Algebraik ifoda va uning qiymati: matematika darsi

Bitta $x^2-3x$ yozuvi $x=2$ da $-2$ ga, $x=-2$ da esa $10$ ga teng. Harfli ifoda ko'p sonli misollarni bitta yozuvda saqlaydi. Bu darsda ifodaning qiymatini xatosiz topishni, son berilmagan holda ham qiymatni shart orqali hisoblashni o'rganamiz.

Algebraik ifoda

Sonlar, harflar va amal belgilaridan tuzilgan yozuv algebraik ifoda deyiladi. Masalan: $3a+2b$ , $x^2-5x$ , $\dfrac{a+b}{2}$ . Harflar o'zgaruvchilar deyiladi, chunki ular turli qiymatlar qabul qiladi.

Harflar orasida va son bilan harf orasida ko'paytirish belgisi yozilmaydi: $3\cdot a=3a$ , $a\cdot b=ab$ , $2\cdot(x+1)=2(x+1)$ . Ikki son orasida esa belgi shart: $3\cdot 5$ ni $35$ deb yozib bo'lmaydi.

Ifodaning qiymatini topish

Harflar o'rniga berilgan sonlarni qo'yamiz, manfiy son va kasrni qavsga olamiz, keyin amallarni odatdagi tartibda bajaramiz.

x=-2

x^2-3x=(-2)^2-3\cdot(-2)

=4+6=10

Manfiy son qavs ichida

a=\frac{1}{2}

6a^2-a=6\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}

=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1

Avval daraja, keyin ko'paytirish

Qavs qo'yilmasa, daraja minusga tegmaydi, shuning uchun javob o'zgarib ketadi:

Ifoda	$x=3$ da	$x=-3$ da
Ifoda $x^2$	$x=3$ da $9$	$x=-3$ da $(-3)^2=9$
Ifoda $-x^2$	$x=3$ da $-9$	$x=-3$ da $-(-3)^2=-9$
Ifoda $(-x)^2$	$x=3$ da $9$	$x=-3$ da $3^2=9$
Ifoda $-x^3$	$x=3$ da $-27$	$x=-3$ da $-(-3)^3=27$

−x² va (−x)² har xil ifoda: x = 3 da birinchisi −9, ikkinchisi 9.

Ifoda qachon ma'noga ega emas

Nolga bo'lib bo'lmaydi. Shuning uchun maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarda kasr ma'noga ega emas. Ularni topish uchun maxrajni nolga tenglaymiz.

\frac{7}{3x-12}:\quad 3x-12=0

x=4

x=4

da ifoda ma'noga ega emas, qolgan barcha

x

da ma'noga ega

Kvadrat ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lishi mumkin emas: $\sqrt{x-2}$ faqat $x\ge 2$ da ma'noga ega.

Avval soddalashtirish, keyin qo'yish

Berilgan son noqulay bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri qo'yish uzoq hisobga olib keladi. Avval qavslarni ochamiz yoki ko'paytuvchilarga ajratamiz, ko'p had qisqarib ketadi.

x(y+3)-y(x-2)

=xy+3x-xy+2y=3x+2y

xy

qisqardi, endi

x

y

ni qo'yish oson

a^2b-b^3=b(a^2-b^2)

=b(a-b)(a+b)

Masalan,

a=7{,}5

b=2{,}5

da:

2{,}5\cdot 5\cdot 10=125

Manfiy daraja qatnashsa, $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$ dan foydalanamiz: $x=0{,}5$ da $x^{-1}=2$ . Masalan, shu qiymatda:

\frac{x^{-3}+1}{x^{-2}-x^{-1}+1}=\frac{8+1}{4-2+1}=3

Shartli qiymat: ifodani berilgan ifoda orqali yozish

Ba'zan harflarning o'zi emas, ulardan tuzilgan ifodaning qiymati beriladi. Unda so'ralgan ifodani berilgan ifoda orqali yozamiz: harflarni alohida topish shart emas.

3a-2b=4

9a-6b=3(3a-2b)

=3\cdot 4=12

Umumiy ko'paytuvchini chiqardik

a+b=5

1{,}4a+2{,}6a+2{,}6b+1{,}4b+4

=4(a+b)+4=24

O'xshash hadlarni birlashtirsak,

a+b

paydo bo'ladi

Berilgan ifodani yaxlit blok deb qaraymiz. Masalan, $a=\dfrac{1}{2b}$ bo'lsa, $ab=\dfrac{1}{2}$ . Unda:

a^2b^2+3ab-1

=(ab)^2+3ab-1

=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-1=\frac{3}{4}

Nisbat berilganda

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$ bo'lsa, $a=3t$ , $b=4t$ deb olamiz, bunda $t\neq 0$ . Agar har bir hadda harflar bir xil daraja bilan qatnashsa, kasrda $t$ qisqarib ketadi.

