Kvadrat ildiz va uning xossalari: matematika darsi

Yuzi $49$ kvadrat metr bo'lgan kvadrat maydonning tomoni $7$ metr: tomonni topish uchun ildiz chiqaramiz. Ildiz bilan ishlashda bitta belgi javobni o'zgartiradi: $\sqrt{(-5)^2}$ ning qiymati $-5$ emas, $5$ . Bu darsda ildizning ta'rifi, har bir xossa va uning sharti, shuningdek imtihonda uchraydigan hisoblash usullari to'liq beriladi.

Arifmetik kvadrat ildiz

$a\ge 0$ sonning arifmetik kvadrat ildizi deb kvadrati $a$ ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan songa aytiladi: $\sqrt{a}=b$ degani $b\ge 0$ va $b^2=a$ .

Ifoda	Qiymat	Sababi
Ifoda $\sqrt{49}$	Qiymat $7$	Sababi $7\ge 0$ va $7^2=49$
Ifoda $\sqrt{0}$	Qiymat $0$	Sababi $0^2=0$
Ifoda $\sqrt{1}$	Qiymat $1$	Sababi $1^2=1$
Ifoda $\sqrt{0{,}25}$	Qiymat $0{,}5$	Sababi $0{,}5^2=0{,}25$
Ifoda $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$	Qiymat $\dfrac{3}{4}$	Sababi $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}$

Ildiz belgisi bitta qiymat beradi. $x^2=49$ tenglamaning ikkita ildizi bor, $x=7$ va $x=-7$ , lekin $\sqrt{49}$ faqat $7$ ga teng. Manfiy javob kerak bo'lsa, minus ildiz oldiga yoziladi: $-\sqrt{49}=-7$ .

Ildiz qachon mavjud

$\sqrt{a}$ faqat $a\ge 0$ da aniqlangan va har doim $\sqrt{a}\ge 0$ . Hech bir haqiqiy sonning kvadrati manfiy emas, shuning uchun manfiy sondan kvadrat ildiz haqiqiy son bermaydi.

Ildiz osti ishorasi ko'rinmasa, ikki sonni solishtiramiz. Musbat sonlarda kattasining ildizi ham katta, shuning uchun butun sonni ildiz ko'rinishida yozish yetarli: $2=\sqrt{4}<\sqrt{5}$ , $5=\sqrt{25}<\sqrt{26}$ .

Ifoda	Haqiqiy sonmi	Sababi
Ifoda $\sqrt{-16}$	Haqiqiy sonmiyo'q	Sababiildiz osti manfiy
Ifoda $-\sqrt{16}$	Haqiqiy sonmiha, $-4$	Sababiminus ildiz tashqarisida
Ifoda $\sqrt{(-4)^2}$	Haqiqiy sonmiha, $4$	Sababiildiz osti $16$
Ifoda $\sqrt{2-\sqrt{5}}$	Haqiqiy sonmiyo'q	Sababi $\sqrt{5}>2$ , ildiz osti manfiy
Ifoda $\sqrt{\sqrt{26}-5}$	Haqiqiy sonmiha	Sababi $\sqrt{26}>5$ , ildiz osti musbat
Ifoda $\sqrt[3]{-8}$	Haqiqiy sonmiha, $-2$	Sababitoq darajali ildiz manfiy sondan ham chiqadi
Ifoda $2{,}(3)$	Haqiqiy sonmiha, $\dfrac{7}{3}$	Sababidavriy o'nli kasr ratsional son

To'liq kvadratlar va o'nli kasrlar

Quyidagi kvadratlarni yoddan bilish hisobni tezlashtiradi:

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$25$
$n$ $n^2$	$11$ $121$	$12$ $144$	$13$ $169$	$14$ $196$	$15$ $225$	$16$ $256$	$17$ $289$	$18$ $324$	$19$ $361$	$20$ $400$	$25$ $625$

O'nli kasr yoki yaxlit sonda vergul ildiz chiqarilganda ikki baravar kam xonaga suriladi. Shuning uchun verguldan keyingi xonalar soni juft bo'lsa, ildiz toza chiqishi mumkin.

Ifoda	Qiymat	Izoh
Ifoda $\sqrt{16}$	Qiymat $4$	Izoh
Ifoda $\sqrt{1600}$	Qiymat $40$	Izohikkita nol, ildizda bitta
Ifoda $\sqrt{0{,}16}$	Qiymat $0{,}4$	Izohikki xona, ildizda bir xona
Ifoda $\sqrt{0{,}0016}$	Qiymat $0{,}04$	Izohto'rt xona, ildizda ikki xona
Ifoda $\sqrt{0{,}016}$	Qiymattoza chiqmaydi	Izohuch xona: $0{,}04$ deb yozish xato

Aralash son avval noto'g'ri kasrga aylantiriladi: $\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$ , $\sqrt{5\dfrac{4}{9}}=\sqrt{\dfrac{49}{9}}=\dfrac{7}{3}$ . Butun va kasr qismlarining ildizini alohida olib bo'lmaydi.

Ildizning kvadrati

(\sqrt{a})^2=a

a\ge 0

Ta'rifning o'zi:

\sqrt{a}

kvadrati

a

ga teng bo'lgan son

(\sqrt{7})^2=7

(2\sqrt{3})^2=4\cdot 3=12

Ko'paytuvchi ham kvadratga oshadi

Kvadratning ildizi: modul

\sqrt{a^2}=|a|

a\ \text{— istalgan son}

a^2

har doim manfiy emas, javob ham manfiy bo'lmasligi kerak,

|a|

esa aynan shunday son

Bu ikki formula bir-biriga o'xshaydi, ammo shartlari har xil:

Formula	Qachon o'rinli	Misol
Formula $(\sqrt{a})^2=a$	Qachon o'rinlifaqat $a\ge 0$	Misol $(\sqrt{-3})^2$ ma'noga ega emas
Formula $\sqrt{a^2}=\|a\|$	Qachon o'rinlihar qanday $a$	Misol $\sqrt{(-3)^2}=\|-3\|=3$

Ildiz ostida ildizli qavs kvadrati tursa, avval qavs ishorasini aniqlaymiz. $\sqrt{5}>2$ bo'lgani uchun $2-\sqrt{5}$ manfiy, demak:

\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|

=\sqrt{5}-2

Juft daraja ildizi ham shu qoidaga bo'ysunadi: $\sqrt{a^4}=a^2$ , chunki $a^2$ manfiy emas; $\sqrt{a^6}=|a^3|$ . Umuman, $\sqrt{a^{2n}}=|a^n|$ .

Ko'paytmaning ildizi

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

a\ge 0,\ b\ge 0

Ikkala tomon ham manfiy emas va kvadratlari

ab

ga teng, demak ular teng

Formula ikki tomonga ishlaydi. Ko'paytuvchilarni ajratish: $\sqrt{0{,}25\cdot 144}=0{,}5\cdot 12=6$ . Ildizlarni birlashtirish: $\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{144}=12$ . Ildiz ostidagi sonlarni juftlab to'liq kvadrat yig'amiz: $\sqrt{45\cdot 80}=\sqrt{3600}=60$ . O'nli kasrlar ham shunday birlashadi: $\sqrt{0{,}4}\cdot\sqrt{90}=\sqrt{36}=6$ .

Ikkala ko'paytuvchi manfiy bo'lsa, ko'paytma musbat va ildiz mavjud, lekin $\sqrt{a}$ va $\sqrt{b}$ alohida mavjud emas. Bunda modullar olinadi: $\sqrt{ab}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}$ ( $ab\ge 0$ ). Masalan:

\sqrt{(-9)(-16)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}=12

Bo'linmaning ildizi

\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

a\ge 0,\ b>0

Maxraj nolga teng bo'lmasligi shart

\sqrt{\frac{36}{121}}=\frac{6}{11}

\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{49}=7

Ajratish va birlashtirish

Ikkalasi manfiy bo'lsa ( $b\ne 0$ , $\dfrac{a}{b}\ge 0$ ), yana modullar olinadi: $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$ .

