Ehtimollik: klassik, mustaqil va qarama-qarshi hodisalar: matematika darsi

Yashikdan shar olganda oq chiqishini oldindan aytib bo'lmaydi, lekin $5$ ta oq va $3$ ta qora shar bo'lsa, oq sharning imkoniyati $\dfrac{5}{8}$ ga teng deyish mumkin. Ehtimollik shu imkoniyatni son bilan ifodalaydi. Bu darsda xatolarning ko'pi ikki savoldan chiqadi: holatlar haqiqatan teng imkoniyatlimi va hodisalar qanday bog'langan.

Asosiy tushunchalar

Sinov — natijasi oldindan aniq bo'lmagan tajriba, masalan kubik tashlash. Hodisa — sinovda ro'y berishi yoki bermasligi mumkin bo'lgan natijalar to'plami. Ishonchli hodisaning ehtimolligi $1$ (kubikda $7$ dan kichik son tushishi), mumkin bo'lmagan hodisaniki $0$ (kubikda $7$ tushishi), har qanday hodisa uchun $0\le P(A)\le 1$ .

Klassik ehtimollik

P(A)=\frac{m}{n}

m

— qulay holatlar,

n

— barcha teng imkoniyatli holatlar

Formula faqat teng imkoniyatli holatlar uchun to'g'ri. Ikki kubik yig'indisi $2$ dan $12$ gacha $11$ ta qiymat oladi, lekin bu qiymatlar teng imkoniyatli emas, shuning uchun $n=36$ olinadi.

Sinov	$n$	Hodisa	$m$	$P$
Sinovbitta kubik	$n$ $6$	Hodisa $5$ yoki $6$ tushadi	$m$ $2$	$P$ $\dfrac{1}{3}$
Sinovuchta tanga	$n$ $2^3=8$	Hodisakamida bitta gerb	$m$ $7$	$P$ $\dfrac{7}{8}$
Sinovikkita kubik	$n$ $6^2=36$	Hodisayig'indi $7$	$m$ $6$	$P$ $\dfrac{1}{6}$
Sinovikkita kubik	$n$ $36$	Hodisaikkalasi bir xil	$m$ $6$	$P$ $\dfrac{1}{6}$
Sinovto'rtta kubik	$n$ $6^4=1296$	Hodisato'rttasi bir xil	$m$ $6$	$P$ $\dfrac{1}{216}$

Ikki kubikda $(1;\,2)$ va $(2;\,1)$ turli holatlar, chunki kubiklar turli. $(5;\,5)$ esa bitta holat. Yig'indisi $6$ bo'lganlari: $(1;5),(2;4),(3;3),(4;2),(5;1)$ , ya'ni $5$ ta.

Qulay holatlarni sanash

Ko'pincha $m$ va $n$ ning o'zi alohida masala. Sonlar bilan bog'liq bo'lsa, oldingi darslardagi usullar ishlatiladi.

Savol	Usul	Natija
Savol $1$ dan $120$ gacha $2$ ga ham, $5$ ga ham bo'linmaydigan son	Usul $120-(60+24-12)=48$	Natija $P=\dfrac{48}{120}=\dfrac{2}{5}$
SavolUch xonali sonlar orasida $25$ ga karralilar	Usul $\left[\dfrac{999}{25}\right]-\left[\dfrac{99}{25}\right]=39-3=36$	Natija $P=\dfrac{36}{900}=\dfrac{1}{25}$
SavolRaqamlari yig'indisiga bo'linmasi $4$ , qoldig'i $0$ bo'lgan ikki xonali son	Usul $10a+b=4(a+b)$ , $b=2a$ : $12;\ 24;\ 36;\ 48$	Natija $4$ ta
SavolRaqamlari almashtirilganda $27$ ga ortadigan ikki xonali son	Usul $9(b-a)=27$ , $b-a=3$ , $a\ge 1$ : $14;\ 25;\ 36;\ 47;\ 58;\ 69$	Natija $6$ ta

$[a;\,b]$ oraliqdagi $k$ ga karrali sonlar soni $\left[\dfrac{b}{k}\right]-\left[\dfrac{a-1}{k}\right]$ . Ikki xonali son $10a+b$ ko'rinishida yoziladi, bunda $1\le a\le 9$ va $0\le b\le 9$ . Raqamlar yig'indisi berilgan bo'lsa, sonlarni oxirgi raqam bo'yicha sanash qulay.

Odam joylashtirish masalalarida kerakli odamni qo'yib, ikkinchisi uchun qolgan joylarni sanash ancha qisqa. Ikki kishi bir guruhga tushishi: birinchisi qayerga tushmasin, ikkinchisi uchun jami $N-1$ o'rin bor, ulardan $s-1$ tasi birinchining guruhida. Demak $P=\dfrac{s-1}{N-1}$ , bunda $N$ — jami odam, $s$ — har bir guruhdagi odam soni.

Navbatda ikki kishi uchun barcha o'rin juftlari $N(N-1)$ ta: $8$ kishilik navbatda $A$ kishi $B$ dan oldin va orasida aniq bir kishi bo'lishi uchun juftlar $8-2=6$ ta, $P=\dfrac{6}{56}=\dfrac{3}{28}$ .

Qarama-qarshi hodisa

P(\overline{A})=1-P(A)

\overline{A}

— «

A

ro'y bermadi»

«Kamida bitta» so'zi bo'lsa, ko'pincha teskarisini hisoblash oson. Ikki kubik yig'indisi $10$ dan oshmasligi: teskarisi yig'indi $11$ yoki $12$ , bu $3$ ta holat, $P=1-\dfrac{3}{36}=\dfrac{11}{12}$ .

Kubik $4$ marta tashlanib, kamida bir marta $6$ tushishi: hech tushmaslik $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$ , demak $P=1-\dfrac{625}{1296}=\dfrac{671}{1296}$ .

Hodisalar yig'indisi

P(A\cup B)

=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Har qanday ikki hodisa uchun: «

A

yoki

B

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish