Ildizli hisoblashlar: maxrajdagi ildiz va ichma-ich ildizlar: matematika darsi

$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$ kasrni $\sqrt{2}+1$ ko'rinishida yozish mumkin: ikkalasi ham bir xil son, lekin ikkinchisi bilan ishlash ancha oson. $\sqrt{11+6\sqrt{2}}$ esa aslida $3+\sqrt{2}$ . Bu darsda maxrajdagi ildizdan qutulish va ichma-ich ildizni ochish usullari o'rganiladi. Murakkab ko'ringan misollarning aksariyati shu ikki usul bilan bir necha qatorda yechiladi.

Maxrajda bitta ildiz

Maxrajni irratsionallikdan qutqarish: kasrni maxrajida ildiz qolmaydigan ko'rinishga keltirish. Surat va maxraj bir xil ifodaga ko'paytiriladi, shuning uchun kasr qiymati o'zgarmaydi.

\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}

b>0

Surat va maxrajni

\sqrt{b}

ga ko'paytiramiz

\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}

\frac{7}{2\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{14}=\frac{\sqrt{7}}{2}

Koeffitsiyent ko'paytirilmaydi, faqat ildizning o'ziga ko'paytirish yetarli

Maxrajda ikki had: qo'shma ifoda

Kvadratlar ayirmasi formulasi ildizni yo'qotadi. Faqat hadlar orasidagi ishora qarama-qarshisiga almashtiriladi. Bunda ko'paytuvchi nolga teng emas: $a\ne b$ , $c^2\ne b$ .

Maxraj	Ko'paytuvchi	Yangi maxraj
Maxraj $\sqrt{a}-\sqrt{b}$	Ko'paytuvchi $\sqrt{a}+\sqrt{b}$	Yangi maxraj $a-b$
Maxraj $\sqrt{a}+\sqrt{b}$	Ko'paytuvchi $\sqrt{a}-\sqrt{b}$	Yangi maxraj $a-b$
Maxraj $c+\sqrt{b}$	Ko'paytuvchi $c-\sqrt{b}$	Yangi maxraj $c^2-b$
Maxraj $c-\sqrt{b}$	Ko'paytuvchi $c+\sqrt{b}$	Yangi maxraj $c^2-b$

\frac{6}{\sqrt{7}-1}=\frac{6(\sqrt{7}+1)}{7-1}=\sqrt{7}+1

\frac{10}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{10(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}

=2(\sqrt{7}-\sqrt{2})

\frac{1}{4+\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}

=4-\sqrt{15}

Maxraj

1

chiqsa, kasr shunchaki qo'shma ifodaga aylanadi

Ikki kasrning maxrajlari qo'shma bo'lsa, umumiy maxraj ularning ko'paytmasi, u ildizsiz chiqadi:

\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}

=\frac{(2+\sqrt{3})^2-(2-\sqrt{3})^2}{4-3}

=8\sqrt{3}

Maxraj to'liq kvadrat bo'lishi ham mumkin, unda avval qisqartiramiz. $6+2\sqrt{5}=(\sqrt{5}+1)^2$ , $6-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1)^2$ , shuning uchun:

\frac{\sqrt{5}+1}{6+2\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}-1}{6-2\sqrt{5}}

=\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}-1}

=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}

Surat ayirmaga teng bo'lganda

$a>b\ge 0$ va surat $a-b$ ga teng bo'lsa, ko'paytirib o'tirish shart emas: $\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ , $\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

Avval surat bilan ildiz ostilari ayirmasini solishtiring. Masalan, $P-Q-R$ ayirmani hisoblaymiz. Bunda suratlar $15-14=1$ , $14-8=6$ , $15-8=7$ :

P=\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{14}}=\sqrt{15}+\sqrt{14}

Q=\frac{6}{\sqrt{14}-\sqrt{8}}=\sqrt{14}+\sqrt{8}

R=\frac{7}{\sqrt{15}+\sqrt{8}}=\sqrt{15}-\sqrt{8}

P-Q-R=0

P

Q

R

ni qo'yganda

\sqrt{15}

\sqrt{14}

\sqrt{8}

qisqaradi

Teleskop yig'indi

Ildiz ostilari farqi doimiy bo'lsa, har bir kasr ikki ildiz ayirmasiga aylanadi va qo'shni hadlar qisqaradi:

\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}

Maxraj

(k+1)-k=1

\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\ldots

\ldots+\frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}

=\sqrt{36}-\sqrt{1}=5

Faqat birinchi va oxirgi ildiz qoladi

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish