Ildizli ifodalarni soddalashtirish: matematika darsi

$\sqrt{50}+\sqrt{18}$ yig'indisi $\sqrt{68}$ ga teng emas, u $8\sqrt{2}$ ga teng. Ildizlar faqat bir xil ko'rinishga keltirilgandan keyin qo'shiladi. Bu darsda ildizlarni shu ko'rinishga keltirish, qavslarni ochish, ko'paytuvchilarga ajratish va harfli ifodalarni soddalashtirish o'rganiladi.

Ko'paytuvchini ildiz ostidan chiqarish

\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b}

b\ge 0

a\ge 0

a\sqrt{b}

a<0

-a\sqrt{b}

Sonning ichidan eng katta to'liq kvadrat ko'paytuvchini ajratamiz. Kichikrog'ini olsak ham javob to'g'ri chiqadi, lekin ish ko'payadi: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ , $\sqrt{72}=\sqrt{9\cdot 8}=3\sqrt{8}$ esa hali oxirigacha soddalashmagan. Katta sonni tub ko'paytuvchilarga ajratish qulay: $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ , demak $\sqrt{180}=2\cdot 3\cdot\sqrt{5}=6\sqrt{5}$ .

Ifoda	Natija	Shart
Ifoda $\sqrt{16a}$	Natija $4\sqrt{a}$	Shart $a\ge 0$
Ifoda $\sqrt{a^3}$	Natija $a\sqrt{a}$	Shart $a\ge 0$
Ifoda $\sqrt{12a^2}$	Natija $2\|a\|\sqrt{3}$	Sharthar qanday $a$
Ifoda $\sqrt{12a^2}$	Natija $-2a\sqrt{3}$	Shart $a<0$
Ifoda $\sqrt{\dfrac{1}{a}}$	Natija $\dfrac{\sqrt{a}}{a}$	Shart $a>0$

Ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritish

a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\ \ (a\ge 0)

a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\ \ (a<0)

Ildiz ostiga faqat manfiy bo'lmagan ko'paytuvchi kiradi, minus tashqarida qoladi

Masalan, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$ , $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$ . Bu usul ildizlarni solishtirishda ishlatiladi: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ , $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$ , demak $3\sqrt{5}<5\sqrt{2}$ .

Harfli ko'paytuvchining ishorasi shartdan aniqlanadi. $x<2$ bo'lsa, $x-2$ manfiy, shuning uchun:

(x-2)\sqrt{\frac{1}{2-x}}

=-(2-x)\sqrt{\frac{1}{2-x}}

=-\sqrt{2-x}

O'xshash ildizlar

Ildiz ostidagi ifodasi bir xil ildizlar o'xshash deyiladi va ular o'xshash hadlar kabi qo'shiladi: $m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}$ . $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ni soddalashtirib bo'lmaydi.

Tartib: har bir ildizni eng sodda ko'rinishga keltiramiz, keyin koeffitsiyentlarni qo'shamiz.

3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{80}

=6\sqrt{5}-6\sqrt{5}+4\sqrt{5}=4\sqrt{5}

\frac{\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt{48}}

=\frac{3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}

=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}

Kasr ko'rinishida ham xuddi shunday, oxirida

\sqrt{3}

qisqaradi

Harfli ildizlarda ham shunday. $a>0$ bo'lsa, $a\sqrt{25a}=5a\sqrt{a}$ , $3a^2\sqrt{\dfrac{1}{a}}=3a\sqrt{a}$ , $\dfrac{1}{2}a\sqrt{4a}=a\sqrt{a}$ . Shuning uchun:

a\sqrt{25a}-3a^2\sqrt{\frac{1}{a}}+\frac{1}{2}a\sqrt{4a}

=3a\sqrt{a}

Kasr va o'nli kasr ildiz ostida

\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}

a\ge 0,\ b>0

Surat va maxrajni

b

ga ko'paytirsak, maxraj to'liq kvadrat bo'ladi

Aralash son avval noto'g'ri kasrga aylanadi: $\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{24}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ .

O'nli kasrli ildizlarda eng kichik ildizni tanlaymiz va qolganlarini unga bo'lib ko'ramiz. $2{,}7:0{,}3=9$ , $1{,}2:0{,}3=4$ , shuning uchun $\sqrt{2{,}7}=3\sqrt{0{,}3}$ , $\sqrt{1{,}2}=2\sqrt{0{,}3}$ . Natija ildiz ko'rinishida so'ralsa, koeffitsiyent yana ildiz ostiga kiritiladi:

\sqrt{0{,}3}+\sqrt{2{,}7}-\sqrt{1{,}2}

=(1+3-2)\sqrt{0{,}3}

=2\sqrt{0{,}3}=\sqrt{1{,}2}

Ko'rsatkich $\dfrac{1}{2}$ kvadrat ildizning boshqacha yozilishi: $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ , $\left(\dfrac{3}{10}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0{,}3}$ . Masalan, quyidagi $A$ ni shu songa bo'lamiz:

A=\sqrt{0{,}3}+\sqrt{1{,}2}

-\sqrt{2{,}7}+\sqrt{10{,}8}

A:\left(\frac{3}{10}\right)^{\frac{1}{2}}=1+2-3+6=6

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish