Chiziqli tenglama va tenglama tuzish: matematika darsi

«Bir son $3$ marta oshirilib, $5$ qo'shilsa, $20$ chiqadi. Bu qaysi son?» Bu savol $3x+5=20$ tenglamaning o'zi, javobi $x=5$ . Matnli masalalarning katta qismi oxir-oqibat shunday bitta tenglamaga keladi. Shuning uchun bu darsda ikki narsani o'rganamiz: istalgan chiziqli tenglamani xatosiz yechishni va masala shartini tenglamaga aylantirishni.

Asosiy tushunchalar

Tenglama: noma'lum son harf bilan belgilangan tenglik. Masalan, $2x+1=7$ .
Tenglamaning ildizi (yechimi): noma'lum o'rniga qo'yilganda tenglikni to'g'ri qiladigan son. $x=3$ ildiz, chunki $2\cdot 3+1=7$ . $x=2$ ildiz emas, chunki $2\cdot 2+1=5$ .
Tenglamani yechish: uning hamma ildizlarini topish yoki ildizi yo'qligini ko'rsatish.
Teng kuchli tenglamalar: ildizlari bir xil bo'lgan tenglamalar. $2x=6$ va $x+1=4$ teng kuchli, ikkalasining ildizi $3$ .

Tenglama ustida qanday amallar mumkin

Ikkala tomonga bir xil sonni yoki noma'lumning hamma qiymatlarida ma'noga ega ifodani qo'shish (ayirish) va ikkala tomonni noldan farqli bir xil songa ko'paytirish (bo'lish) ildizlarni o'zgartirmaydi.

Birinchi qoidadan «o'tkazish» kelib chiqadi: qo'shiluvchi tenglikning boshqa tomoniga qarama-qarshi ishora bilan o'tadi. $5x-7=3x+9$ da ikkala tomonga $7$ qo'shsak, $-7$ chapdan o'ngga $+7$ bo'lib o'tadi. Ikkala tomondan $3x$ ni ayirsak, $3x$ o'ngdan chapga $-3x$ bo'lib o'tadi.

5x-7=3x+9

\Rightarrow\ 5x-3x=9+7

\Rightarrow\ 2x=16

\Rightarrow\ x=8

Tekshiruv:

x=8

da ikkala tomon ham

33

ga teng

Ikkala tomonni noma'lumli ifodaga bo'lish mumkin emas: u nolga teng bo'lishi mumkin, shunda ildiz yo'qoladi. Nolga ko'paytirish ham mumkin emas.

Chiziqli tenglama va uning uch holati

$ax=b$ ko'rinishiga keltiriladigan tenglama chiziqli tenglama deyiladi. Bunda $a$ noma'lum oldidagi koeffitsiyent, $b$ ozod had. Ildizlar soni shu ikki songa bog'liq:

Holat	Ildizlar	Misol
Holat $a\ne 0$	IldizlarYagona ildiz $x=\dfrac{b}{a}$	Misol $4x=12$ , $x=3$
Holat $a=0,\ b\ne 0$	IldizlarIldizi yo'q	Misol $0\cdot x=5$ hech qachon to'g'ri emas
Holat $a=0,\ b=0$	IldizlarCheksiz ko'p ildiz, istalgan son	Misol $0\cdot x=0$ doim to'g'ri

Soddalashtirish jarayonida $x$ li hadlar qisqarib ketsa, oxirgi ikki holatdan biri chiqadi. $2(x+3)=2x+6$ da $6=6$ qoladi: istalgan son ildiz. $3x-15=3x-17$ da $-15=-17$ qoladi: ildiz yo'q. $3x=0$ esa boshqa holat: bu yerda ildiz bor, u $x=0$ .

