To'la ehtimollik, Bernulli va geometrik ehtimollik

Zavod mahsulotining bir qismi birinchi, qolgani ikkinchi sexda ishlangan va sexlarda nuqsonli mahsulot ulushi har xil bo'lsa, tasodifiy mahsulotning nuqsonli bo'lish ehtimoli o'rtacha son bo'ladi. Bu to'la ehtimollik. Bu darsda yana uchta tur bor: natija ma'lum bo'lganda sababni topish, bir sinovni ko'p marta takrorlash va uzunlik yoki yuza bilan o'lchanadigan ehtimollik.

To'la ehtimollik formulasi

$H_1,\ H_2,\ \ldots$ gipotezalar bir-birini istisno qilishi va birgalikda barcha holatlarni qoplashi kerak, ya'ni $\sum P(H_i)=1$.

Birinchi zavod mahsulotning $70\,\%$ ini, ikkinchisi $30\,\%$ ini ishlab chiqaradi, nuqsonlilari mos ravishda $2\,\%$ va $5\,\%$. Tasodifiy mahsulotning nuqsonli bo'lishi:

Foizlardan biri berilmagan bo'lsa, avval uni topamiz: yig'indi $100\,\%$. Nisbat berilsa, u ulushga aylantiriladi: $4:1$ nisbatda $P(H_1)=\dfrac{4}{5}$, $P(H_2)=\dfrac{1}{5}$. Quti yoki idish «tavakkaliga» tanlansa, $k$ ta quti uchun har birining ehtimolligi $\dfrac{1}{k}$. Qarama-qarshi hodisa so'ralsa, oxirida birdan ayiriladi: yuqorida sifatli mahsulot ehtimoli $1-0{,}029=0{,}971$.

Beyes formulasi

Masalada «ma'lum bo'lsa» iborasi bo'lsa yoki natija ro'y berib bo'lgan bo'lsa, bu Beyes formulasi. Kasr ma'nosi: kerakli yo'lning ulushi. Yuqoridagi misolda tanlangan mahsulot nuqsonli chiqdi, u ikkinchi zavodniki bo'lishi:

Yo'nalishni aralashtirmang: $P(A\mid H_2)=0{,}05$ — ikkinchi zavod mahsuloti nuqsonli bo'lishi, $P(H_2\mid A)=\dfrac{15}{29}$ — nuqsonli mahsulot ikkinchi zavodniki bo'lishi.

Ketma-ket holatlar

Ba'zi masalalarda keyingi holatning ehtimolligi hozirgi holatga bog'liq. Unda shu holatlar bo'ylab yo'llar sanaladi: har bir yo'l ehtimolliklari ko'paytiriladi, yo'llar yig'indisi olinadi.

Uch do'st to'p uzatadi. $A$ dan $B$ ga $0{,}6$, $C$ ga $0{,}4$; $B$ dan $A$ ga va $C$ ga $0{,}5$ dan; $C$ dan $A$ ga $0{,}7$, $B$ ga $0{,}3$. To'p $A$ da. Ikki uzatishdan keyin yana $A$ da bo'lishi: $0{,}6\cdot 0{,}5+0{,}4\cdot 0{,}7=0{,}58$.

Ikki sinov mustaqil bo'lsa, natijalarning barcha mos juftliklari sanaladi. Tarozi $0{,}3$ ehtimol bilan $1$ kg ortiq, $0{,}2$ ehtimol bilan $1$ kg kam, $0{,}5$ ehtimol bilan to'g'ri ko'rsatadi. $60$ kg va $61$ kg kishilarda ko'rsatkich teng chiqishi uchun: ikkalasi $61$ yoki ikkalasi $60$. Ehtimollik $0{,}3\cdot 0{,}5+0{,}5\cdot 0{,}2=0{,}25$.