir tekislikda yotishi kerak, aks holda ayqash
Chiziq tekislikdagi bitta chiziqqa perpendikulyar, demak tekislikka perpendikulyar	Kesishuvchi ikki chiziqqa perpendikulyar bo'lishi kerak
Og'ma va tekislik burchagi uchun $h=l\cos\varphi$	$h=l\sin\varphi$ : burchak proyeksiya bilan olinadi
$AC:CB=1:2$ da $d_C=\dfrac{a+2b}{3}$	$C$ nuqta $A$ ga yaqin, shuning uchun $d_C=\dfrac{2a+b}{3}$
Tekislikni kesib o'tgan kesmada $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\|a-b\|}{p}$	$\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{a+b}{p}$
Uchlardan teng uzoq nuqta asosi ichki aylana markazida	Uchlardan: tashqi, tomonlardan: ichki aylana markazi
$S_{\text{pr}}=\dfrac{S}{\cos\varphi}$	$S_{\text{pr}}=S\cos\varphi$ : proyeksiya shakldan katta emas

Eslab qoling

$l^2=h^2+p^2$ , $h=l\sin\varphi$ , $p=l\cos\varphi$ .
Ikki og'ma: $l_1^2-p_1^2=l_2^2-p_2^2$ .
Uch perpendikulyar: $HA\perp a\iff MA\perp a$ .
Uchlardan teng uzoq: $h^2=l^2-R^2$ . Tomonlardan teng uzoq: $h^2=m^2-r^2$ .
Uchlari bir tomonda, ${AC:CB=m:n}$ : ${d_C=\dfrac{na+mb}{m+n}}$ .
$d=m\sin\varphi$ , $S_{\text{pr}}=S\cos\varphi$ .

Chizmadan to'g'ri burchakli uchburchakni toping: fazoviy masala shu bilan tekis masalaga aylanadi.