Yechish tartibi

Kasrlar bo'lsa, ikkala tomonni maxrajlarning eng kichik umumiy karralisiga (EKUK) ko'paytiramiz.
Qavslarni ochamiz. Minus oldidagi qavsda hamma ishora almashadi: $-(3-5x)=-3+5x$ .
Noma'lumli hadlarni bir tomonga, sonlarni ikkinchi tomonga o'tkazamiz.
O'xshash hadlarni birlashtiramiz va $ax=b$ ko'rinishini olamiz.
Ikkala tomonni $a$ ga bo'lamiz, $a=0$ bo'lsa yuqoridagi jadvalga qaraymiz.
Ildizni dastlabki tenglamaga qo'yib tekshiramiz.

3(2x-1)-2(x-4)=x+11

\Rightarrow\ 6x-3-2x+8=x+11

\Rightarrow\ 3x=6

\Rightarrow\ x=2

-2

qavsdagi ikkala hadga ko'paytiriladi:

-2\cdot(-4)=+8

Kasrli tenglamalar

Ikkala tomonni EKUK ga ko'paytirsak, maxrajlar yo'qoladi. Ikki narsa muhim. Birinchidan, surat yaxlit qavsga olinadi, chunki kasr chizig'i qavs vazifasini bajaradi. Ikkinchidan, kasr bo'lmagan hadlar ham ko'paytiriladi.

\frac{2x+1}{3}-\frac{x-2}{2}=2\ \Big|\cdot 6

\Rightarrow\ 2(2x+1)-3(x-2)=12

\Rightarrow\ x+8=12

\Rightarrow\ x=4

Tekshiruv:

\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{2}=3-1=2

x-\frac{x-1}{3}=5\ \Big|\cdot 3

\Rightarrow\ 3x-(x-1)=15

\Rightarrow\ 2x+1=15

\Rightarrow\ x=7

Kasr bo'lmagan

x

5

ham

3

ga ko'paytirildi

Ba'zan kasrni hadma-had bo'lish qulayroq: $\dfrac{2x+3}{2}=x+\dfrac{3}{2}$ va $\dfrac{1-3x}{3}=\dfrac{1}{3}-x$ . Bunda $x$ li hadlar qisqarib ketishi darrov ko'rinadi.

O'nli kasrlarda ikkala tomonni $10$ yoki $100$ ga ko'paytiramiz: $0{,}3x+1{,}2=0{,}5x-0{,}4$ tenglama $3x+12=5x-4$ ga aylanadi, bundan $x=8$ . Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiramiz: $1\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$ .

Davriy kasrlar

Tenglamada davriy kasr uchrasa, avval uni oddiy kasrga aylantiramiz. Davr darhol boshlansa, maxrajda davrdagi raqamlar soniga teng to'qqizlar turadi. Vergul bilan davr orasida raqam bo'lsa, surat «butun yozuv minus davrgacha bo'lgan yozuv» bo'ladi, to'qqizlardan keyin shu raqamlar sonicha nol yoziladi. Butun qism bo'lsa, u alohida qo'shiladi: $1{,}(1)=1+\dfrac{1}{9}=\dfrac{10}{9}$ .

Kasr	Hisob	Natija
Kasr $0{,}(4)$	Hisob $\dfrac{4}{9}$	Natija $\dfrac{4}{9}$
Kasr $0{,}(27)$	Hisob $\dfrac{27}{99}$	Natija $\dfrac{3}{11}$
Kasr $0{,}1(3)$	Hisob $\dfrac{13-1}{90}$	Natija $\dfrac{2}{15}$
Kasr $1{,}2(3)$	Hisob $\dfrac{123-12}{90}$	Natija $\dfrac{37}{30}$

Misol: $0{,}(3)x+0{,}1(6)=1$ tenglamada:

0{,}(3)=\frac{1}{3}

0{,}1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{1}{6}

Tenglama $\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{6}=1$ bo'ladi. $6$ ga ko'paytirsak, $2x+1=6$ va $x=2{,}5$ .