$\dfrac{x}{y}=3$ ko'rinishida bo'lsa, $x=3y$ deb qo'yamiz. Ozod sonlar bo'lsa ham, surat va maxrajda bir xil qavs chiqishi mumkin:

x=2y

\frac{x+y+1}{2x+2y+2}=\frac{3y+1}{6y+2}

=\frac{3y+1}{2(3y+1)}=\frac{1}{2}

Bu yerda

3y+1\neq 0

bo'lishi kerak, aks holda maxraj nol bo'ladi

Yig'indi va ko'paytma berilganda

$a+b$ va $ab$ ma'lum bo'lsa, so'ralgan ifodani ko'paytuvchilarga ajratamiz, toki u faqat $a+b$ va $ab$ orqali yozilsin.

Ifoda	Ko'rinishi
$a^2b+ab^2$	$ab(a+b)$
$a^2+b^2$	$(a+b)^2-2ab$
$2a+2b+ab$	$2(a+b)+ab$
$(a+1)(b+1)$	$ab+(a+b)+1$

Berilgan qiymat harf bo'lishi ham mumkin: $x+y=-p$ va $xy=q$ bo'lsa, $2x+2y+xy=-2p+q$ .

Irratsional son berilganda

$x$ ildizli son bo'lsa, ildizni yo'qotamiz: ildizni bir tomonda qoldirib, ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz. Natijada $x$ uchun sodda tenglik chiqadi va ifodani shu tenglik orqali hisoblaymiz.

x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}:\quad 2x+1=\sqrt{3}

4x^2+4x+1=3

x^2+x=\frac{1}{2}

Endi har qanday

x^2+x

li ifoda oson

Ikki qo'shma son berilsa, masalan $a=\sqrt{7}+\sqrt{3}$ , $b=\sqrt{7}-\sqrt{3}$ , avval qulay bloklarni topamiz:

a+b=2\sqrt{7}

ab=7-3=4

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

=28-8=20

Kvadratlar yig'indisi nolga teng

Kvadrat manfiy bo'lmaydi. Shuning uchun kvadratlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, har bir kvadrat nolga teng: $A^2+B^2=0$ faqat $A=0$ va $B=0$ da.

Shart ko'pincha yashirin bo'ladi: $m-n=A^2$ va $n-m=B^2$ tengliklarni qo'shsak, chap tomon nol bo'ladi, demak $A^2+B^2=0$ .

Tengliklarni qo'shish va ayirish

Bir nechta shart berilsa, ularni qo'shib yoki ayirib ko'ramiz, ko'p had yo'qoladi. $a^2+3ab+b^2=31$ va $a^2+ab+b^2=19$ bo'lsa, ayirsak $2ab=12$ , ya'ni $ab=6$ va $a^2+b^2=13$ . Demak, $a^2-ab+b^2=13-6=7$ .

Kasr shaklidagi shartlarni ag'darish foydali. $x,y\neq 0$ va $\dfrac{xy}{x+y}=2$ bo'lsa:

\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}

\text{ya'ni}\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}

Uchta shunday shart bo'lsa, ag'dargach uchalasini qo'shamiz. Masalan, quyidagilar berilgan:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=p

\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=q

\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=r

Qo'shganda har bir kasr ikki marta qatnashadi, shuning uchun:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{p+q+r}{2}

Bu yig'indidan shartlarni birma-bir ayirib, $\dfrac{1}{c}$ , $\dfrac{1}{b}$ va $\dfrac{1}{a}$ ni topamiz.

Uzun yig'indi: har bir harf oldidagi sonni yig'amiz

Qavslar ko'p bo'lsa, ularni ochib, bitta harf oldidagi koeffitsiyentlarni qo'shamiz. Nuqtalar bilan yozilgan yig'indida qonuniyatni birinchi hadlardan ko'ramiz:

1\cdot(a_1-a_2)+2\cdot(a_2-a_3)

+3\cdot(a_3-a_4)+\ldots

a_2

oldida

{2-1=1}

a_3

oldida

{3-2=1}

va hokazo

Ifoda qachon butun son bo'ladi

Kasrdan butun qismni ajratamiz: suratni maxraj orqali yozamiz. Qolgan kasr butun bo'lishi uchun maxraj qoldiqning bo'luvchisi bo'lishi kerak. Bo'luvchilar manfiy ham bo'ladi, ularni unutmang.

\frac{2n+7}{n+1}=\frac{2(n+1)+5}{n+1}

=2+\frac{5}{n+1}

n+1

soni

\pm 1

\pm 5

dan biri

Savol natural qiymat haqida bo'lsa, topilgan har bir $n$ uchun qiymatni tekshiramiz: natural son musbat bo'ladi. Yuqoridagi kasrda:

$n+1$	$n$	Kasr qiymati	Natural?
$n+1$ $1$	$n$ $0$	Kasr qiymati $7$	Natural?ha
$n+1$ $5$	$n$ $4$	Kasr qiymati $3$	Natural?ha
$n+1$ $-1$	$n$ $-2$	Kasr qiymati $-3$	Natural?yo'q
$n+1$ $-5$	$n$ $-6$	Kasr qiymati $1$	Natural?ha

Ishlangan misollar

1-misol

$a=-2$ , $b=3$ bo'lganda $3a^2-ab+b$ ifodaning qiymatini toping.

$3\cdot(-2)^2-(-2)\cdot 3+3$
Manfiy sonni qavsga olib qo'yamiz.
$3\cdot 4-(-2)\cdot 3+3=12+6+3$
Avval daraja, keyin ko'paytirish. Manfiy sonni ayirish uni qo'shish demak.
$12+6+3=21$
Oxirida qo'shamiz.

Javob: $21$

2-misol

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$ bo'lsa, $\dfrac{3a+b}{4a-b}$ ning qiymatini toping.

$a=2t,\quad b=5t$
Nisbatni $t\neq 0$ orqali yozamiz.
$3\cdot 2t+5t=11t$
Suratga qo'yamiz.
$4\cdot 2t-5t=3t$
Maxrajga qo'yamiz.
$\frac{11t}{3t}=\frac{11}{3}$
$t$ qisqaradi, shuning uchun javob $a$ va $b$ ning aniq qiymatiga bog'liq emas.

Javob: $\dfrac{11}{3}$

3-misol

$a+b=6$ va $ab=5$ bo'lsa, $a^2b+ab^2+2a+2b$ ning qiymatini toping.

$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
Birinchi ikki haddan $ab$ ni chiqaramiz.
$2a+2b=2(a+b)$
Keyingi ikkitasidan $2$ ni chiqaramiz.
$(a+b)(ab+2)$
Ikkala bo'lakda umumiy qavs $a+b$ bor, uni chiqaramiz: ifoda shu ko'paytmaga teng.
$6\cdot(5+2)=42$
Berilganlarni qo'yamiz. Tekshiruv: $a=1$ , $b=5$ da $5+25+2+10=42$ .

Javob: $42$

4-misol

$p-q=(x-4)^2$ , $q-r=(y+1)^2$ va $r-p=(z-2)^2$ bo'lsa, $x+y+z$ ni toping.

$(p-q)+(q-r)+(r-p)=0$
Uchala tenglikning chap tomonlarini qo'shsak, hamma harf qisqaradi.
$(x-4)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=0$
Demak, o'ng tomonlarning yig'indisi ham nol.
$x=4,\quad y=-1,\quad z=2$
Kvadratlar yig'indisi nol bo'lsa, har bir qavs nolga teng.
$4-1+2=5$
So'ralgan yig'indini hisoblaymiz.

Javob: $5$

5-misol

$x=\dfrac{\sqrt{7}-3}{2}$ bo'lsa, $x(x+1)(x+2)(x+3)$ ning qiymatini toping.

$2x+3=\sqrt{7}$
Ildizni bir tomonda qoldiramiz.
$4x^2+12x+9=7$
Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz.
$x^2+3x=-\frac{1}{2}$
$9$ ni o'tkazib, $4$ ga bo'lamiz. Bu tenglik hisobning kaliti.
$x(x+3)=x^2+3x$
Chetki qavslarni juftlaymiz.
$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
O'rtadagi qavslarni juftlaymiz: ikkalasida ham $x^2+3x$ chiqadi.
$-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}+2\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$
Ikki qavs ko'paytmasiga blokning qiymatini qo'yamiz.

Javob: $-\dfrac{3}{4}$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$x=-3$ : $x^2=-9$	$(-3)^2=9$
$a=-2$ : $5-a=3$	$5-(-2)=7$
$A^2+B^2=0$ dan $A=-B$	$A=0$ va $B=0$
$\dfrac{5}{n+1}$ butun: faqat $n+1=1;5$	$n+1=\pm 1;\ \pm 5$
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$ dan $a=3$ , $b=4$	$a=3t$ , $b=4t$

Eslab qoling

Sonni qavs bilan qo'ying, amallarni tartib bo'yicha bajaring.
Maxraj nolga teng bo'lgan qiymatda ifoda ma'noga ega emas.
Avval soddalashtiring, keyin qiymatni qo'ying.
Shartli qiymatda so'ralgan ifodani berilgan ifoda orqali yozing: $a^2b+ab^2=ab(a+b)$ .
Nisbat: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$ dan $a=3t$ , $b=4t$ .
$A^2+B^2=0$ faqat $A=B=0$ da.
Butun qiymat: butun qismni ajrating, maxraj qoldiqning musbat va manfiy bo'luvchisi bo'ladi.