Yig'indining ildizi uchun formula yo'q

$a,b>0$ da $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , $a>b>0$ da $\sqrt{a-b}\ne\sqrt{a}-\sqrt{b}$ . Avval ildiz ostidagi amal bajariladi.

\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

\sqrt{36}+\sqrt{64}=14

deb hisoblash xato

Ayirma kvadratlardan iborat bo'lsa, u ko'paytmaga aylanadi va ildiz oson chiqadi:

\sqrt{65^2-63^2}

=\sqrt{(65-63)(65+63)}

=\sqrt{2\cdot 128}=\sqrt{256}=16

Qavsli ko'paytmalarda ham kvadratlar ayirmasi ishlaydi. Masalan, quyidagi ko'paytmani olaylik:

(\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{7})

\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{20}+\sqrt{7})

$A=\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}$ va $B=\sqrt{7}$ deb olsak, u $A^2-B^2=45-7=38$ ga teng.

Ildizlarni solishtirish va baholash

$a\ge 0$ , $b\ge 0$ bo'lsa, $a<b$ va $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ bir vaqtda bajariladi.

Musbat koeffitsiyentli ildizlarni solishtirish uchun ikkalasini ham kvadratga oshiramiz: $(3\sqrt{2})^2=18$ , $(2\sqrt{3})^2=12$ , demak $3\sqrt{2}>2\sqrt{3}$ . Ildizni baholash uchun uni qo'shni to'liq kvadratlar orasiga joylaymiz: $36<40<49$ bo'lgani uchun $6<\sqrt{40}<7$ .

Sonning butun qismi

Sonning butun qismi $[a]$ deb $a$ dan katta bo'lmagan eng katta butun songa aytiladi: $[3{,}7]=3$ , $[5]=5$ , $[-1{,}2]=-2$ .

$k^2\le n<(k+1)^2$ bo'lsa, $[\sqrt{n}]=k$ . Masalan, $[\sqrt{50}]=7$ , chunki $49\le 50<64$ .

$[\sqrt{n}]=k$ bo'ladigan natural sonlar $k^2$ dan $k^2+2k$ gacha, ularning soni $2k+1$ ta. Yig'indilarni shu bloklar bo'yicha hisoblaymiz:

$k$	$n$ qiymatlari	Sonlar soni	Blok yig'indisi
$k$ $1$	$n$ qiymatlari $1,\ldots,3$	Sonlar soni $3$	Blok yig'indisi $1\cdot 3=3$
$k$ $2$	$n$ qiymatlari $4,\ldots,8$	Sonlar soni $5$	Blok yig'indisi $2\cdot 5=10$
$k$ $3$	$n$ qiymatlari $9,\ldots,15$	Sonlar soni $7$	Blok yig'indisi $3\cdot 7=21$
$k$ $4$	$n$ qiymatlari $16,\ldots,24$	Sonlar soni $9$	Blok yig'indisi $4\cdot 9=36$
$k$ $5$	$n$ qiymatlari $25,\ldots,35$	Sonlar soni $11$	Blok yig'indisi $5\cdot 11=55$

Oxirgi blok ko'pincha to'liq bo'lmaydi: yig'indi tugagan songacha nechta had borligini alohida sanang.

Shartli soddalashtirish

Ildiz ostida to'liq kvadrat yashiringan bo'lsa, tartib shunday: to'liq kvadratga keltiramiz, modul yozamiz, berilgan oraliqda modul ichining ishorasini aniqlab, modulni ochamiz.