Noma'lum qavs ichida yoki bo'luvchi bo'lsa

Qavsni bitta harf bilan belgilab, avval uni topamiz. Bunda amal komponentini topish qoidalari ishlaydi:

Tenglama	Yechim	Shart
Tenglama $a\cdot y=b$	Yechim $y=\dfrac{b}{a}$	Shart $a\ne 0$
Tenglama $y:a=b$	Yechim $y=a\cdot b$	Shart $a\ne 0$
Tenglama $a:y=b$	Yechim $y=\dfrac{a}{b}$	Shart $y\ne 0,\ b\ne 0$
Tenglama $a-y=b$	Yechim $y=a-b$	Shart

Misol: $3:\left(\dfrac{1}{2}x-1\right):\dfrac{3}{4}=2$ . Qavsni $y$ deymiz. Bo'lishlar chapdan o'ngga bajariladi: $\dfrac{3}{y}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{y}=2$ , bundan $y=2$ . Endi $\dfrac{1}{2}x-1=2$ , ya'ni $x=6$ .

Koeffitsiyent kasrlar yig'indisi bo'lsa

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{12}+\dfrac{x}{20}+\ldots$ kabi tenglamalarda $x$ ni qavsdan chiqaramiz. Har bir maxraj ikki sonning ko'paytmasi bo'lsa, kasrni ayirmaga ajratamiz:

\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

\frac{1}{k(k+d)}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+d}\right)

Isbot: o'ng tomonni umumiy maxrajga keltiring. Bunda

k\ne 0

k+d\ne 0

d\ne 0

Qo'shganda o'rtadagi hadlar qisqaradi, faqat birinchi va oxirgisi qoladi:

\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{20}+\frac{x}{30}

=x\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)=\frac{x}{3}

6=2\cdot 3

12=3\cdot 4

20=4\cdot 5

30=5\cdot 6

. Tenglik

4

ga teng bo'lsa,

x=12

\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}

=\frac{x}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{3x}{7}

3=1\cdot 3

15=3\cdot 5

35=5\cdot 7

: ko'paytuvchilar

2

ga farq qiladi. Tenglik

6

ga teng bo'lsa,

x=14

Kvadratlar ayirmasi zanjiri

$(a-1)(a+1)=a^2-1$ formulasi takrorlansa, $a^{2}+1$ , $a^{4}+1$ , $a^{8}+1$ ko'rinishidagi qavslar ko'paytmasi bir ifodaga yig'iladi:

(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)

=(a^4-1)(a^4+1)

=a^8-1

Misol: $3(5^2+1)(5^4+1)\cdot x=5^8-1$ . O'ng tomonni shu zanjir bilan yozamiz:

5^8-1

=(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)

=24(5^2+1)(5^4+1)

Ikkala tomonni bir xil musbat ko'paytmaga bo'lsak, $3x=24$ va $x=8$ . Katta sonlarni hisoblab o'tirish kerak emas.

Tenglama tuzish

So'ralgan miqdorni yoki u bilan bog'liq miqdorni $x$ deb belgilaymiz.
Boshqa miqdorlarni $x$ orqali yozamiz.
Shartdagi bitta tenglikni tenglama qilib yozamiz.
Yechamiz va savolga aynan javob beramiz: sonning o'zi yoki uning kvadrati, kattasi yoki kichigi.
Javobni matn shartiga qo'yib tekshiramiz. Tenglama to'g'ri yechilgan, lekin noto'g'ri tuzilgan bo'lishi mumkin.

Shart	Ifoda
$a$ dan $5$ ta ko'p	$a+5$
$A$ soni $B$ dan $2$ marta katta	$A=2B$
$A$ soni $B$ dan $2$ marta kichik (yosh)	$B=2A$
sonning $\dfrac{2}{5}$ qismi	$\dfrac{2}{5}a$
jami $30$ ta, birinchisi $x$ ta	ikkinchisi $30-x$ ta
ikki xonali son, raqamlari $a$ va $b$	$10a+b$ , bunda $a\ne 0$
$20$ minut	$\dfrac{1}{3}$ soat

Yosh masalalari

$n$ yildan keyin har ikkala odam $n$ yoshga katta, $n$ yil oldin $n$ yoshga kichik bo'ladi. Yoshlar farqi hech qachon o'zgarmaydi.

