Nisbat va proporsiya: matematika darsi

Sinfda $12$ qiz va $18$ o'g'il bor. «Qizlar o'g'illardan $6$ ta kam» degan gap farqni aytadi, «qizlar va o'g'illar nisbati $2:3$ » degan gap esa ular qanday ulushda ekanini aytadi. Nisbat xarita masshtabi, narx, tezlik, qotishma va ish masalalarida ishlatiladi. Bu darsdan keyin sonni nisbatda bo'lish, noma'lum hadni topish va to'g'ri hamda teskari proporsiyani farqlash qiyin bo'lmaydi.

Nisbat

Ikki sonning bo'linmasi ularning nisbati deyiladi: $a:b$ yoki $\dfrac{a}{b}$ , bunda $b\ne 0$ . Nisbat $a$ soni $b$ dan necha marta katta ekanini yoki $b$ ning qanday qismi ekanini ko'rsatadi. Nisbatning ikkala hadini bir xil noldan farqli songa ko'paytirish yoki bo'lish mumkin, u o'zgarmaydi. Shuning uchun nisbatni odatda butun sonlarda, qisqartirib yozamiz:

Berilgan	Nima qilamiz	Natija
Berilgan $12:18$	Nima qilamiz $6$ ga bo'lamiz	Natija $2:3$
Berilgan $\dfrac{3}{4}:\dfrac{5}{6}$	Nima qilamiz $12$ ga ko'paytiramiz	Natija $9:10$
Berilgan $0{,}6:1{,}5$	Nima qilamiz $10$ ga ko'paytirib, $3$ ga bo'lamiz	Natija $2:5$
Berilgan $2$ m $:$ $50$ sm	Nima qilamizBir xil birlikka: $200:50$	Natija $4:1$
Berilgan $1:0{,}(3):0{,}1(6)$	Nima qilamiz $1:\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{6}$ , $6$ ga ko'paytiramiz	Natija $6:2:1$

Nisbat va ulush boshqa-boshqa narsa: $a:b=3:5$ bo'lsa, butun $3+5=8$ qism, $a$ butunning $\dfrac{3}{8}$ qismi, $\dfrac{3}{5}$ qismi emas. Foizga aylantirish uchun nisbatni $100\%$ ga ko'paytiramiz: $\dfrac{1}{4}\cdot 100\%=25\%$ .

Proporsiya

Ikki nisbatning tengligi proporsiya deyiladi: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ yoki $a:b=c:d$ . Bunda hadlar noldan farqli deb olinadi. $a$ va $d$ chetki hadlar, $b$ va $c$ o'rta hadlar. Misol: $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ , ikkala nisbat ham $0{,}75$ ga teng.

Proporsiyaning asosiy xossasi: chetki hadlar ko'paytmasi o'rta hadlar ko'paytmasiga teng.

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c

Sababi: ikkala tomonni

b\cdot d

ga ko'paytirsak, maxrajlar qisqaradi

Bundan noma'lum hadni topish qoidasi chiqadi: chetki had o'rta hadlar ko'paytmasining ikkinchi chetki hadga bo'linmasi, o'rta had esa chetki hadlar ko'paytmasining ikkinchi o'rta hadga bo'linmasi.

a=\frac{bc}{d}

d=\frac{bc}{a}

b=\frac{ad}{c}

c=\frac{ad}{b}

1\frac{1}{3}:x=2\frac{1}{2}:3\frac{3}{4}

\Rightarrow\ x\cdot\frac{5}{2}=\frac{4}{3}\cdot\frac{15}{4}=5

\Rightarrow\ x=2

Aralash sonlarni avval noto'g'ri kasrga aylantiramiz

\frac{x+3}{x-1}=\frac{3}{2}

\Rightarrow\ 2x+6=3x-3

\Rightarrow\ x=9

Bu yerda

x\ne 1

. Tekshiruv:

\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}

Asosiy xossadan kelib chiqib, hadlarning o'rnini almashtirish mumkin. Har qanday $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ proporsiyadan quyidagilar kelib chiqadi:

Xossa	Misol: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$
$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$	$\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}$
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$	$\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}$
$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$	$\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{6}$
$\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$ , bunda $b+d\ne 0$	$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$

Oxirgi xossaning sababi: nisbat $k$ ga teng bo'lsa, $a=kb$ , $c=kd$ , demak $a+c=k(b+d)$ .

O'rta proporsional

O'rta hadlari teng bo'lgan proporsiya $a:x=x:b$ da asosiy xossa $x^2=ab$ beradi. Musbat $a$ , $b$ uchun $x=\sqrt{ab}$ soni ularning o'rta proporsionali (o'rta geometrigi) deyiladi.

4:x=x:9

\Rightarrow\ x^2=36

\Rightarrow\ x=\pm 6

4

9

ning o'rta proporsionali musbat qiymat, ya'ni

6

Proporsiya hadlari haqida masalalar

Hadlar orasidagi bog'lanish berilsa, ularni bitta harf orqali yozib, asosiy xossani ishlatamiz.

Dastlabki uch had yig'indisi $33$ , ikkinchi had birinchisining $\dfrac{1}{3}$ qismi, uchinchisi $\dfrac{1}{2}$ qismi. Birinchi hadni $a$ desak, yig'indi $\dfrac{11a}{6}=33$ , $a=18$ , $b=6$ , $c=9$ , oxirgi had $d=\dfrac{bc}{a}=3$ . Tekshiruv: $18:6=9:3$ .
To'rt had yig'indisi $30$ , chetki hadlar yig'indisi $17$ , o'rta hadlar ayirmasi $7$ . O'rta hadlar yig'indisi $30-17=13$ , demak ular $10$ va $3$ . Chetki hadlar ko'paytmasi $ad=bc=30$ . Masalan, $15:10=3:2$ .
$a-b;\ 2;\ a+b;\ 6$ sonlari proporsiyaning ketma-ket hadlari. $\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{a+b}{6}$ dan $3a-3b=a+b$ , ya'ni $a=2b$ . Endi $\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{4b^2+b^2}{2b^2}=\dfrac{5}{2}$ , bunda $b\ne 0$ .

Ma'ruzaning davomi kirgandan keyin ochiladiBu — ma'ruzaning boshi. To'liq matn, ovozli doska, yechimli misollar va topshiriqlar Premium bilan.Davomini o'qish