\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}

=|x-3|

x\ge 3

x-3

x<3

3-x

To'liq kvadrat qavs ochilmagan ko'rinishda ham turishi mumkin. Bunda quyidagi ikki ayniyat yordam beradi:

(a+b)^2-4ab=(a-b)^2

(a-b)^2+4ab=(a+b)^2

$x$ va $y$ uchun ham xuddi shunday: $\sqrt{x^2+2xy+y^2}=|x+y|$ , $\sqrt{x^2-2xy+y^2}=|x-y|$ . Masalan, $x=2\sqrt{5}$ , $y=5\sqrt{2}$ da $x<y$ , chunki $x^2=20$ , $y^2=50$ . Shuning uchun:

|x+y|-|x-y|

=(x+y)-(y-x)

=2x=4\sqrt{5}

Javob ildiz ko'rinishida so'ralsa, koeffitsiyent ildiz ostiga kiritiladi:

4\sqrt{5}=\sqrt{80}

Imtihon masalalarida katta sonlar yoki noqulay ildizlar odatda bir usul bilan yo'qoladi. Quyida har bir usul bitta misolda ko'rsatilgan.

Ketma-ket to'rt son

Chetkilarini va o'rtadagilarini juftlab ko'paytiramiz. Ikkala ko'paytma bir xil sondan $1$ ga farq qiladi:

n(n+3)=n^2+3n

(n+1)(n+2)=n^2+3n+2

n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=(n^2+3n+1)^2

\sqrt{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14+1}

=\sqrt{154\cdot 156+1}

=\sqrt{155^2}=155

Birlardan iborat sonlar

Ularning kvadratlari raqamlar zinapoyasini beradi: $111^2=12321$ , $1111^2=1234321$ , $111111^2=12345654321$ . Shuning uchun $\sqrt{\dfrac{4444^2}{1234321}}=\dfrac{4444}{1111}=4$ .

Uzun raqamli sonlar

$n$ ta birdan iborat sonni $R$ bilan belgilaymiz. Unda $10^n=9R+1$ , $2n$ ta birdan iborat son $R(10^n+1)=9R^2+2R$ ga, $n$ ta to'rtlikdan iborat son $4R$ ga, $n$ ta oltilikdan iborat son $6R$ ga, $n+1$ ta birdan iborat son esa $10R+1$ ga teng. Hammasini $R$ orqali yozib, to'liq kvadrat izlaymiz:

9R^2+2R+4R+1

=(3R+1)^2

2n

ta bir,

n

ta to'rt va

1

yig'indisi

111111+444+1=111556

111556=334^2

Masalan,

n=3

Ayirma bilan ham xuddi shu kvadrat chiqadi: $2n$ ta birdan iborat songa $n+1$ ta birdan iborat sonni qo'shib, $n$ ta oltilikdan iborat sonni ayiramiz:

(9R^2+2R)+(10R+1)-6R

=(3R+1)^2

$3R+1$ soni $n-1$ ta uchlik va oxirgi $4$ raqamidan iborat: $n=3$ da $334$ .

Kublar yig'indisi ildiz ostida

$a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3$ va $a\ge 0$ da $\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$ . Masalan, $48=3\cdot(7+9)$ bo'lgani uchun:

\sqrt{7^3+9^3+48\cdot 7\cdot 9}

=\sqrt{(7+9)^3}=\sqrt{16^3}

=16\cdot 4=64

Qo'shma sonlar

$a=\sqrt{7}+\sqrt{2}$ , $b=\sqrt{7}-\sqrt{2}$ bo'lsa, $ab=7-2=5$ va $a^2+b^2=2(7+2)=18$ . Ildizlar yo'qoladi, shuning uchun ifodani $a^2+b^2$ va $ab$ orqali yozamiz: $a^2-3ab+b^2=18-15=3$ .

Ichma-ich ildizlar nisbatida ham shunday: umumiy maxrajga keltiramiz.

\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}+\frac{\sqrt{v}}{\sqrt{u}}=\frac{u+v}{\sqrt{uv}}

u,v>0

$u=4+\sqrt{7}$ , $v=4-\sqrt{7}$ da $u+v=8$ , $uv=16-7=9$ va natija $\dfrac{8}{3}$ .