40+x=3(12+x)

\Rightarrow\ 40+x=36+3x

\Rightarrow\ x=2

Ota

40

, o'g'il

12

yoshda. Ikki yildan keyin

42

14

: ota

3

marta katta

50-x=4(23-x)

\Rightarrow\ 50-x=92-4x

\Rightarrow\ x=14

Ona

50

, qiz

23

yoshda. O'n to'rt yil oldin

36

9

: qiz

4

marta yosh

Sonlar, kasr qismlar va raqamlar

Ikki son yig'indisi $34$ ga, birinchisining $\dfrac{2}{3}$ qismi ikkinchisining $\dfrac{3}{4}$ qismiga teng bo'lsin. $\dfrac{2}{3}a=\dfrac{3}{4}b$ ni $12$ ga ko'paytirsak, $8a=9b$ , ya'ni $a:b=9:8$ . Sonlarni $a=9k$ , $b=8k$ deb yozamiz: $17k=34$ , $k=2$ . Sonlar $18$ va $16$ . Tekshiruv: $12=12$ .

Raqamli masalalarda son $10a+b$ deb yoziladi, raqamlar o'rni almashsa $10b+a$ bo'ladi. Son raqamlari yig'indisidan $4$ marta katta bo'lsa, $10a+b=4(a+b)$ , bundan $6a=3b$ , ya'ni $b=2a$ . Agar raqamlar kvadratlarining yig'indisi $20$ bo'lsa, $a^2+4a^2=20$ , $a=2$ , $b=4$ . Son $24$ : $24=4\cdot 6$ .

Ikki turdagi narsalar

Umumiy soni va umumiy qiymati berilsa, bir turini $x$ , ikkinchisini «jami minus $x$ » deb olamiz. Masalan, $20$ ta mashinaning bir qismi $40$ litrlik, qolgani $100$ litrlik bakka ega, hammasini to'ldirishga $1520$ litr ketdi:

40x+100(20-x)=1520

\Rightarrow\ 2000-60x=1520

\Rightarrow\ x=8

8

tasi

40

litrlik,

12

tasi

100

litrlik:

320+1200=1520

Ish masalalarida ham shunday. Ikki dastgoh birga $4$ soatda $140$ ta detal yasaydi, ikkinchisi soatiga $5$ ta ko'p yasaydi: $4(x+x+5)=140$ , bundan $2x+5=35$ , $x=15$ . Dastgohlar soatiga $15$ va $20$ ta detal yasaydi.

Harakat masalalari

Asosiy formula $S=vt$ , bundan $t=\dfrac{S}{v}$ va $v=\dfrac{S}{t}$ . Birliklar bir xil bo'lishi shart: tezlik km/soatda bo'lsa, minutlar soatga aylantiriladi. Tenglama ko'pincha yo'llar yoki vaqtlarni taqqoslashdan tuziladi:

Vaziyat	Tenglama
Bir-biriga qarab, bir vaqtda chiqqan	$v_1t+v_2t=S$
Biri yarim soat dam olgan	$v_1t+v_2\left(t-\dfrac{1}{2}\right)=S$
Yo'l ikki bo'lakdan iborat, jami $T$ soat, $t_0$ soat to'xtagan	$v_1t+v_2(T-t_0-t)=S$
Yo'lning o'rtasida uchrashgan, birinchisi $\Delta t$ soat oldin chiqqan	$\dfrac{S}{2v_1}-\dfrac{S}{2v_2}=\Delta t$
Bir yo'l ikki tezlikda, vaqtlar farqi $\Delta t$	$\dfrac{S}{v_2}-\dfrac{S}{v_1}=\Delta t$ , $v_2<v_1$
Rejadagi vaqt amaldagi vaqt va dam olish yig'indisiga teng	$\dfrac{S}{v}=\dfrac{S}{v'}+t_0$

