Nyuton binomi

$(x+2)^{10}$ ni qavslarni ochib hisoblash uzoq ish, unda $x^7$ oldidagi son esa bitta ko'paytma bilan topiladi: $C_{10}^3\cdot 2^3=960$. Nyuton binomi yoyilmaning hamma hadlarini yozmasdan kerakli hadni ko'rsatadi. Barcha koeffitsiyentlar yig'indisi esa bitta son qo'yish bilan chiqadi.

Binom formulasi

Ochiq yozuvda:

Sababi: $n$ ta qavsni ko'paytirganda har bir qavsdan $a$ yoki $b$ tanlanadi. $a^{n-k}b^k$ had $b$ olinadigan $k$ ta qavsni tanlashlar soni qancha bo'lsa, shuncha marta chiqadi, ya'ni $C_n^k$ marta.

Xossalar: yoyilmada $n+1$ ta had bor; $a$ ning darajasi $n$ dan $0$ gacha kamayadi, $b$ ning darajasi $0$ dan $n$ gacha o'sadi; har bir hadda ularning yig'indisi $n$ ga teng.

Paskal uchburchagi

Binomial koeffitsiyentlarni yonma-yon ikki sonni qo'shib hosil qilish mumkin: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.

Yoyilmani tanish foydali. $x^3+6x^2+12x+8$ ning koeffitsiyentlari $1,\ 3,\ 3,\ 1$ va $2$ ning darajalari ko'paytmasi, shuning uchun u $(x+2)^3$ ga teng. Agar $f(x+2)=x^3+6x^2+12x+8$ bo'lsa, $f(t)=t^3$, masalan $f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}$.

Kub yoyilmasi bunday ko'rinishda ham ishlatiladi:

Agar $x^3+y^3=19$ va $3x^2y+3xy^2=8$ bo'lsa, ikkalasini qo'shamiz: $(x+y)^3=27$, $x+y=3$.

Umumiy had

Hadning tartib raqami $k$ dan bitta katta: $5$-hadda $k=4$, birinchi hadda $k=0$.

Ayirmada ikkinchi qo'shiluvchi manfiy son bilan birga darajaga oshiriladi: $(a-b)^n=(a+(-b))^n$, shuning uchun $T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}(-b)^k$. $k$ juft bo'lsa, ishora musbat, toq bo'lsa, manfiy. Masalan, $(a-3b)^n$ ning umumiy hadida $(-3b)^k$ turadi: ham son, ham ishora $k$ darajaga ko'tariladi.