Ildizlar ayirmasi berilganda yig'indisi

Ikki ildizning ayirmasi va yig'indisi ko'paytmasi kvadratlar ayirmasidir, u yerda noma'lum qisqaradi. $\sqrt{u+13}-\sqrt{u-7}=4$ bo'lsa, ikkala tomonni yig'indiga ko'paytiramiz:

(u+13)-(u-7)

=4\left(\sqrt{u+13}+\sqrt{u-7}\right)

Chap tomon

20

, demak yig'indi

20:4=5

Ildizni yangi harf bilan belgilash

$x\sqrt{x}-31\sqrt{x}=30$ tenglikda $t=\sqrt{x}\ge 0$ desak, $x=t^2$ va:

t^3-31t-30=0

(t+1)(t^2-t-30)=0

$t+1\ne 0$ , shuning uchun $t^2-t=30$ , ya'ni $x-\sqrt{x}=30$ . Bu qiymatni so'ralgan ifodaga darhol qo'yamiz: masalan, $x-\sqrt{x}+5=35$ .

Ildizlarni harf orqali ifodalash

$\sqrt{3}=m$ , $\sqrt{5}=n$ bo'lsa, $\sqrt{135}=\sqrt{9\cdot 3\cdot 5}=3mn$ . Ildiz ostini berilgan sonlar va to'liq kvadratga ajratamiz.

Ildizlarning EKUBi

Avval ildizlarni hisoblaymiz, keyin odatdagidek EKUB topamiz: $\sqrt{20\cdot 45\cdot 9}=90$ , $\sqrt{12\cdot 27\cdot 16}=72$ , ularning EKUBi $18$ .

Ishlangan misollar

1-misol

Hisoblang:

\sqrt{8}\cdot\sqrt{50}+\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}-\sqrt{11}

$\sqrt{8}\cdot\sqrt{50}=\sqrt{400}=20$
Ildizlarni birlashtiramiz: $8\cdot 50=400$ to'liq kvadrat.
$\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}=|3-\sqrt{11}|$
Kvadratning ildizi modulga teng.
$|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3$
$3=\sqrt{9}<\sqrt{11}$ , modul ichi manfiy, ishorasi almashadi.
$20+\sqrt{11}-3-\sqrt{11}=17$
$\sqrt{11}$ lar qisqaradi.

Javob: $17$

2-misol

$-4<a<2$ bo'lsa, soddalashtiring:

\sqrt{(a+2)^2-8a}

+\sqrt{(a-4)^2+16a}

$(a+2)^2-8a=a^2-4a+4$
Birinchi ildiz ostida qavsni ochamiz.
$a^2-4a+4=(a-2)^2$
To'liq kvadrat yig'amiz.
$(a-4)^2+16a=a^2+8a+16$
Ikkinchi ildiz ostida ham qavsni ochamiz.
$a^2+8a+16=(a+4)^2$
Bu ham to'liq kvadrat.
$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|$
Kvadratning ildizi modul beradi.
$\sqrt{(a+4)^2}=|a+4|$
Ikkinchi ildiz ham shunday.
$|a-2|=2-a,\quad |a+4|=a+4$
$a<2$ da $a-2$ manfiy, $a>-4$ da $a+4$ musbat.
$2-a+a+4=6$
$a$ qisqaradi, javob oraliqdagi har bir $a$ uchun bir xil.

Javob: $6$

3-misol

Hisoblang: $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+\ldots+[\sqrt{30}]$

$3\cdot 1+5\cdot 2+7\cdot 3+9\cdot 4=70$
$k=1,2,3,4$ bloklari to'liq: $n=1$ dan $24$ gacha.
$30-25+1=6$
$k=5$ bloki to'liq emas: $n=25,\ldots,30$ , ya'ni $6$ ta had.
$6\cdot 5=30$
Bu hadlarning har biri $5$ ga teng, chunki $25\le n<36$ .
$70+30=100$
Barcha bloklarni qo'shamiz.