Misol. Piyoda rejada yo'lni $6$ km/soat tezlikda o'tmoqchi edi. Yo'lning yarmidan keyin $20$ minut dam oldi va o'z vaqtida yetib borish uchun qolgan yarmini $8$ km/soat tezlikda o'tdi. Faqat ikkinchi yarmini taqqoslaymiz:

\frac{S}{12}=\frac{S}{16}+\frac{1}{3}

\frac{S}{48}=\frac{1}{3}

Bundan

S=16

Misol. Haydovchi bir vaqtda chiqsa, $90$ km/soat tezlikda soat $10{:}00$ da, $60$ km/soat tezlikda soat $11{:}00$ da yetib boradi. $\dfrac{S}{60}-\dfrac{S}{90}=1$ , bundan $S=180$ km. $90$ km/soat tezlikda yo'l $2$ soat, demak u $08{:}00$ da chiqadi. Soat $10{:}30$ ga yetish uchun $2{,}5$ soatda $180$ km yurish kerak: tezlik $72$ km/soat.

Bir nechta noma'lum, lekin bittasi so'ralgan

Noma'lumlar ko'p, tenglamalar kam bo'lsa ham, so'ralgan miqdor aniq chiqishi mumkin. Tengliklarni hadma-had qo'shamiz yoki ayiramiz. Masalan, uch qutidagi sharlar $a$ , $b$ , $c$ ta bo'lib, $a=b+c-5$ va $b=a+c-9$ bo'lsin. Qo'shsak, $a+b=a+b+2c-14$ , ya'ni $2c=14$ va $c=7$ . $a$ va $b$ alohida aniqlanmaydi, lekin savol $c$ haqida bo'lsa, shuning o'zi yetarli.

Ishlangan misollar

1-misol

Tenglamani yeching: $2x-\dfrac{x-3}{2}=3+\dfrac{x+4}{4}$

$8x-2(x-3)=12+x+4$
Maxrajlar $2$ va $4$ , EKUK $4$ . Kasr bo'lmagan $2x$ va $3$ ham $4$ ga ko'paytiriladi.
$8x-2x+6=16+x$
$-2$ qavsdagi ikkala hadga ko'paytiriladi: $-2\cdot(-3)=+6$ .
$6x-x=16-6$
$x$ li hadlar chapga, sonlar o'ngga o'tadi, ishoralari almashadi.
$5x=10,\quad x=2$
Tekshiruv: $x=2$ da ikkala tomon ham $4{,}5$ ga teng.

Javob: $x=2$

2-misol

Tenglamani yeching: $\dfrac{5x-1}{6}-\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{x}{2}+1$

$\cdot 6:\quad 5x-1-2(x-2)=3x+6$
Ikkala tomonni EKUK, ya'ni $6$ ga ko'paytiramiz. O'ng tomondagi $1$ ham $6$ ga ko'paytirilib, $6$ bo'ladi.
$3x+3=3x+6,\quad 3x-3x=3$
Qavsni ochib, o'xshash hadlarni birlashtiramiz.
$0\cdot x=3$
$3x$ lar qisqaradi. Nolga ko'paytirilgan son $3$ ga teng bo'la olmaydi.

Javob: Ildizi yo'q

3-misol

Tenglamani yeching: $\dfrac{2x+3}{2}+\dfrac{1-3x}{3}=1{,}8(3)$

$x+\frac{3}{2}+\frac{1}{3}-x=\frac{11}{6}$
Kasrlarni hadma-had bo'lamiz, $x$ va $-x$ qisqaradi: chap tomon $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{6}$ .
$1{,}8(3)=\frac{183-18}{90}=\frac{165}{90}=\frac{11}{6}$
Aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantiramiz.
$\frac{11}{6}=\frac{11}{6}$
Ikkala tomon $x$ ga bog'liq emas va teng. Tenglik istalgan $x$ da to'g'ri.

Javob: Cheksiz ko'p ildiz

4-misol

$A$ va $B$ shaharlar orasi $285$ km. Ulardan bir vaqtda bir-biriga qarab $70$ km/soat tezlikda avtomobil va $30$ km/soat tezlikda velosiped yo'lga chiqdi. Velosipedchi yo'lda $30$ minut dam oldi. Uchrashguncha avtomobil necha km yurgan?

$70t+30\left(t-\frac{1}{2}\right)=285$
Avtomobil $t$ soat yurgan, velosipedchi yarim soat kam. Ikkala yo'lning yig'indisi butun masofa.
$100t-15=285$
Qavsni ochamiz: $30\cdot\dfrac{1}{2}=15$ .
$100t=300,\quad t=3$
$15$ ni o'ngga o'tkazib, $100$ ga bo'lamiz.
$70\cdot 3=210$
So'ralgan avtomobil yo'li. Tekshiruv: velosipedchi $30\cdot 2{,}5=75$ km, jami $285$ km.

Javob: $210$ km

5-misol

$A$ shahardan piyoda $5$ km/soat tezlikda yo'lga chiqdi. $10$ minutdan keyin $B$ shahardan unga qarab ikkinchi piyoda $6$ km/soat tezlikda chiqdi. Ular yo'lning o'rtasida uchrashdi. $A$ va $B$ orasidagi masofani toping.

$\frac{S}{2\cdot 5}-\frac{S}{2\cdot 6}=\frac{1}{6}$
Har biri $\dfrac{S}{2}$ km yurgan. Birinchisi yo'lda $10$ minut, ya'ni $\dfrac{1}{6}$ soat ko'p bo'lgan.
$\frac{S}{10}-\frac{S}{12}=\frac{1}{6}$
Maxrajlarni hisoblaymiz. $10$ va $12$ ning EKUK i $60$ .
$\frac{6S-5S}{60}=\frac{1}{6}$
Kasrlarni bitta maxrajga keltiramiz.
$\frac{S}{60}=\frac{1}{6},\quad S=10$
Tekshiruv: $5$ km ni birinchisi $60$ minutda, ikkinchisi $50$ minutda o'tadi, farq $10$ minut.

Javob: $10$ km

Ko'p uchraydigan xatolar

Xato	To'g'risi
$-(3-5x)$ ni $-3-5x$ deb yozish	$-3+5x$
$\dfrac{x+2}{4}\cdot 12$ ni $x+2\cdot 3$ deb yozish	$3(x+2)$
EKUK ga faqat kasrlarni ko'paytirish	Tenglamadagi hamma had ko'paytiriladi
$0\cdot x=0$ da «ildiz yo'q»	Istalgan son ildiz
$3x=0$ da «ildiz yo'q»	$x=0$
$20$ minutni $20$ deb yozish (tezlik km/soatda)	$\dfrac{1}{3}$ soat
Yosh masalasida faqat bir odamga $n$ qo'shish	Ikkalasiga ham $n$ qo'shiladi

Eslab qoling

$ax=b$ : $a\ne 0$ da $x=\dfrac{b}{a}$ ; $a=0,\ b\ne 0$ da ildiz yo'q; $a=0,\ b=0$ da cheksiz ko'p ildiz.
Boshqa tomonga o'tgan hadning ishorasi almashadi.
EKUK ga ko'paytirganda surat qavsga olinadi, kasr bo'lmagan hadlar ham ko'paytiriladi.
$\dfrac{1}{k(k+d)}$ kasr $\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+d}\right)$ ayirmaga teng.
$S=vt$ , birliklar bir xil bo'lsin. Yoshlar farqi o'zgarmaydi. Ikki xonali son $10a+b$ .
Javobni matn shartiga qo'yib tekshiring va savolga aynan javob bering.