Javob: $100$

4-misol

$x=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$ bo'lsa, hisoblang: $x(x+1)(x+2)(x+3)$

$2x+3=\sqrt{13}$
Ildizni yolg'iz qoldiramiz, shunda kvadratga oshirish uni yo'qotadi.
$4x^2+12x+9=13$
Ikkala tomonni kvadratga oshiramiz.
$x^2+3x=1$
$9$ ni o'tkazib, $4$ ga bo'lamiz. $x$ ning o'zini qo'yish shart emas.
$x(x+3)=x^2+3x$
Chetki qavslarni juftlaymiz.
$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
O'rtadagi qavslarni juftlaymiz, bu yerda ham $x^2+3x$ chiqadi.
$1\cdot(1+2)=3$
Topilgan qiymatni qo'yamiz.

Javob: $3$

5-misol

Hisoblang:

\frac{1}{2[\sqrt{1}]+1}+\frac{1}{2[\sqrt{2}]+1}+\ldots

\ldots+\frac{1}{2[\sqrt{49}]+1}

$(2k+1)\cdot\frac{1}{2k+1}=1$
$[\sqrt{n}]=k$ bo'lgan sonlar $2k+1$ ta, har bir had $\dfrac{1}{2k+1}$ . Demak har bir to'liq blok yig'indisi $1$ .
$1+1+1+1+1+1=6$
$n=1$ dan $48$ gacha $k=1,\ldots,6$ bloklari to'liq, chunki $7^2-1=48$ .
$\frac{1}{2\cdot 7+1}=\frac{1}{15}$
Oxirgi had: $n=49$ da $[\sqrt{49}]=7$ .
$6+\frac{1}{15}=\frac{91}{15}$
Bloklar va oxirgi hadni qo'shamiz.

Javob: $\dfrac{91}{15}$

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi	Nima uchun
Xato $\sqrt{(-5)^2}=-5$	To'g'risi $\sqrt{(-5)^2}=\|-5\|=5$	Nima uchunKvadratning ildizi modul beradi
Xato $\sqrt{49}=\pm 7$	To'g'risi $\sqrt{49}=7$	Nima uchunIldiz belgisi bitta qiymat beradi; $x^2=49$ tenglamaning ildizlari esa $\pm 7$
Xato $\sqrt{36+64}=6+8$	To'g'risi $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$	Nima uchunAvval ildiz ostidagi amal bajariladi
Xato $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=2-\sqrt{5}$	To'g'risi $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}-2$	Nima uchun $2-\sqrt{5}$ manfiy, ildiz esa manfiy bo'lmaydi
Xato $\sqrt{0{,}016}=0{,}04$	To'g'risi $\sqrt{0{,}0016}=0{,}04$	Nima uchun $0{,}04^2=0{,}0016$ , $\sqrt{0{,}016}$ esa toza chiqmaydi
Xato $\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=2\dfrac{1}{2}$	To'g'risi $\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$	Nima uchunAralash son avval noto'g'ri kasrga aylantiriladi
Xato $\sqrt{(-9)(-16)}=\sqrt{-9}\cdot\sqrt{-16}$	To'g'risi $\sqrt{(-9)(-16)}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}=12$	Nima uchun $\sqrt{-9}$ mavjud emas, shuning uchun modullar olinadi

Eslab qoling

$\sqrt{a}$ faqat $a\ge 0$ da aniqlangan va manfiy bo'lmaydi.
$(\sqrt{a})^2=a$ ( $a\ge 0$ ), $\sqrt{a^2}=|a|$ (har qanday $a$ ).
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ ( $a,b\ge 0$ ), $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ( $a\ge 0$ , $b>0$ ).
Yig'indi va ayirmaning ildizi uchun bunday formula yo'q: avval ildiz ostini hisoblang.
Modulni ochishdan oldin ichidagi ifodaning ishorasini aniqlang.
$k^2\le n<(k+1)^2$ da $[\sqrt{n}]=k$ , bunday sonlar $2k+1$ ta.
Ildizdan qutulish uchun uni yolg'iz qoldirib kvadratga oshiring yoki qo'shma ifodaga ko'paytiring.